MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnindd 12286
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnindd.1 (𝑥 = 1 → (𝜓𝜒))
nnindd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
nnindd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
nnindd.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
nnindd.5 (𝜑𝜒)
nnindd.6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
Assertion
Ref Expression
nnindd ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnindd
StepHypRef Expression
1 nnindd.1 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝜓𝜒))
21imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜒)))
3 nnindd.2 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
43imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜃)))
5 nnindd.3 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜏)))
7 nnindd.4 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
87imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜂)))
9 nnindd.5 . . 3 (𝜑𝜒)
10 nnindd.6 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
1110ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ) → (𝜃𝜏))
1211expcom 413 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝜃𝜏)))
1312a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜏)))
142, 4, 6, 8, 9, 13nnind 12284 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑𝜂))
1514impcom 407 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  cn 12266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-1cn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267
This theorem is referenced by:  psdpw  22174  fzto1st  33123  psgnfzto1st  33125  fiunelros  34175  ringexp0nn  42135  sn-nnne0  42478  renegmulnnass  42483  fsuppind  42600
  Copyright terms: Public domain W3C validator