Theorem coe1sclmulfv 22510

Description: A single coefficient of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmulfv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))

Proof of Theorem coe1sclmulfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1sclmul.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1sclmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1sclmul.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		coe1sclmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		coe1sclmul.t	. . . . . 6 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
6		coe1sclmul.u	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	coe1sclmul 22509	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
8	7	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
9	8	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))
10	9	fveq1d 6884	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ))
11		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
12		nn0ex 12537	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
14		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
15		simp2r 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝑌) = (coe1‘𝑌)
17		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	16, 2, 1, 17	coe1f 22437	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
19		ffn 6706	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1‘𝑌) Fn ℕ0)
20	15, 18, 19	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑌) Fn ℕ0)
21		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑌)‘ 0 ) = ((coe1‘𝑌)‘ 0 ))
22	13, 14, 20, 21	ofc1 7709	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))
23	11, 22	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))
24	10, 23	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘ 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {csn 4587   × cxp 5657   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  Ringcrg 20373  algSccascl 22068  Poly₁cpl1 22403  coe₁cco1 22404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409

This theorem is used by:  deg1mul3le  26344  rtelextdg2lem  34223  hbtlem2  43952  coe1sclmulval  49302