Theorem coe1sclmulfv 20451

Description: A single coefficient of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmulfv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))

Proof of Theorem coe1sclmulfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1sclmul.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1sclmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1sclmul.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		coe1sclmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		coe1sclmul.t	. . . . . 6 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
6		coe1sclmul.u	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	coe1sclmul 20450	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
8	7	3expb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
9	8	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
10	9	fveq1d 6672	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ))
11		simp3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
12		nn0ex 11904	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
14		simp2l 1195	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
15		simp2r 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝑌) = (coe1‘𝑌)
17		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	16, 2, 1, 17	coe1f 20379	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
19		ffn 6514	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1‘𝑌) Fn ℕ0)
20	15, 18, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑌) Fn ℕ0)
21		eqidd 2822	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑌)‘ 0 ) = ((coe1‘𝑌)‘ 0 ))
22	13, 14, 20, 21	ofc1 7432	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))
23	11, 22	mpdan 685	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))
24	10, 23	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  {csn 4567   × cxp 5553   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407  ℕ₀cn0 11898  Basecbs 16483  ._rcmulr 16566  Ringcrg 19297  algSccascl 20084  Poly₁cpl1 20345  coe₁cco1 20346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-ple 16585  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mvr 20137  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-psr1 20348  df-vr1 20349  df-ply1 20350  df-coe1 20351

This theorem is referenced by:  deg1mul3le  24710  hbtlem2  39744  coe1sclmulval  44459