Theorem pwsvscaval 17417

Description: Scalar multiplication of a single coordinate in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsvscaval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
pwsvscaval.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
pwsvscaval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
pwsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
pwsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
pwsvscaval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwsvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem pwsvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsvscaval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsvscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		pwsvscaval.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
4		pwsvscaval.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
5		pwsvscaval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
6		pwsvscaval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		pwsvscaval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
8		pwsvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
9		pwsvscaval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		pwsvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pwsvscafval 17416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
12	11	fveq1d 6828	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
13		pwsvscaval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	1, 14, 2, 7, 8, 10	pwselbas 17411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
17		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝐽) = (𝑋‘𝐽))
18	8, 9, 16, 17	ofc1 7645	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
19	13, 18	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
20	12, 19	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4579   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183   ↑_s cpws 17368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-prds 17369  df-pws 17371

This theorem is referenced by: (None)