Theorem nnindd 12177

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnindd.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
nnindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
nnindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
nnindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
nnindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
nnindd.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)

Assertion

Ref	Expression
nnindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
3		nnindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
5		nnindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
7		nnindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
9		nnindd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
10		nnindd.6	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
11	10	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝜃 → 𝜏))
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
13	12	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
14	2, 4, 6, 8, 9, 13	nnind 12175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜂))
15	14	impcom 407	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158

This theorem is referenced by:  psdpw  22125  fzto1st  33197  psgnfzto1st  33199  fiunelros  34352  ringexp0nn  42504  sn-nnne0  42830  renegmulnnass  42835  fsuppind  42948