Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noetalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetalem2 33326
Description: Lemma for noeta 33330. 𝑍 is an upper bound for 𝐴. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
noetalem.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetalem.2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
Assertion
Ref Expression
noetalem2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝑋,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetalem2
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐴 No )
2 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐴 ∈ V)
3 simpr 488 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
4 noetalem.1 . . . . 5 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
54nosupbnd1 33322 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
61, 2, 3, 5syl3anc 1368 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
7 noetalem.2 . . . . . 6 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
87reseq1i 5818 . . . . 5 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆)
9 resundir 5837 . . . . . 6 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆))
10 df-res 5535 . . . . . . . 8 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V))
11 incom 4131 . . . . . . . . . 10 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
12 disjdif 4382 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅
1311, 12eqtri 2824 . . . . . . . . 9 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
14 xpdisj1 5989 . . . . . . . . 9 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
1610, 15eqtri 2824 . . . . . . 7 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅
1716uneq2i 4090 . . . . . 6 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
18 un0 4301 . . . . . 6 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
199, 17, 183eqtri 2828 . . . . 5 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
208, 19eqtri 2824 . . . 4 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
214nosupno 33311 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
221, 2, 21syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑆 No )
23 nofun 33264 . . . . . 6 (𝑆 No → Fun 𝑆)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → Fun 𝑆)
25 funrel 6345 . . . . 5 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
26 resdm 5867 . . . . 5 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
2724, 25, 263syl 18 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
2820, 27syl5eq 2848 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
296, 28breqtrrd 5061 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
30 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 No )
3130sselda 3918 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 No )
324, 7noetalem1 33325 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
3332adantr 484 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑍 No )
34 nodmon 33265 . . . 4 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
3522, 34syl 17 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
36 sltres 33277 . . 3 ((𝑋 No 𝑍 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
3731, 33, 35, 36syl3anc 1368 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
3829, 37mpd 15 1 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  cdif 3881  cun 3882  cin 3883  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428  {csn 4528  cop 4534   cuni 4803   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521  dom cdm 5523  cres 5525  cima 5526  Rel wrel 5528  Oncon0 6163  suc csuc 6165  cio 6285  Fun wfun 6322  cfv 6328  crio 7096  1oc1o 8082  2oc2o 8083   No csur 33255   <s cslt 33256   bday cbday 33257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-1o 8089  df-2o 8090  df-no 33258  df-slt 33259  df-bday 33260
This theorem is referenced by:  noetalem5  33329
  Copyright terms: Public domain W3C validator