Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnfzto1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfzto1st 31996
Description: The permutation sign for moving one element to the first position. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d ๐ท = (1...๐‘)
psgnfzto1st.p ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
psgnfzto1st.g ๐บ = (SymGrpโ€˜๐ท)
psgnfzto1st.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
psgnfzto1st.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐ท)
Assertion
Ref Expression
psgnfzto1st (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘–   ๐‘–,๐ผ   ๐‘–,๐‘   ๐ต,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘–)   ๐‘†(๐‘–)   ๐บ(๐‘–)

Proof of Theorem psgnfzto1st
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1b 13517 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
21biimpi 215 . . . 4 (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
3 psgnfzto1st.d . . . 4 ๐ท = (1...๐‘)
42, 3eleq2s 2856 . . 3 (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
5 3ancoma 1099 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
64, 5sylibr 233 . 2 (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
7 df-3an 1090 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘))
8 breq1 5113 . . . . . 6 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” 1 โ‰ค ๐‘))
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 1 โ†’ ๐‘š = 1)
10 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค 1))
1110ifbid 4514 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 1 โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
129, 11ifeq12d 4512 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 1 โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
1312mpteq2dv 5212 . . . . . . . 8 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
1413fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
15 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘š + 1) = (1 + 1))
1615oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘š = 1 โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘(1 + 1)))
1714, 16eqeq12d 2753 . . . . . 6 (๐‘š = 1 โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1))))
188, 17imbi12d 345 . . . . 5 (๐‘š = 1 โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” (1 โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1)))))
19 breq1 5113 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘› โ‰ค ๐‘))
20 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ๐‘š = ๐‘›)
21 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค ๐‘›))
2221ifbid 4514 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
2320, 22ifeq12d 4512 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
2423mpteq2dv 5212 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
2524fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
26 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘› + 1))
2726oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))
2825, 27eqeq12d 2753 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
2919, 28imbi12d 345 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))))
30 breq1 5113 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘))
31 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ๐‘š = (๐‘› + 1))
32 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1)))
3332ifbid 4514 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
3431, 33ifeq12d 4512 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
3534mpteq2dv 5212 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
3635fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
37 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š + 1) = ((๐‘› + 1) + 1))
3837oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
3936, 38eqeq12d 2753 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1))))
4030, 39imbi12d 345 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” ((๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))))
41 breq1 5113 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†” ๐ผ โ‰ค ๐‘))
42 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐ผ โ†’ ๐‘š = ๐ผ)
43 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘– โ‰ค ๐‘š โ†” ๐‘– โ‰ค ๐ผ))
4443ifbid 4514 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐ผ โ†’ if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–) = if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))
4542, 44ifeq12d 4512 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐ผ โ†’ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)) = if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
4645mpteq2dv 5212 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))
47 psgnfzto1st.p . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐ผ, if(๐‘– โ‰ค ๐ผ, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
4846, 47eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = ๐‘ƒ)
4948fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜๐‘ƒ))
50 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (๐‘š + 1) = (๐ผ + 1))
5150oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐ผ โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
5249, 51eqeq12d 2753 . . . . . 6 (๐‘š = ๐ผ โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1))))
5341, 52imbi12d 345 . . . . 5 (๐‘š = ๐ผ โ†’ ((๐‘š โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘š, if(๐‘– โ‰ค ๐‘š, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1))) โ†” (๐ผ โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))))
54 fzfi 13884 . . . . . . . . 9 (1...๐‘) โˆˆ Fin
553, 54eqeltri 2834 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ Fin
56 psgnfzto1st.s . . . . . . . . 9 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐ท)
5756psgnid 31988 . . . . . . . 8 (๐ท โˆˆ Fin โ†’ (๐‘†โ€˜( I โ†พ ๐ท)) = 1)
5855, 57ax-mp 5 . . . . . . 7 (๐‘†โ€˜( I โ†พ ๐ท)) = 1
59 eqid 2737 . . . . . . . . 9 1 = 1
60 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
613, 60fzto1st1 31993 . . . . . . . . 9 (1 = 1 โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = ( I โ†พ ๐ท))
6259, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = ( I โ†พ ๐ท)
6362fveq2i 6850 . . . . . . 7 (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜( I โ†พ ๐ท))
64 1p1e2 12285 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
6564oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (-1โ†‘(1 + 1)) = (-1โ†‘2)
66 neg1sqe1 14107 . . . . . . . 8 (-1โ†‘2) = 1
6765, 66eqtri 2765 . . . . . . 7 (-1โ†‘(1 + 1)) = 1
6858, 63, 673eqtr4i 2775 . . . . . 6 (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1))
69682a1i 12 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, 1, if(๐‘– โ‰ค 1, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(1 + 1))))
70 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
7170peano2nnd 12177 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
72 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
73 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘)
7471, 72, 733jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘))
75 elfz1b 13517 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› + 1) โˆˆ (1...๐‘) โ†” ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘))
7674, 75sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (1...๐‘))
7776, 3eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ ๐ท)
783psgnfzto1stlem 31991 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
7970, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
8079adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))))
8180fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (๐‘†โ€˜(((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))))
8255a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐ท โˆˆ Fin)
83 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ran (pmTrspโ€˜๐ท) = ran (pmTrspโ€˜๐ท)
84 psgnfzto1st.g . . . . . . . . . 10 ๐บ = (SymGrpโ€˜๐ท)
85 psgnfzto1st.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
8683, 84, 85symgtrf 19258 . . . . . . . . 9 ran (pmTrspโ€˜๐ท) โŠ† ๐ต
87 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (pmTrspโ€˜๐ท) = (pmTrspโ€˜๐ท)
883, 87pmtrto1cl 31990 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ ๐ท) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท))
8970, 77, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท))
9089adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท))
9186, 90sselid 3947 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ๐ต)
9270nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
93 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9492, 93readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
9572nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
9692lep1d 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐‘› + 1))
9792, 94, 95, 96, 73letrd 11319 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘)
9870, 72, 973jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐‘))
99 elfz1b 13517 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐‘))
10098, 99sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (1...๐‘))
101100, 3eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐ท)
102101adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐ท)
103 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))
1043, 103, 84, 85fzto1st 31994 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) โˆˆ ๐ต)
105102, 104syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) โˆˆ ๐ต)
10684, 56, 85psgnco 21003 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ Fin โˆง ((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘†โ€˜(((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))))
10782, 91, 105, 106syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))))
10884, 83, 56psgnpmtr 19299 . . . . . . . . . . 11 (((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)}) โˆˆ ran (pmTrspโ€˜๐ท) โ†’ (๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) = -1)
10989, 108syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) = -1)
110109adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) = -1)
11197adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐‘)
112 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
113111, 112mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))
114110, 113oveq12d 7380 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
115 neg1cn 12274 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„‚
116 peano2nn 12172 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
117116nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
118 expp1 13981 . . . . . . . . . . 11 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘› + 1)) ยท -1))
119115, 117, 118sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘› + 1)) ยท -1))
120115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
121120, 117expcld 14058 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
122121, 120mulcomd 11183 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘(๐‘› + 1)) ยท -1) = (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))))
123119, 122eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
124123ad3antlr 730 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘› + 1))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
125114, 124eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘†โ€˜((pmTrspโ€˜๐ท)โ€˜{๐‘›, (๐‘› + 1)})) ยท (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–))))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
12681, 107, 1253eqtrd 2781 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โˆง (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1)))
127126ex 414 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, ๐‘›, if(๐‘– โ‰ค ๐‘›, (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘(๐‘› + 1)))) โ†’ ((๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘– = 1, (๐‘› + 1), if(๐‘– โ‰ค (๐‘› + 1), (๐‘– โˆ’ 1), ๐‘–)))) = (-1โ†‘((๐‘› + 1) + 1))))
12818, 29, 40, 53, 69, 127nnindd 12180 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ผ โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1))))
129128imp 408 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
1307, 129sylbi 216 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
1316, 130syl 17 1 (๐ผ โˆˆ ๐ท โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = (-1โ†‘(๐ผ + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4491  {cpr 4593   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193   I cid 5535  ran crn 5639   โ†พ cres 5640   โˆ˜ ccom 5642  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  Basecbs 17090  SymGrpcsymg 19155  pmTrspcpmtr 19230  pmSgncpsgn 19278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-reverse 14654  df-s2 14744  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-efmnd 18686  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-oppg 19131  df-symg 19156  df-pmtr 19231  df-psgn 19280  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-cnfld 20813
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  32451
  Copyright terms: Public domain W3C validator