Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elfz1b 13517 |
. . . . 5
โข (๐ผ โ (1...๐) โ (๐ผ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ผ โค ๐)) |
2 | 1 | biimpi 215 |
. . . 4
โข (๐ผ โ (1...๐) โ (๐ผ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ผ โค ๐)) |
3 | | psgnfzto1st.d |
. . . 4
โข ๐ท = (1...๐) |
4 | 2, 3 | eleq2s 2856 |
. . 3
โข (๐ผ โ ๐ท โ (๐ผ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ผ โค ๐)) |
5 | | 3ancoma 1099 |
. . 3
โข ((๐ โ โ โง ๐ผ โ โ โง ๐ผ โค ๐) โ (๐ผ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ผ โค ๐)) |
6 | 4, 5 | sylibr 233 |
. 2
โข (๐ผ โ ๐ท โ (๐ โ โ โง ๐ผ โ โ โง ๐ผ โค ๐)) |
7 | | df-3an 1090 |
. . 3
โข ((๐ โ โ โง ๐ผ โ โ โง ๐ผ โค ๐) โ ((๐ โ โ โง ๐ผ โ โ) โง ๐ผ โค ๐)) |
8 | | breq1 5113 |
. . . . . 6
โข (๐ = 1 โ (๐ โค ๐ โ 1 โค ๐)) |
9 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = 1 โ ๐ = 1) |
10 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = 1 โ (๐ โค ๐ โ ๐ โค 1)) |
11 | 10 | ifbid 4514 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = 1 โ if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐)) |
12 | 9, 11 | ifeq12d 4512 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 1 โ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐))) |
13 | 12 | mpteq2dv 5212 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = 1 โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐)))) |
14 | 13 | fveq2d 6851 |
. . . . . . 7
โข (๐ = 1 โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐))))) |
15 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = 1 โ (๐ + 1) = (1 + 1)) |
16 | 15 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
โข (๐ = 1 โ (-1โ(๐ + 1)) = (-1โ(1 +
1))) |
17 | 14, 16 | eqeq12d 2753 |
. . . . . 6
โข (๐ = 1 โ ((๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)) โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(1 + 1)))) |
18 | 8, 17 | imbi12d 345 |
. . . . 5
โข (๐ = 1 โ ((๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1))) โ (1 โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(1 + 1))))) |
19 | | breq1 5113 |
. . . . . 6
โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐)) |
20 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ ๐ = ๐) |
21 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐)) |
22 | 21 | ifbid 4514 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) |
23 | 20, 22 | ifeq12d 4512 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
24 | 23 | mpteq2dv 5212 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) |
25 | 24 | fveq2d 6851 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))))) |
26 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ โ (๐ + 1) = (๐ + 1)) |
27 | 26 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ โ (-1โ(๐ + 1)) = (-1โ(๐ + 1))) |
28 | 25, 27 | eqeq12d 2753 |
. . . . . 6
โข (๐ = ๐ โ ((๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)) โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) |
29 | 19, 28 | imbi12d 345 |
. . . . 5
โข (๐ = ๐ โ ((๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1))) โ (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1))))) |
30 | | breq1 5113 |
. . . . . 6
โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โค ๐ โ (๐ + 1) โค ๐)) |
31 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = (๐ + 1) โ ๐ = (๐ + 1)) |
32 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โค ๐ โ ๐ โค (๐ + 1))) |
33 | 32 | ifbid 4514 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = (๐ + 1) โ if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐)) |
34 | 31, 33 | ifeq12d 4512 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = (๐ + 1) โ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐))) |
35 | 34 | mpteq2dv 5212 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐)))) |
36 | 35 | fveq2d 6851 |
. . . . . . 7
โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐))))) |
37 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ + 1) = ((๐ + 1) + 1)) |
38 | 37 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
โข (๐ = (๐ + 1) โ (-1โ(๐ + 1)) = (-1โ((๐ + 1) + 1))) |
39 | 36, 38 | eqeq12d 2753 |
. . . . . 6
โข (๐ = (๐ + 1) โ ((๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)) โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ((๐ + 1) + 1)))) |
40 | 30, 39 | imbi12d 345 |
. . . . 5
โข (๐ = (๐ + 1) โ ((๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1))) โ ((๐ + 1) โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ((๐ + 1) + 1))))) |
41 | | breq1 5113 |
. . . . . 6
โข (๐ = ๐ผ โ (๐ โค ๐ โ ๐ผ โค ๐)) |
42 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ผ โ ๐ = ๐ผ) |
43 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ผ โ (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐ผ)) |
44 | 43 | ifbid 4514 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ผ โ if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐)) |
45 | 42, 44 | ifeq12d 4512 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ผ โ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) |
46 | 45 | mpteq2dv 5212 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ผ โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐)))) |
47 | | psgnfzto1st.p |
. . . . . . . . 9
โข ๐ = (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) |
48 | 46, 47 | eqtr4di 2795 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ผ โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = ๐) |
49 | 48 | fveq2d 6851 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ผ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (๐โ๐)) |
50 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ผ โ (๐ + 1) = (๐ผ + 1)) |
51 | 50 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ผ โ (-1โ(๐ + 1)) = (-1โ(๐ผ + 1))) |
52 | 49, 51 | eqeq12d 2753 |
. . . . . 6
โข (๐ = ๐ผ โ ((๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)) โ (๐โ๐) = (-1โ(๐ผ + 1)))) |
53 | 41, 52 | imbi12d 345 |
. . . . 5
โข (๐ = ๐ผ โ ((๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1))) โ (๐ผ โค ๐ โ (๐โ๐) = (-1โ(๐ผ + 1))))) |
54 | | fzfi 13884 |
. . . . . . . . 9
โข
(1...๐) โ
Fin |
55 | 3, 54 | eqeltri 2834 |
. . . . . . . 8
โข ๐ท โ Fin |
56 | | psgnfzto1st.s |
. . . . . . . . 9
โข ๐ = (pmSgnโ๐ท) |
57 | 56 | psgnid 31988 |
. . . . . . . 8
โข (๐ท โ Fin โ (๐โ( I โพ ๐ท)) = 1) |
58 | 55, 57 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
โข (๐โ( I โพ ๐ท)) = 1 |
59 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
โข 1 =
1 |
60 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐))) |
61 | 3, 60 | fzto1st1 31993 |
. . . . . . . . 9
โข (1 = 1
โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐))) = ( I โพ ๐ท)) |
62 | 59, 61 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐))) = ( I โพ ๐ท) |
63 | 62 | fveq2i 6850 |
. . . . . . 7
โข (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐)))) = (๐โ( I โพ ๐ท)) |
64 | | 1p1e2 12285 |
. . . . . . . . 9
โข (1 + 1) =
2 |
65 | 64 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . 8
โข
(-1โ(1 + 1)) = (-1โ2) |
66 | | neg1sqe1 14107 |
. . . . . . . 8
โข
(-1โ2) = 1 |
67 | 65, 66 | eqtri 2765 |
. . . . . . 7
โข
(-1โ(1 + 1)) = 1 |
68 | 58, 63, 67 | 3eqtr4i 2775 |
. . . . . 6
โข (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(1 + 1)) |
69 | 68 | 2a1i 12 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ โ (1 โค
๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, 1, if(๐ โค 1, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(1 + 1)))) |
70 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โ โ) |
71 | 70 | peano2nnd 12177 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ + 1) โ โ) |
72 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โ โ) |
73 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ + 1) โค ๐) |
74 | 71, 72, 73 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ((๐ + 1) โ โ โง ๐ โ โ โง (๐ + 1) โค ๐)) |
75 | | elfz1b 13517 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ + 1) โ (1...๐) โ ((๐ + 1) โ โ โง ๐ โ โ โง (๐ + 1) โค ๐)) |
76 | 74, 75 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ + 1) โ (1...๐)) |
77 | 76, 3 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ + 1) โ ๐ท) |
78 | 3 | psgnfzto1stlem 31991 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ โง (๐ + 1) โ ๐ท) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐))) = (((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))))) |
79 | 70, 77, 78 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐))) = (((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))))) |
80 | 79 | adantlr 714 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐))) = (((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))))) |
81 | 80 | fveq2d 6851 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐)))) = (๐โ(((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))))) |
82 | 55 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ท โ Fin) |
83 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
โข ran
(pmTrspโ๐ท) = ran
(pmTrspโ๐ท) |
84 | | psgnfzto1st.g |
. . . . . . . . . 10
โข ๐บ = (SymGrpโ๐ท) |
85 | | psgnfzto1st.b |
. . . . . . . . . 10
โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
86 | 83, 84, 85 | symgtrf 19258 |
. . . . . . . . 9
โข ran
(pmTrspโ๐ท) โ
๐ต |
87 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(pmTrspโ๐ท) =
(pmTrspโ๐ท) |
88 | 3, 87 | pmtrto1cl 31990 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ โง (๐ + 1) โ ๐ท) โ ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ ran (pmTrspโ๐ท)) |
89 | 70, 77, 88 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ ran (pmTrspโ๐ท)) |
90 | 89 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ ran (pmTrspโ๐ท)) |
91 | 86, 90 | sselid 3947 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ ๐ต) |
92 | 70 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โ โ) |
93 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ 1 โ โ) |
94 | 92, 93 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ + 1) โ โ) |
95 | 72 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โ โ) |
96 | 92 | lep1d 12093 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โค (๐ + 1)) |
97 | 92, 94, 95, 96, 73 | letrd 11319 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โค ๐) |
98 | 70, 72, 97 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โค ๐)) |
99 | | elfz1b 13517 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (1...๐) โ (๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โค ๐)) |
100 | 98, 99 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โ (1...๐)) |
101 | 100, 3 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โ ๐ท) |
102 | 101 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โ ๐ท) |
103 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
104 | 3, 103, 84, 85 | fzto1st 31994 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ท โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) โ ๐ต) |
105 | 102, 104 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) โ ๐ต) |
106 | 84, 56, 85 | psgnco 21003 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ท โ Fin โง
((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ ๐ต โง (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) โ ๐ต) โ (๐โ(((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))))) = ((๐โ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)})) ยท (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))))) |
107 | 82, 91, 105, 106 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐โ(((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ (๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))))) = ((๐โ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)})) ยท (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))))) |
108 | 84, 83, 56 | psgnpmtr 19299 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)}) โ ran (pmTrspโ๐ท) โ (๐โ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)})) = -1) |
109 | 89, 108 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐โ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)})) = -1) |
110 | 109 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐โ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)})) = -1) |
111 | 97 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ๐ โค ๐) |
112 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) |
113 | 111, 112 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1))) |
114 | 110, 113 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ((๐โ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)})) ยท (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))))) = (-1 ยท (-1โ(๐ + 1)))) |
115 | | neg1cn 12274 |
. . . . . . . . . . 11
โข -1 โ
โ |
116 | | peano2nn 12172 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ โ (๐ + 1) โ
โ) |
117 | 116 | nnnn0d 12480 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ โ (๐ + 1) โ
โ0) |
118 | | expp1 13981 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((-1
โ โ โง (๐ +
1) โ โ0) โ (-1โ((๐ + 1) + 1)) = ((-1โ(๐ + 1)) ยท -1)) |
119 | 115, 117,
118 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ
(-1โ((๐ + 1) + 1)) =
((-1โ(๐ + 1)) ยท
-1)) |
120 | 115 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ โ -1 โ
โ) |
121 | 120, 117 | expcld 14058 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ โ
(-1โ(๐ + 1)) โ
โ) |
122 | 121, 120 | mulcomd 11183 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ
((-1โ(๐ + 1)) ยท
-1) = (-1 ยท (-1โ(๐ + 1)))) |
123 | 119, 122 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ (-1
ยท (-1โ(๐ + 1)))
= (-1โ((๐ + 1) +
1))) |
124 | 123 | ad3antlr 730 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (-1 ยท (-1โ(๐ + 1))) = (-1โ((๐ + 1) + 1))) |
125 | 114, 124 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ ((๐โ((pmTrspโ๐ท)โ{๐, (๐ + 1)})) ยท (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))))) = (-1โ((๐ + 1) + 1))) |
126 | 81, 107, 125 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โง (๐ + 1) โค ๐) โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ((๐ + 1) + 1))) |
127 | 126 | ex 414 |
. . . . 5
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ(๐ + 1)))) โ ((๐ + 1) โค ๐ โ (๐โ(๐ โ ๐ท โฆ if(๐ = 1, (๐ + 1), if(๐ โค (๐ + 1), (๐ โ 1), ๐)))) = (-1โ((๐ + 1) + 1)))) |
128 | 18, 29, 40, 53, 69, 127 | nnindd 12180 |
. . . 4
โข ((๐ โ โ โง ๐ผ โ โ) โ (๐ผ โค ๐ โ (๐โ๐) = (-1โ(๐ผ + 1)))) |
129 | 128 | imp 408 |
. . 3
โข (((๐ โ โ โง ๐ผ โ โ) โง ๐ผ โค ๐) โ (๐โ๐) = (-1โ(๐ผ + 1))) |
130 | 7, 129 | sylbi 216 |
. 2
โข ((๐ โ โ โง ๐ผ โ โ โง ๐ผ โค ๐) โ (๐โ๐) = (-1โ(๐ผ + 1))) |
131 | 6, 130 | syl 17 |
1
โข (๐ผ โ ๐ท โ (๐โ๐) = (-1โ(๐ผ + 1))) |