Theorem nnind 12230

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. See nnaddcl 12235 for an example of its use. See nn0ind 12657 for induction on nonnegative integers and uzind 12654, uzind4 12890 for induction on an arbitrary upper set of integers. See indstr 12900 for strong induction. See also nnindALT 12231. This is an alternative for Metamath 100 proof #74. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnind.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnind.5	⊢ 𝜓
nnind.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nnind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12223	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnind.5	. . . . . 6 ⊢ 𝜓
3		nnind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	elrab 3684	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 𝜓))
5	1, 2, 4	mpbir2an 710	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
6		elrabi 3678	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑦 ∈ ℕ)
7		peano2nn 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
8	7	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ))
9		nnind.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃))
10	8, 9	anim12d 610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜒) → ((𝑦 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝜃)))
11		nnind.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
12	11	elrab 3684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜒))
13		nnind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
14	13	elrab 3684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ ((𝑦 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝜃))
15	10, 12, 14	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}))
16	6, 15	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
17	16	rgen 3064	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
18		peano5nni 12215	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} (𝑦 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}) → ℕ ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
19	5, 17, 18	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
20	19	sseli 3979	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
21		nnind.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
22	21	elrab 3684	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝜏))
23	20, 22	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝜏))
24	23	simprd 497	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  {crab 3433   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213

This theorem is referenced by:  nnindALT  12231  nnindd  12232  nn1m1nn  12233  nnaddcl  12235  nnmulcl  12236  nnge1  12240  nnne0  12246  nnsub  12256  nneo  12646  peano5uzi  12651  nn0ind-raph  12662  ser1const  14024  expcllem  14038  expeq0  14058  expmordi  14132  seqcoll  14425  relexpsucnnl  14977  relexpcnv  14982  relexprelg  14985  relexpnndm  14988  relexpaddnn  14998  climcndslem2  15796  sqrt2irr  16192  rplpwr  16499  prmind2  16622  prmdvdsexp  16652  eulerthlem2  16715  pcmpt  16825  prmpwdvds  16837  vdwlem10  16923  mulgnnass  18989  imasdsf1olem  23879  ovolunlem1a  25013  ovolicc2lem3  25036  voliunlem1  25067  volsup  25073  dvexp  25470  plyco  25755  dgrcolem1  25787  vieta1  25825  emcllem6  26505  bposlem5  26791  2sqlem10  26931  dchrisum0flb  27013  iuninc  31792  ofldchr  32432  nexple  33007  esumfzf  33067  rrvsum  33453  subfacp1lem6  34176  cvmliftlem10  34285  bcprod  34708  faclimlem1  34713  incsequz  36616  bfplem1  36690  nnn1suc  41180  nnadd1com  41181  nnaddcom  41182  nnadddir  41184  nnmul1com  41185  nnmulcom  41186  2nn0ind  41684  relexpxpnnidm  42454  relexpss1d  42456  iunrelexpmin1  42459  relexpmulnn  42460  trclrelexplem  42462  iunrelexpmin2  42463  relexp0a  42467  cotrcltrcl  42476  trclimalb2  42477  cotrclrcl  42493  inductionexd  42906  fmuldfeq  44299  dvnmptconst  44657  stoweidlem20  44736  wallispilem4  44784  wallispi2lem1  44787  wallispi2lem2  44788  dirkertrigeqlem1  44814  iccelpart  46101  nn0sumshdiglem2  47308