Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiunelros Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiunelros 31107
Description: A ring of sets is closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isros.1 𝑄 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 ((𝑥𝑦) ∈ 𝑠 ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝑠))}
fiunelros.1 (𝜑𝑆𝑄)
fiunelros.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fiunelros.3 ((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
fiunelros (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘,𝑠)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem fiunelros
Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fiunelros.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
32nnred 11454 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
43leidd 11005 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁𝑁)
5 breq1 4928 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑁 ↔ 1 ≤ 𝑁))
6 oveq2 6982 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (1..^𝑛) = (1..^1))
76iuneq1d 4814 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵)
87eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆))
95, 8imbi12d 337 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ (1 ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆)))
10 breq1 4928 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑁𝑖𝑁))
11 oveq2 6982 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → (1..^𝑛) = (1..^𝑖))
1211iuneq1d 4814 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵)
1312eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆))
1410, 13imbi12d 337 . . . 4 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)))
15 breq1 4928 . . . . 5 (𝑛 = (𝑖 + 1) → (𝑛𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
16 oveq2 6982 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑖 + 1) → (1..^𝑛) = (1..^(𝑖 + 1)))
1716iuneq1d 4814 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑖 + 1) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵)
1817eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑛 = (𝑖 + 1) → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆))
1915, 18imbi12d 337 . . . 4 (𝑛 = (𝑖 + 1) → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ ((𝑖 + 1) ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆)))
20 breq1 4928 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑁𝑁𝑁))
21 oveq2 6982 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (1..^𝑛) = (1..^𝑁))
2221iuneq1d 4814 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵)
2322eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆))
2420, 23imbi12d 337 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ (𝑁𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)))
25 fzo0 12874 . . . . . . . 8 (1..^1) = ∅
26 iuneq1 4803 . . . . . . . 8 ((1..^1) = ∅ → 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵
28 0iun 4848 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
2927, 28eqtri 2796 . . . . . 6 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵 = ∅
30 fiunelros.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝑄)
31 isros.1 . . . . . . . 8 𝑄 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 ((𝑥𝑦) ∈ 𝑠 ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝑠))}
32310elros 31103 . . . . . . 7 (𝑆𝑄 → ∅ ∈ 𝑆)
3330, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3429, 33syl5eqel 2864 . . . . 5 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆)
3534a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆))
36 simpllr 763 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ)
37 fzosplitsn 12958 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(𝑖 + 1)) = ((1..^𝑖) ∪ {𝑖}))
38 nnuz 12093 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3937, 38eleq2s 2878 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ → (1..^(𝑖 + 1)) = ((1..^𝑖) ∪ {𝑖}))
4039iuneq1d 4814 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵 = 𝑘 ∈ ((1..^𝑖) ∪ {𝑖})𝐵)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵 = 𝑘 ∈ ((1..^𝑖) ∪ {𝑖})𝐵)
42 iunxun 4878 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ((1..^𝑖) ∪ {𝑖})𝐵 = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵)
4341, 42syl6eq 2824 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵 = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵))
4430ad3antrrr 717 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑆𝑄)
4536nnred 11454 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
461ad3antrrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4746nnred 11454 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
48 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
49 nnltp1le 11849 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
5036, 46, 49syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
5148, 50mpbird 249 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
5245, 47, 51ltled 10586 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖𝑁)
53 simplr 756 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆))
5452, 53mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)
55 nfcsb1v 3798 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
56 csbeq1a 3789 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
5755, 56iunxsngf 4876 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
5836, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
59 simplll 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜑)
60 elfzo1 12900 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
6136, 46, 51, 60syl3anbrc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 ∈ (1..^𝑁))
62 nfv 1873 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁))
63 nfcv 2926 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑆
6455, 63nfel 2938 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵𝑆
6562, 64nfim 1859 . . . . . . . . . 10 𝑘((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
66 eleq1w 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑖 ∈ (1..^𝑁)))
6766anbi2d 619 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁))))
6856eleq1d 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑆𝑖 / 𝑘𝐵𝑆))
6967, 68imbi12d 337 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵𝑆) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)))
70 fiunelros.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵𝑆)
7165, 69, 70chvar 2326 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
7259, 61, 71syl2anc 576 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
7358, 72eqeltrd 2860 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵𝑆)
7431unelros 31104 . . . . . . 7 ((𝑆𝑄 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵𝑆) → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵) ∈ 𝑆)
7544, 54, 73, 74syl3anc 1351 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵) ∈ 𝑆)
7643, 75eqeltrd 2860 . . . . 5 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆)
7776ex 405 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) → ((𝑖 + 1) ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆))
789, 14, 19, 24, 35, 77nnindd 30303 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆))
794, 78mpd 15 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)
801, 79mpdan 674 1 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3082  {crab 3086  csb 3780  cdif 3820  cun 3821  c0 4172  𝒫 cpw 4416  {csn 4435   ciun 4788   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  1c1 10334   + caddc 10336   < clt 10472  cle 10473  cn 11437  cuz 12056  ..^cfzo 12847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator