Theorem uc1pmon1p 26379

Description: Make a unitic polynomial monic by multiplying a factor to normalize the leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pmon1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pmon1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
uc1pmon1p.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
uc1pmon1p.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
uc1pmon1p.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pmon1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

Proof of Theorem uc1pmon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pmon1p.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22473	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
4		uc1pmon1p.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 22512	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
9		uc1pmon1p.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		uc1pmon1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 11	uc1pldg 26376	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
13		uc1pmon1p.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	10, 13, 5	ringinvcl 20534	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
17	1, 6, 11	uc1pcl 26371	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
18	17	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
19		uc1pmon1p.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
20	6, 19	ringcl 20390	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
21	3, 16, 18, 20	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
23		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
24	23, 10	unitrrg 20866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
26	10, 13	unitinvcl 20532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
27	12, 26	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
28	25, 27	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅))
29	9, 1, 23, 6, 19, 4	deg1mul3 26343	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
30	22, 28, 18, 29	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
31	9, 11	uc1pdeg 26375	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0)
32	30, 31	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0)
33		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	9, 1, 33, 6	deg1nn0clb 26317	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
35	21, 34	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
36	32, 35	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃))
37	30	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
38		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	1, 6, 5, 4, 19, 38	coe1sclmul 22509	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
40	22, 15, 18, 39	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
41	40	fveq1d 6884	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
42		nn0ex 12537	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ℕ0 ∈ V)
44		fvexd 6897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ V)
45		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑋) = (coe1‘𝑋)
46	45, 6, 1, 5	coe1f 22437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
47		ffn 6706	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
48	18, 46, 47	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
49		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) = ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))
50	43, 44, 48, 49	ofc1 7709	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
51	31, 50	mpdan 700	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
52		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
53	10, 13, 38, 52	unitlinv 20535	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
54	12, 53	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
55	51, 54	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
56	37, 41, 55	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅))
57		uc1pmon1p.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
58	1, 6, 33, 9, 57, 52	ismon1p 26370	. 2 ⊢ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅)))
59	21, 36, 56, 58	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4587   × cxp 5657   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  0_gc0g 17528  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  Unitcui 20497  inv_rcinvr 20529  RLRegcrlreg 20854  algSccascl 22068  Poly₁cpl1 22403  coe₁cco1 22404  deg₁cdg1 26281  Monic_1pcmn1 26353  Unic_1pcuc1p 26354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-rlreg 20857  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-cnfld 21587  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409  df-mdeg 26282  df-deg1 26283  df-mon1 26358  df-uc1p 26359

This theorem is used by:  ig1peu  26402  irngnzply1lem  34187