Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uc1pmon1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uc1pmon1p 24796
 Description: Make a unitic polynomial monic by multiplying a factor to normalize the leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uc1pmon1p.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
uc1pmon1p.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
uc1pmon1p.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
uc1pmon1p.t · = (.r𝑃)
uc1pmon1p.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
uc1pmon1p.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
uc1pmon1p.i 𝐼 = (invr𝑅)
Assertion
Ref Expression
uc1pmon1p ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

Proof of Theorem uc1pmon1p
StepHypRef Expression
1 uc1pmon1p.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 20918 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
32adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
4 uc1pmon1p.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
71, 4, 5, 6ply1sclf 20955 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
87adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
9 uc1pmon1p.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
10 eqid 2798 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11 uc1pmon1p.c . . . . . 6 𝐶 = (Unic1p𝑅)
129, 10, 11uc1pldg 24793 . . . . 5 (𝑋𝐶 → ((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
13 uc1pmon1p.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
1410, 13, 5ringinvcl 19443 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
1512, 14sylan2 595 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
168, 15ffvelrnd 6839 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
171, 6, 11uc1pcl 24788 . . . 4 (𝑋𝐶𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1817adantl 485 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
19 uc1pmon1p.t . . . 4 · = (.r𝑃)
206, 19ringcl 19328 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
213, 16, 18, 20syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22 simpl 486 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
23 eqid 2798 . . . . . . . 8 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
2423, 10unitrrg 20080 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
2524adantr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
2610, 13unitinvcl 19441 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
2712, 26sylan2 595 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
2825, 27sseldd 3918 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅))
299, 1, 23, 6, 19, 4deg1mul3 24760 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷𝑋))
3022, 28, 18, 29syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷𝑋))
319, 11uc1pdeg 24792 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (𝐷𝑋) ∈ ℕ0)
3230, 31eqeltrd 2890 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0)
33 eqid 2798 . . . . 5 (0g𝑃) = (0g𝑃)
349, 1, 33, 6deg1nn0clb 24735 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
3521, 34syldan 594 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
3632, 35mpbird 260 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g𝑃))
3730fveq2d 6659 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋))) = ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷𝑋)))
38 eqid 2798 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
391, 6, 5, 4, 19, 38coe1sclmul 20952 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝑋)))
4022, 15, 18, 39syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝑋)))
4140fveq1d 6657 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷𝑋)) = (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝑋))‘(𝐷𝑋)))
42 nn0ex 11909 . . . . . . 7 0 ∈ V
4342a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → ℕ0 ∈ V)
44 fvexd 6670 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) ∈ V)
45 eqid 2798 . . . . . . . 8 (coe1𝑋) = (coe1𝑋)
4645, 6, 1, 5coe1f 20881 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
47 ffn 6495 . . . . . . 7 ((coe1𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1𝑋) Fn ℕ0)
4818, 46, 473syl 18 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (coe1𝑋) Fn ℕ0)
49 eqidd 2799 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) ∧ (𝐷𝑋) ∈ ℕ0) → ((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)) = ((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))
5043, 44, 48, 49ofc1 7425 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) ∧ (𝐷𝑋) ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝑋))‘(𝐷𝑋)) = ((𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))(.r𝑅)((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))))
5131, 50mpdan 686 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝑋))‘(𝐷𝑋)) = ((𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))(.r𝑅)((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))))
52 eqid 2798 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5310, 13, 38, 52unitlinv 19444 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))(.r𝑅)((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) = (1r𝑅))
5412, 53sylan2 595 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → ((𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))(.r𝑅)((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋))) = (1r𝑅))
5551, 54eqtrd 2833 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝑋))‘(𝐷𝑋)) = (1r𝑅))
5637, 41, 553eqtrd 2837 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋))) = (1r𝑅))
57 uc1pmon1p.m . . 3 𝑀 = (Monic1p𝑅)
581, 6, 33, 9, 57, 52ismon1p 24787 . 2 (((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋))) = (1r𝑅)))
5921, 36, 56, 58syl3anbrc 1340 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1𝑋)‘(𝐷𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3442   ⊆ wss 3883  {csn 4528   × cxp 5521   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∘f cof 7398  ℕ0cn0 11903  Basecbs 16495  .rcmulr 16578  0gc0g 16725  1rcur 19265  Ringcrg 19311  Unitcui 19406  invrcinvr 19438  RLRegcrlreg 20066  algSccascl 20563  Poly1cpl1 20847  coe1cco1 20848   deg1 cdg1 24696  Monic1pcmn1 24770  Unic1pcuc1p 24771 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-hash 13707  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-mhm 17968  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-mulg 18238  df-subg 18289  df-ghm 18369  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-abl 18922  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-cring 19314  df-oppr 19390  df-dvdsr 19408  df-unit 19409  df-invr 19439  df-subrg 19547  df-lmod 19650  df-lss 19718  df-rlreg 20070  df-cnfld 20113  df-ascl 20566  df-psr 20617  df-mvr 20618  df-mpl 20619  df-opsr 20621  df-psr1 20850  df-vr1 20851  df-ply1 20852  df-coe1 20853  df-mdeg 24697  df-deg1 24698  df-mon1 24775  df-uc1p 24776 This theorem is referenced by:  ig1peu  24816
 Copyright terms: Public domain W3C validator