Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qexALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qexALT 12351
 Description: Alternate proof of qex 12348. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
qexALT ℚ ∈ V

Proof of Theorem qexALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12338 . . . 4 (𝑥 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 / 𝑧))
2 eqid 2822 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)) = (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧))
3 ovex 7173 . . . . 5 (𝑦 / 𝑧) ∈ V
42, 3elrnmpo 7271 . . . 4 (𝑥 ∈ ran (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 / 𝑧))
51, 4bitr4i 281 . . 3 (𝑥 ∈ ℚ ↔ 𝑥 ∈ ran (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)))
65eqriv 2819 . 2 ℚ = ran (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧))
7 zexALT 11989 . . . 4 ℤ ∈ V
8 nnexALT 11627 . . . 4 ℕ ∈ V
97, 8mpoex 7764 . . 3 (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ V
109rnex 7603 . 2 ran (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ V
116, 10eqeltri 2910 1 ℚ ∈ V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131  Vcvv 3469  ran crn 5533  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ℚcq 12336 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-q 12337 This theorem is referenced by:  reexALT  12371
 Copyright terms: Public domain W3C validator