Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnindd 11663
 Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnindd.1 (𝑥 = 1 → (𝜓𝜒))
nnindd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
nnindd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
nnindd.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
nnindd.5 (𝜑𝜒)
nnindd.6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
Assertion
Ref Expression
nnindd ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnindd
StepHypRef Expression
1 nnindd.1 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝜓𝜒))
21imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜒)))
3 nnindd.2 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
43imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜃)))
5 nnindd.3 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
65imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜏)))
7 nnindd.4 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
87imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜂)))
9 nnindd.5 . . 3 (𝜑𝜒)
10 nnindd.6 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
1110ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ) → (𝜃𝜏))
1211expcom 417 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝜃𝜏)))
1312a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜏)))
142, 4, 6, 8, 9, 13nnind 11661 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑𝜂))
1514impcom 411 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7145  1c1 10545   + caddc 10547  ℕcn 11643 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-1cn 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-nn 11644 This theorem is referenced by:  fzto1st  30844  psgnfzto1st  30846  fiunelros  31609  fsuppind  39624
 Copyright terms: Public domain W3C validator