Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiunelros Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiunelros 33826
Description: A ring of sets is closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isros.1 𝑄 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 ((𝑥𝑦) ∈ 𝑠 ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝑠))}
fiunelros.1 (𝜑𝑆𝑄)
fiunelros.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fiunelros.3 ((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
fiunelros (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘,𝑠)   𝑄(𝑥,𝑦,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem fiunelros
Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fiunelros.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
32nnred 12265 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
43leidd 11818 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁𝑁)
5 breq1 5155 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑁 ↔ 1 ≤ 𝑁))
6 oveq2 7434 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (1..^𝑛) = (1..^1))
76iuneq1d 5027 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵)
87eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆))
95, 8imbi12d 343 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ (1 ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆)))
10 breq1 5155 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑁𝑖𝑁))
11 oveq2 7434 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → (1..^𝑛) = (1..^𝑖))
1211iuneq1d 5027 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵)
1312eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆))
1410, 13imbi12d 343 . . . 4 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)))
15 breq1 5155 . . . . 5 (𝑛 = (𝑖 + 1) → (𝑛𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
16 oveq2 7434 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑖 + 1) → (1..^𝑛) = (1..^(𝑖 + 1)))
1716iuneq1d 5027 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑖 + 1) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵)
1817eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑛 = (𝑖 + 1) → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆))
1915, 18imbi12d 343 . . . 4 (𝑛 = (𝑖 + 1) → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ ((𝑖 + 1) ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆)))
20 breq1 5155 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑁𝑁𝑁))
21 oveq2 7434 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (1..^𝑛) = (1..^𝑁))
2221iuneq1d 5027 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵)
2322eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆))
2420, 23imbi12d 343 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) ↔ (𝑁𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)))
25 fzo0 13696 . . . . . . . 8 (1..^1) = ∅
26 iuneq1 5016 . . . . . . . 8 ((1..^1) = ∅ → 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵
28 0iun 5070 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
2927, 28eqtri 2756 . . . . . 6 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵 = ∅
30 fiunelros.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝑄)
31 isros.1 . . . . . . . 8 𝑄 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 ((𝑥𝑦) ∈ 𝑠 ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝑠))}
32310elros 33822 . . . . . . 7 (𝑆𝑄 → ∅ ∈ 𝑆)
3330, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3429, 33eqeltrid 2833 . . . . 5 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆)
3534a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^1)𝐵𝑆))
36 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ)
37 fzosplitsn 13780 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(𝑖 + 1)) = ((1..^𝑖) ∪ {𝑖}))
38 nnuz 12903 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3937, 38eleq2s 2847 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ → (1..^(𝑖 + 1)) = ((1..^𝑖) ∪ {𝑖}))
4039iuneq1d 5027 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵 = 𝑘 ∈ ((1..^𝑖) ∪ {𝑖})𝐵)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵 = 𝑘 ∈ ((1..^𝑖) ∪ {𝑖})𝐵)
42 iunxun 5101 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ((1..^𝑖) ∪ {𝑖})𝐵 = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵)
4341, 42eqtrdi 2784 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵 = ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵))
4430ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑆𝑄)
4536nnred 12265 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
461ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4746nnred 12265 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
48 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
49 nnltp1le 12656 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
5036, 46, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
5148, 50mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
5245, 47, 51ltled 11400 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖𝑁)
53 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆))
5452, 53mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)
55 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
56 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
5755, 56iunxsngf 5099 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
5836, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
59 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜑)
60 elfzo1 13722 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
6136, 46, 51, 60syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 ∈ (1..^𝑁))
62 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁))
63 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑆
6455, 63nfel 2914 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵𝑆
6562, 64nfim 1891 . . . . . . . . . 10 𝑘((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
66 eleq1w 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑖 ∈ (1..^𝑁)))
6766anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁))))
6856eleq1d 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑆𝑖 / 𝑘𝐵𝑆))
6967, 68imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵𝑆) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)))
70 fiunelros.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐵𝑆)
7165, 69, 70chvarfv 2228 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
7259, 61, 71syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
7358, 72eqeltrd 2829 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵𝑆)
7431unelros 33823 . . . . . . 7 ((𝑆𝑄 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵𝑆) → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵) ∈ 𝑆)
7544, 54, 73, 74syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → ( 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵 𝑘 ∈ {𝑖}𝐵) ∈ 𝑆)
7643, 75eqeltrd 2829 . . . . 5 ((((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆)
7776ex 411 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑖)𝐵𝑆)) → ((𝑖 + 1) ≤ 𝑁 𝑘 ∈ (1..^(𝑖 + 1))𝐵𝑆))
789, 14, 19, 24, 35, 77nnindd 12270 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑁 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆))
794, 78mpd 15 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)
801, 79mpdan 685 1 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑁)𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  {crab 3430  csb 3894  cdif 3946  cun 3947  c0 4326  𝒫 cpw 4606  {csn 4632   ciun 5000   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286  cle 11287  cn 12250  cuz 12860  ..^cfzo 13667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator