Theorem nnexALT 12003

Description: Alternate proof of nnex 12007, more direct, that makes use of ax-rep 5212. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nnexALT	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnexALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nn 12002	. 2 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
2		rdgfun 8267	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1)
3		omex 9429	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6537	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 688	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2830	1 ⊢ ℕ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2101  Vcvv 3434   ↦ cmpt 5160   “ cima 5594  Fun wfun 6441  (class class class)co 7295  ωcom 7732  reccrdg 8260  1c1 10900   + caddc 10902  ℕcn 12001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-inf2 9427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-nn 12002

This theorem is referenced by:  zexALT  12367  qexALT  12732  reexALT  12752