Theorem nnindd 12021

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnindd.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
nnindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
nnindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
nnindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
nnindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
nnindd.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)

Assertion

Ref	Expression
nnindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
3		nnindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
5		nnindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
7		nnindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
9		nnindd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
10		nnindd.6	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
11	10	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝜃 → 𝜏))
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
13	12	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
14	2, 4, 6, 8, 9, 13	nnind 12019	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜂))
15	14	impcom 407	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  (class class class)co 7295  1c1 10900   + caddc 10902  ℕcn 12001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-1cn 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-nn 12002

This theorem is referenced by:  fzto1st  31398  psgnfzto1st  31400  fiunelros  32170  fsuppind  40302