Theorem nnind 12212

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. See nnaddcl 12217 for an example of its use. See nn0ind 12639 for induction on nonnegative integers and uzind 12636, uzind4 12872 for induction on an arbitrary upper set of integers. See indstr 12882 for strong induction. See also nnindALT 12213. This is an alternative for Metamath 100 proof #74. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnind.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnind.5	⊢ 𝜓
nnind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12205	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnind.5	. . . . . 6 ⊢ 𝜓
3		nnind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	elrab 3679	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 𝜓))
5	1, 2, 4	mpbir2an 709	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
6		elrabi 3673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ ℕ)
7		peano2nn 12206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
8	7	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ))
9		nnind.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃))
10	8, 9	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜒) → ((𝑦 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝜃)))
11		nnind.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
12	11	elrab 3679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜒))
13		nnind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
14	13	elrab 3679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ ((𝑦 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝜃))
15	10, 12, 14	3imtr4g 295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}))
16	6, 15	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
17	16	rgen 3062	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
18		peano5nni 12197	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}) → ℕ ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
19	5, 17, 18	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
20	19	sseli 3974	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
21		nnind.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
22	21	elrab 3679	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝜏))
23	20, 22	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝜏))
24	23	simprd 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  {crab 3431   ⊆ wss 3944  (class class class)co 7393  1c1 11093   + caddc 11095  ℕcn 12194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-1cn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-nn 12195

This theorem is referenced by:  nnindALT  12213  nnindd  12214  nn1m1nn  12215  nnaddcl  12217  nnmulcl  12218  nnge1  12222  nnne0  12228  nnsub  12238  nneo  12628  peano5uzi  12633  nn0ind-raph  12644  ser1const  14006  expcllem  14020  expeq0  14040  expmordi  14114  seqcoll  14407  relexpsucnnl  14959  relexpcnv  14964  relexprelg  14967  relexpnndm  14970  relexpaddnn  14980  climcndslem2  15778  sqrt2irr  16174  rplpwr  16481  prmind2  16604  prmdvdsexp  16634  eulerthlem2  16697  pcmpt  16807  prmpwdvds  16819  vdwlem10  16905  mulgnnass  18961  imasdsf1olem  23808  ovolunlem1a  24942  ovolicc2lem3  24965  voliunlem1  24996  volsup  25002  dvexp  25399  plyco  25684  dgrcolem1  25716  vieta1  25754  emcllem6  26432  bposlem5  26718  2sqlem10  26858  dchrisum0flb  26940  iuninc  31657  ofldchr  32294  nexple  32836  esumfzf  32896  rrvsum  33282  subfacp1lem6  34005  cvmliftlem10  34114  bcprod  34536  faclimlem1  34541  incsequz  36419  bfplem1  36493  nnn1suc  40966  nnadd1com  40967  nnaddcom  40968  nnadddir  40970  nnmul1com  40971  nnmulcom  40972  2nn0ind  41453  relexpxpnnidm  42223  relexpss1d  42225  iunrelexpmin1  42228  relexpmulnn  42229  trclrelexplem  42231  iunrelexpmin2  42232  relexp0a  42236  cotrcltrcl  42245  trclimalb2  42246  cotrclrcl  42262  inductionexd  42675  fmuldfeq  44070  dvnmptconst  44428  stoweidlem20  44507  wallispilem4  44555  wallispi2lem1  44558  wallispi2lem2  44559  dirkertrigeqlem1  44585  iccelpart  45871  nn0sumshdiglem2  46954