Theorem nn1m1nn 12363

Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn1m1nn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn1m1nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 881	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ))
2		1cnd 11309	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	2thd 268	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ 1 ∈ ℂ))
4		eqeq1 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑦 = 1))
5		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 1) = (𝑦 − 1))
6	5	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 1) ∈ ℕ))
7	4, 6	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ)))
8		eqeq1 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 = 1 ↔ (𝑦 + 1) = 1))
9		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
10	9	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
11	8, 10	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
12		eqeq1 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 1 ↔ 𝐴 = 1))
13		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 1) = (𝐴 − 1))
14	13	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
15	12, 14	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ)))
16		ax-1cn 11265	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		nncn 12350	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		pncan 11570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
19	17, 16, 18	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
20		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
21	19, 20	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
22	21	olcd 888	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
23	22	a1d 26	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
24	3, 7, 11, 15, 16, 23	nnind 12360	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  1c1 11208   + caddc 11210   − cmin 11548  ℕcn 12342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-nn 12343

This theorem is used by:  nn1suc  12364  nnsub  12389  nnm1nn0  12654  nn0ge2m1nn  12683  elfznelfzo  13915  psgnfzto1stlem  33711  ballotlemfc0  35175  ballotlemfcc  35176  stirlinglem5  47196