Theorem nnindd 12182

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnindd.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
nnindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
nnindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
nnindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
nnindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
nnindd.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)

Assertion

Ref	Expression
nnindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
3		nnindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
5		nnindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
7		nnindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
9		nnindd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
10		nnindd.6	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
11	10	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝜃 → 𝜏))
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
13	12	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
14	2, 4, 6, 8, 9, 13	nnind 12180	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜂))
15	14	impcom 407	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  ℕcn 12162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163

This theorem is referenced by:  psdpw  22033  fzto1st  33033  psgnfzto1st  33035  fiunelros  34137  ringexp0nn  42095  sn-nnne0  42421  renegmulnnass  42426  fsuppind  42551