Theorem nnindd 12241

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnindd.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
nnindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
nnindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
nnindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
nnindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
nnindd.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)

Assertion

Ref	Expression
nnindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
3		nnindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
5		nnindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
7		nnindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
9		nnindd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
10		nnindd.6	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
11	10	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝜃 → 𝜏))
12	11	expcom 418	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
13	12	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
14	2, 4, 6, 8, 9, 13	nnind 12239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜂))
15	14	impcom 412	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  1c1 11089   + caddc 11091  ℕcn 12221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-1cn 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-nn 12222

This theorem is referenced by:  psdpw  22290  fzto1st  33331  psgnfzto1st  33333  fiunelros  34476  ringexp0nn  42758  sn-nnne0  43089  renegmulnnass  43094  fsuppind  43179