Theorem pwsvscaval 16770

Description: Scalar multiplication of a single coordinate in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsvscaval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
pwsvscaval.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
pwsvscaval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
pwsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
pwsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
pwsvscaval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwsvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem pwsvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsvscaval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsvscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		pwsvscaval.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
4		pwsvscaval.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
5		pwsvscaval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
6		pwsvscaval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		pwsvscaval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
8		pwsvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
9		pwsvscaval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		pwsvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pwsvscafval 16769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
12	11	fveq1d 6674	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
13		pwsvscaval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
14		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	1, 14, 2, 7, 8, 10	pwselbas 16764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
17		eqidd 2824	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝐽) = (𝑋‘𝐽))
18	8, 9, 16, 17	ofc1 7434	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
19	13, 18	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
20	12, 19	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4569   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571   ↑_s cpws 16722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-prds 16723  df-pws 16725

This theorem is referenced by: (None)