Theorem pwsvscaval 17394

Description: Scalar multiplication of a single coordinate in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsvscaval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
pwsvscaval.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
pwsvscaval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
pwsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
pwsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
pwsvscaval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwsvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem pwsvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsvscaval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsvscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		pwsvscaval.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
4		pwsvscaval.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
5		pwsvscaval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
6		pwsvscaval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		pwsvscaval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
8		pwsvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
9		pwsvscaval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		pwsvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pwsvscafval 17393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
12	11	fveq1d 6819	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
13		pwsvscaval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	1, 14, 2, 7, 8, 10	pwselbas 17388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
17		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝐽) = (𝑋‘𝐽))
18	8, 9, 16, 17	ofc1 7633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
19	13, 18	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
20	12, 19	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4571   × cxp 5609  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603  Basecbs 17115  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160   ↑_s cpws 17345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-prds 17346  df-pws 17348

This theorem is referenced by: (None)