Theorem coe1sclmulfv 22602

Description: A single coefficient of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmulfv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))

Proof of Theorem coe1sclmulfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1sclmul.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1sclmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1sclmul.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		coe1sclmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		coe1sclmul.t	. . . . . 6 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
6		coe1sclmul.u	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	coe1sclmul 22601	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
8	7	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
9	8	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
10	9	fveq1d 6887	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ))
11		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
12		nn0ex 12612	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
14		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
15		simp2r 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝑌) = (coe1‘𝑌)
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	16, 2, 1, 17	coe1f 22529	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
19		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1‘𝑌) Fn ℕ0)
20	15, 18, 19	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑌) Fn ℕ0)
21		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑌)‘ 0 ) = ((coe1‘𝑌)‘ 0 ))
22	13, 14, 20, 21	ofc1 7721	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))
23	11, 22	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))
24	10, 23	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4583   × cxp 5648   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Ringcrg 20459  algSccascl 22160  Poly₁cpl1 22495  coe₁cco1 22496

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501

This theorem is used by:  deg1mul3le  26435  rtelextdg2lem  34358  hbtlem2  44126  coe1sclmulval  49497