Theorem coe1sclmulfv 22272

Description: A single coefficient of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmulfv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))

Proof of Theorem coe1sclmulfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1sclmul.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1sclmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1sclmul.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		coe1sclmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		coe1sclmul.t	. . . . . 6 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
6		coe1sclmul.u	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	coe1sclmul 22271	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
8	7	3expb 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
9	8	3adant3 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
10	9	fveq1d 6832	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ))
11		simp3 1145	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
12		nn0ex 12438	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
14		simp2l 1207	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
15		simp2r 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝑌) = (coe1‘𝑌)
17		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	16, 2, 1, 17	coe1f 22199	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
19		ffn 6658	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1‘𝑌) Fn ℕ0)
20	15, 18, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑌) Fn ℕ0)
21		eqidd 2742	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑌)‘ 0 ) = ((coe1‘𝑌)‘ 0 ))
22	13, 14, 20, 21	ofc1 7651	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))
23	11, 22	mpdan 694	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))
24	10, 23	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  {csn 4557   × cxp 5618   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∘_f cof 7621  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  Ringcrg 20208  algSccascl 21830  Poly₁cpl1 22165  coe₁cco1 22166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mvr 21888  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-psr1 22168  df-vr1 22169  df-ply1 22170  df-coe1 22171

This theorem is referenced by:  deg1mul3le  26103  rtelextdg2lem  33920  hbtlem2  43582  coe1sclmulval  48888