Theorem qexALT 12086

Description: Alternate proof of qex 12083. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
qexALT	⊢ ℚ ∈ V

Proof of Theorem qexALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12073	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 / 𝑧))
2		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)) = (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧))
3		ovex 6937	. . . . 5 ⊢ (𝑦 / 𝑧) ∈ V
4	2, 3	elrnmpt2 7033	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ran (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 / 𝑧))
5	1, 4	bitr4i 270	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↔ 𝑥 ∈ ran (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)))
6	5	eqriv 2822	. 2 ⊢ ℚ = ran (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧))
7		zexALT 11723	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
8		nnexALT 11352	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
9	7, 8	mpt2ex 7510	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ V
10	9	rnex 7362	. 2 ⊢ ran (𝑦 ∈ ℤ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ V
11	6, 10	eqeltri 2902	1 ⊢ ℚ ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∃wrex 3118  Vcvv 3414  ran crn 5343  (class class class)co 6905   ↦ cmpt2 6907   / cdiv 11009  ℕcn 11350  ℤcz 11704  ℚcq 12071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-q 12072

This theorem is referenced by:  reexALT  12106