MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmcan 7868
Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmcan (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem nnmcan
StepHypRef Expression
1 3anrot 1086 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
2 nnmword 7867 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
31, 2sylanb 570 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
4 3anrev 1090 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5 nnmword 7867 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐶𝐵 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
64, 5sylanb 570 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐶𝐵 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
73, 6anbi12d 616 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐵𝐶𝐶𝐵) ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵))))
87bicomd 213 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)) ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵)))
9 eqss 3767 . 2 ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
10 eqss 3767 . 2 (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵))
118, 9, 103bitr4g 303 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  c0 4063  (class class class)co 6793  ωcom 7212   ·𝑜 comu 7711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-oadd 7717  df-omul 7718
This theorem is referenced by:  mulcanpi  9924
  Copyright terms: Public domain W3C validator