Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnawordexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnawordexg 41705
Description: If an ordinal, 𝐵, is in a half-open interval between some 𝐴 and the next limit ordinal, 𝐵 is the sum of the 𝐴 and some natural number. This weakens the antecedent of nnawordex 8585. (Contributed by RP, 7-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
nnawordexg ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵𝐵 ∈ (𝐴 +o ω)) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnawordexg
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵𝐵 ∈ (𝐴 +o ω)) → 𝐴 ∈ On)
2 omelon 9587 . . 3 ω ∈ On
32a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵𝐵 ∈ (𝐴 +o ω)) → ω ∈ On)
4 3simpc 1151 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵𝐵 ∈ (𝐴 +o ω)) → (𝐴𝐵𝐵 ∈ (𝐴 +o ω)))
5 oawordex2 41704 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ ω ∈ On) ∧ (𝐴𝐵𝐵 ∈ (𝐴 +o ω))) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
61, 3, 4, 5syl21anc 837 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵𝐵 ∈ (𝐴 +o ω)) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  wss 3911  Oncon0 6318  (class class class)co 7358  ωcom 7803   +o coa 8410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-oadd 8417
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator