Theorem nnind 12346

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. See nnaddcl 12351 for an example of its use. See nn0ind 12787 for induction on nonnegative integers and uzind 12784, uzind4 13026 for induction on an arbitrary upper set of integers. See indstr 13036 for strong induction. See also nnindALT 12347. This is an alternative for Metamath 100 proof #74. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnind.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnind.5	⊢ 𝜓
nnind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12339	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnind.5	. . . . . 6 ⊢ 𝜓
3		nnind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 𝜓))
5	1, 2, 4	mpbir2an 724	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
6		elrabi 3641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ ℕ)
7		peano2nn 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
8	7	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ))
9		nnind.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃))
10	8, 9	anim12d 621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜒) → ((𝑦 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝜃)))
11		nnind.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
12	11	elrab 3645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜒))
13		nnind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
14	13	elrab 3645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ ((𝑦 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝜃))
15	10, 12, 14	3imtr4g 299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}))
16	6, 15	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
17	16	rgen 3079	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
18		peano5nni 12331	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}) → ℕ ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
19	5, 17, 18	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
20	19	sseli 3927	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
21		nnind.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
22	21	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝜏))
23	20, 22	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝜏))
24	23	simprd 501	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜏)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196  ℕcn 12328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329

This theorem is used by:  nnindALT  12347  nnindd  12348  nn1m1nn  12349  nnaddcl  12351  nnmulcl  12352  nnadd1com  12354  nnaddcom  12355  nnge1  12359  nnne0  12365  nnsub  12375  nnadddir  12387  nnmul1com  12388  nnmulcom  12389  nneo  12776  peano5uzi  12781  nn0ind-raph  12792  ser1const  14194  expcllem  14208  expeq0  14228  expmordi  14303  seqcoll  14602  relexpsucnnl  15176  relexpcnv  15181  relexprelg  15184  relexpnndm  15187  relexpaddnn  15197  climcndslem2  16012  sqrt2irr  16410  rplpwr  16725  prmind2  16853  prmdvdsexp  16884  eulerthlem2  16952  pcmpt  17063  prmpwdvds  17075  vdwlem10  17161  mulgnnass  19312  ofldchr  21875  imasdsf1olem  24685  ovolunlem1a  25810  ovolicc2lem3  25833  voliunlem1  25864  volsup  25870  dvexp  26266  plyco  26553  dgrcolem1  26585  vieta1  26628  emcllem6  27321  bposlem5  27608  2sqlem10  27748  dchrisum0flb  27830  iuninc  33148  nexple  33417  esumfzf  34694  rrvsum  35079  subfacp1lem6  35929  cvmliftlem10  36038  bcprod  36482  faclimlem1  36487  incsequz  38662  bfplem1  38736  nnn1suc  43311  2nn0ind  43931  relexpxpnnidm  44688  relexpss1d  44690  iunrelexpmin1  44693  relexpmulnn  44694  trclrelexplem  44696  iunrelexpmin2  44697  relexp0a  44701  cotrcltrcl  44710  trclimalb2  44711  cotrclrcl  44727  inductionexd  45140  fmuldfeq  46564  dvnmptconst  46920  stoweidlem20  46999  wallispilem4  47047  wallispi2lem1  47050  wallispi2lem2  47051  dirkertrigeqlem1  47077  iccelpart  48484  nn0sumshdiglem2  49703