Theorem nnmword 8691

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmword	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵)))

Proof of Theorem nnmword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iba 527	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
2		nnmord 8690	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
3	2	3com12 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
4	1, 3	sylan9bbr 510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
5	4	notbid 318	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
6		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ ω)
7		nnon 7911	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
9		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ω)
10		nnon 7911	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
12		ontri1 6431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
13	8, 11, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
14		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ ω)
15		nnmcl 8670	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω)
16	14, 6, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω)
17		nnon 7911	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·o 𝐴) ∈ ω → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ On)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐴) ∈ On)
19		nnmcl 8670	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω)
20	14, 9, 19	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω)
21		nnon 7911	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·o 𝐵) ∈ ω → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ On)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐶 ·o 𝐵) ∈ On)
23		ontri1 6431	. . 3 ⊢ (((𝐶 ·o 𝐴) ∈ On ∧ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ On) → ((𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
24	18, 22, 23	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → ((𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·o 𝐵) ∈ (𝐶 ·o 𝐴)))
25	5, 13, 24	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ⊆ (𝐶 ·o 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  Oncon0 6397  (class class class)co 7450  ωcom 7905   ·_o comu 8522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-oadd 8528  df-omul 8529

This theorem is referenced by:  nnmcan  8692  nnmwordi  8693