Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnfzto1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfzto1st 32791
Description: The permutation sign for moving one element to the first position. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d ๐ท = (1...๐‘)
psgnfzto1st.p ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
psgnfzto1st.g ๐บ = (SymGrpโ€˜๐ท)
psgnfzto1st.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
psgnfzto1st.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐ท)
Assertion
Ref Expression
psgnfzto1st (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘–   ๐‘–,๐ผ   ๐‘–,๐‘   ๐ต,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘–)   ๐‘†(๐‘–)   ๐บ(๐‘–)

Proof of Theorem psgnfzto1st
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1b 13588 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
21biimpi 215 . . . 4 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
3 psgnfzto1st.d . . . 4 ๐ท = (1...๐‘)
42, 3eleq2s 2846 . . 3 (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
5 3ancoma 1096 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
64, 5sylibr 233 . 2 (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
7 df-3an 1087 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
8 breq1 5145 . . . . . 6 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” 1 โ‰ค ๐‘))
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 1 โ†’ ๐‘š = 1)
10 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค 1))
1110ifbid 4547 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 1 โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
129, 11ifeq12d 4545 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 1 โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
1312mpteq2dv 5244 . . . . . . . 8 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
1413fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
15 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘š + 1) = (1 + 1))
1615oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐‘š = 1 โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘(1 + 1)))
1714, 16eqeq12d 2743 . . . . . 6 (๐‘š = 1 โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1))))
188, 17imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘š = 1 โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” (1 โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1)))))
19 breq1 5145 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘› โ‰ค ๐‘))
20 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ๐‘š = ๐‘›)
21 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค ๐‘›))
2221ifbid 4547 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
2320, 22ifeq12d 4545 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
2423mpteq2dv 5244 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
2524fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
26 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘› + 1))
2726oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))
2825, 27eqeq12d 2743 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
2919, 28imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))))
30 breq1 5145 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘))
31 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ๐‘š = (๐‘› + 1))
32 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1)))
3332ifbid 4547 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
3431, 33ifeq12d 4545 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
3534mpteq2dv 5244 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
3635fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
37 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š + 1) = ((๐‘› + 1) + 1))
3837oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
3936, 38eqeq12d 2743 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1))))
4030, 39imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” ((๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))))
41 breq1 5145 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” ๐ผ โ‰ค ๐‘))
42 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐ผ โ†’ ๐‘š = ๐ผ)
43 breq2 5146 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค ๐ผ))
4443ifbid 4547 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐ผ โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
4542, 44ifeq12d 4545 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐ผ โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
4645mpteq2dv 5244 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
47 psgnfzto1st.p . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
4846, 47eqtr4di 2785 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = ๐‘ƒ)
4948fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜๐‘ƒ))
50 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘š + 1) = (๐ผ + 1))
5150oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
5249, 51eqeq12d 2743 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ผ โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1))))
5341, 52imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘š = ๐ผ โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” (๐ผ โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))))
54 fzfi 13955 . . . . . . . . 9 (1...๐‘) โˆˆ Fin
553, 54eqeltri 2824 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ Fin
56 psgnfzto1st.s . . . . . . . . 9 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐ท)
5756psgnid 32783 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ Fin โ†’ (๐‘†โ€˜( I โ†พ ๐ท)) = 1)
5855, 57ax-mp 5 . . . . . . 7 (๐‘†โ€˜( I โ†พ ๐ท)) = 1
59 eqid 2727 . . . . . . . . 9 1 = 1
60 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
613, 60fzto1st1 32788 . . . . . . . . 9 (1 = 1 โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = ( I โ†พ ๐ท))
6259, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = ( I โ†พ ๐ท)
6362fveq2i 6894 . . . . . . 7 (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜( I โ†พ ๐ท))
64 1p1e2 12353 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
6564oveq2i 7425 . . . . . . . 8 (-1โ†‘(1 + 1)) = (-1โ†‘2)
66 neg1sqe1 14177 . . . . . . . 8 (-1โ†‘2) = 1
6765, 66eqtri 2755 . . . . . . 7 (-1โ†‘(1 + 1)) = 1
6858, 63, 673eqtr4i 2765 . . . . . 6 (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1))
69682a1i 12 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1))))
70 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
7170peano2nnd 12245 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
72 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
73 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘)
7471, 72, 733jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘))
75 elfz1b 13588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†” ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘))
7674, 75sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (1...๐‘))
7776, 3eleqtrrdi 2839 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ ๐ท)
783psgnfzto1stlem 32786 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
7970, 77, 78syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
8079adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
8180fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))))
8255a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐ท โˆˆ Fin)
83 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 ran (pmTrspโ€˜๐ท) = ran (pmTrspโ€˜๐ท)
84 psgnfzto1st.g . . . . . . . . . 10 ๐บ = (SymGrpโ€˜๐ท)
85 psgnfzto1st.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
8683, 84, 85symgtrf 19408 . . . . . . . . 9 ran (pmTrspโ€˜๐ท) โІ ๐ต
87 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrspโ€˜๐ท) = (pmTrspโ€˜๐ท)
883, 87pmtrto1cl 32785 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ ๐ท) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท))
8970, 77, 88syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท))
9089adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท))
9186, 90sselid 3976 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ๐ต)
9270nnred 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
93 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9492, 93readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
9572nnred 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
9692lep1d 12161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐‘› + 1))
9792, 94, 95, 96, 73letrd 11387 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘)
9870, 72, 973jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐‘))
99 elfz1b 13588 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐‘))
10098, 99sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (1...๐‘))
101100, 3eleqtrrdi 2839 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐ท)
102101adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐ท)
103 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
1043, 103, 84, 85fzto1st 32789 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) โˆˆ ๐ต)
105102, 104syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) โˆˆ ๐ต)
10684, 56, 85psgnco 21495 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ Fin โˆง ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘†โ€˜(((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))))
10782, 91, 105, 106syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))))
10884, 83, 56psgnpmtr 19449 . . . . . . . . . . 11 (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ (๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) = -1)
10989, 108syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) = -1)
110109adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) = -1)
11197adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘)
112 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
113111, 112mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))
114110, 113oveq12d 7432 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
115 neg1cn 12342 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„‚
116 peano2nn 12240 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
117116nnnn0d 12548 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
118 expp1 14051 . . . . . . . . . . 11 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘› + 1)) ยท -1))
119115, 117, 118sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘› + 1)) ยท -1))
120115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
121120, 117expcld 14128 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
122121, 120mulcomd 11251 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘(๐‘› + 1)) ยท -1) = (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
123119, 122eqtr2d 2768 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
124123ad3antlr 730 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
125114, 124eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
12681, 107, 1253eqtrd 2771 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
127126ex 412 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โ†’ ((๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1))))
12818, 29, 40, 53, 69, 127nnindd 12248 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ผ โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1))))
129128imp 406 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
1307, 129sylbi 216 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
1316, 130syl 17 1 (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225   I cid 5569  ran crn 5673   โ†พ cres 5674   โˆ˜ ccom 5676  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  โ„‚cc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„•0cn0 12488  ...cfz 13502  โ†‘cexp 14044  Basecbs 17165  SymGrpcsymg 19305  pmTrspcpmtr 19380  pmSgncpsgn 19428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203  ax-mulf 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-word 14483  df-lsw 14531  df-concat 14539  df-s1 14564  df-substr 14609  df-pfx 14639  df-splice 14718  df-reverse 14727  df-s2 14817  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-efmnd 18806  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19197  df-oppg 19281  df-symg 19306  df-pmtr 19381  df-psgn 19430  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20608  df-cnfld 21260
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  33354
  Copyright terms: Public domain W3C validator