Theorem nnindd 12248

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnindd.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
nnindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
nnindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
nnindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
nnindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
nnindd.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)

Assertion

Ref	Expression
nnindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
3		nnindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
5		nnindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
7		nnindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
9		nnindd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
10		nnindd.6	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝜃) → 𝜏)
11	10	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝜃 → 𝜏))
12	11	expcom 418	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
13	12	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
14	2, 4, 6, 8, 9, 13	nnind 12246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜂))
15	14	impcom 412	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  1c1 11096   + caddc 11098  ℕcn 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-1cn 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229

This theorem is referenced by:  psdpw  22333  fzto1st  33423  psgnfzto1st  33425  fiunelros  34564  ringexp0nn  42901  sn-nnne0  43234  renegmulnnass  43239  fsuppind  43322