Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnfzto1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfzto1st 32869
Description: The permutation sign for moving one element to the first position. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d ๐ท = (1...๐‘)
psgnfzto1st.p ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
psgnfzto1st.g ๐บ = (SymGrpโ€˜๐ท)
psgnfzto1st.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
psgnfzto1st.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐ท)
Assertion
Ref Expression
psgnfzto1st (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘–   ๐‘–,๐ผ   ๐‘–,๐‘   ๐ต,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘–)   ๐‘†(๐‘–)   ๐บ(๐‘–)

Proof of Theorem psgnfzto1st
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1b 13600 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
21biimpi 215 . . . 4 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
3 psgnfzto1st.d . . . 4 ๐ท = (1...๐‘)
42, 3eleq2s 2843 . . 3 (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
5 3ancoma 1095 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
64, 5sylibr 233 . 2 (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
7 df-3an 1086 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
8 breq1 5146 . . . . . 6 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” 1 โ‰ค ๐‘))
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 1 โ†’ ๐‘š = 1)
10 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค 1))
1110ifbid 4547 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 1 โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
129, 11ifeq12d 4545 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 1 โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
1312mpteq2dv 5245 . . . . . . . 8 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
1413fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
15 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘š + 1) = (1 + 1))
1615oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘š = 1 โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘(1 + 1)))
1714, 16eqeq12d 2741 . . . . . 6 (๐‘š = 1 โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1))))
188, 17imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘š = 1 โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” (1 โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1)))))
19 breq1 5146 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘› โ‰ค ๐‘))
20 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ๐‘š = ๐‘›)
21 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค ๐‘›))
2221ifbid 4547 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
2320, 22ifeq12d 4545 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
2423mpteq2dv 5245 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
2524fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
26 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘› + 1))
2726oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))
2825, 27eqeq12d 2741 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
2919, 28imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))))
30 breq1 5146 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘))
31 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ๐‘š = (๐‘› + 1))
32 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1)))
3332ifbid 4547 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
3431, 33ifeq12d 4545 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
3534mpteq2dv 5245 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
3635fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
37 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š + 1) = ((๐‘› + 1) + 1))
3837oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
3936, 38eqeq12d 2741 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1))))
4030, 39imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” ((๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))))
41 breq1 5146 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” ๐ผ โ‰ค ๐‘))
42 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐ผ โ†’ ๐‘š = ๐ผ)
43 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค ๐ผ))
4443ifbid 4547 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐ผ โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
4542, 44ifeq12d 4545 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐ผ โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
4645mpteq2dv 5245 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
47 psgnfzto1st.p . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
4846, 47eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = ๐‘ƒ)
4948fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜๐‘ƒ))
50 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘š + 1) = (๐ผ + 1))
5150oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
5249, 51eqeq12d 2741 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ผ โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1))))
5341, 52imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘š = ๐ผ โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” (๐ผ โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))))
54 fzfi 13967 . . . . . . . . 9 (1...๐‘) โˆˆ Fin
553, 54eqeltri 2821 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ Fin
56 psgnfzto1st.s . . . . . . . . 9 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐ท)
5756psgnid 32861 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ Fin โ†’ (๐‘†โ€˜( I โ†พ ๐ท)) = 1)
5855, 57ax-mp 5 . . . . . . 7 (๐‘†โ€˜( I โ†พ ๐ท)) = 1
59 eqid 2725 . . . . . . . . 9 1 = 1
60 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
613, 60fzto1st1 32866 . . . . . . . . 9 (1 = 1 โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = ( I โ†พ ๐ท))
6259, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = ( I โ†พ ๐ท)
6362fveq2i 6894 . . . . . . 7 (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜( I โ†พ ๐ท))
64 1p1e2 12365 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
6564oveq2i 7426 . . . . . . . 8 (-1โ†‘(1 + 1)) = (-1โ†‘2)
66 neg1sqe1 14189 . . . . . . . 8 (-1โ†‘2) = 1
6765, 66eqtri 2753 . . . . . . 7 (-1โ†‘(1 + 1)) = 1
6858, 63, 673eqtr4i 2763 . . . . . 6 (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1))
69682a1i 12 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1))))
70 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
7170peano2nnd 12257 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
72 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
73 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘)
7471, 72, 733jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘))
75 elfz1b 13600 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†” ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘))
7674, 75sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (1...๐‘))
7776, 3eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ ๐ท)
783psgnfzto1stlem 32864 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
7970, 77, 78syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
8079adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
8180fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))))
8255a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐ท โˆˆ Fin)
83 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 ran (pmTrspโ€˜๐ท) = ran (pmTrspโ€˜๐ท)
84 psgnfzto1st.g . . . . . . . . . 10 ๐บ = (SymGrpโ€˜๐ท)
85 psgnfzto1st.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
8683, 84, 85symgtrf 19426 . . . . . . . . 9 ran (pmTrspโ€˜๐ท) โІ ๐ต
87 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrspโ€˜๐ท) = (pmTrspโ€˜๐ท)
883, 87pmtrto1cl 32863 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ ๐ท) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท))
8970, 77, 88syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท))
9089adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท))
9186, 90sselid 3970 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ๐ต)
9270nnred 12255 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
93 1red 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9492, 93readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
9572nnred 12255 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
9692lep1d 12173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐‘› + 1))
9792, 94, 95, 96, 73letrd 11399 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘)
9870, 72, 973jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐‘))
99 elfz1b 13600 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐‘))
10098, 99sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (1...๐‘))
101100, 3eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐ท)
102101adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐ท)
103 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
1043, 103, 84, 85fzto1st 32867 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) โˆˆ ๐ต)
105102, 104syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) โˆˆ ๐ต)
10684, 56, 85psgnco 21517 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ Fin โˆง ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘†โ€˜(((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))))
10782, 91, 105, 106syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))))
10884, 83, 56psgnpmtr 19467 . . . . . . . . . . 11 (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ (๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) = -1)
10989, 108syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) = -1)
110109adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) = -1)
11197adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘)
112 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
113111, 112mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))
114110, 113oveq12d 7433 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
115 neg1cn 12354 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„‚
116 peano2nn 12252 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
117116nnnn0d 12560 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
118 expp1 14063 . . . . . . . . . . 11 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘› + 1)) ยท -1))
119115, 117, 118sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘› + 1)) ยท -1))
120115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
121120, 117expcld 14140 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
122121, 120mulcomd 11263 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘(๐‘› + 1)) ยท -1) = (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
123119, 122eqtr2d 2766 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
124123ad3antlr 729 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
125114, 124eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
12681, 107, 1253eqtrd 2769 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
127126ex 411 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โ†’ ((๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1))))
12818, 29, 40, 53, 69, 127nnindd 12260 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ผ โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1))))
129128imp 405 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
1307, 129sylbi 216 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
1316, 130syl 17 1 (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226   I cid 5569  ran crn 5673   โ†พ cres 5674   โˆ˜ ccom 5676  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  โ„‚cc 11134  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โ‰ค cle 11277   โˆ’ cmin 11472  -cneg 11473  โ„•cn 12240  2c2 12295  โ„•0cn0 12500  ...cfz 13514  โ†‘cexp 14056  Basecbs 17177  SymGrpcsymg 19323  pmTrspcpmtr 19398  pmSgncpsgn 19446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-concat 14551  df-s1 14576  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-splice 14730  df-reverse 14739  df-s2 14829  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-efmnd 18823  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-gim 19215  df-oppg 19299  df-symg 19324  df-pmtr 19399  df-psgn 19448  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-cnfld 21282
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  33487
  Copyright terms: Public domain W3C validator