MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnindd 12181
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnindd.1 (𝑥 = 1 → (𝜓𝜒))
nnindd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
nnindd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
nnindd.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
nnindd.5 (𝜑𝜒)
nnindd.6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
Assertion
Ref Expression
nnindd ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnindd
StepHypRef Expression
1 nnindd.1 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝜓𝜒))
21imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜒)))
3 nnindd.2 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
43imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜃)))
5 nnindd.3 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
65imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜏)))
7 nnindd.4 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
87imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜂)))
9 nnindd.5 . . 3 (𝜑𝜒)
10 nnindd.6 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
1110ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ) → (𝜃𝜏))
1211expcom 415 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝜃𝜏)))
1312a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜏)))
142, 4, 6, 8, 9, 13nnind 12179 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑𝜂))
1514impcom 409 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7361  1c1 11060   + caddc 11062  cn 12161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-1cn 11117
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-nn 12162
This theorem is referenced by:  fzto1st  32008  psgnfzto1st  32010  fiunelros  32837  fsuppind  40812  sn-nnne0  40964  renegmulnnass  40969
  Copyright terms: Public domain W3C validator