MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnindd 11850
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnindd.1 (𝑥 = 1 → (𝜓𝜒))
nnindd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
nnindd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
nnindd.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
nnindd.5 (𝜑𝜒)
nnindd.6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
Assertion
Ref Expression
nnindd ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnindd
StepHypRef Expression
1 nnindd.1 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝜓𝜒))
21imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜒)))
3 nnindd.2 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
43imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜃)))
5 nnindd.3 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
65imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜏)))
7 nnindd.4 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
87imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜂)))
9 nnindd.5 . . 3 (𝜑𝜒)
10 nnindd.6 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
1110ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ) → (𝜃𝜏))
1211expcom 417 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝜃𝜏)))
1312a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜏)))
142, 4, 6, 8, 9, 13nnind 11848 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑𝜂))
1514impcom 411 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7213  1c1 10730   + caddc 10732  cn 11830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-1cn 10787
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-nn 11831
This theorem is referenced by:  fzto1st  31089  psgnfzto1st  31091  fiunelros  31854  fsuppind  39989
  Copyright terms: Public domain W3C validator