Theorem uc1pmon1p 26115

Description: Make a unitic polynomial monic by multiplying a factor to normalize the leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pmon1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pmon1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
uc1pmon1p.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
uc1pmon1p.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
uc1pmon1p.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pmon1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

Proof of Theorem uc1pmon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pmon1p.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22190	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
4		uc1pmon1p.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 22229	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
9		uc1pmon1p.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		uc1pmon1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 11	uc1pldg 26112	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
13		uc1pmon1p.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	10, 13, 5	ringinvcl 20330	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	ffvelcdmd 7030	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
17	1, 6, 11	uc1pcl 26107	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
19		uc1pmon1p.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
20	6, 19	ringcl 20187	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
21	3, 16, 18, 20	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
23		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
24	23, 10	unitrrg 20638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
26	10, 13	unitinvcl 20328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
27	12, 26	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
28	25, 27	sseldd 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅))
29	9, 1, 23, 6, 19, 4	deg1mul3 26079	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
30	22, 28, 18, 29	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
31	9, 11	uc1pdeg 26111	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0)
32	30, 31	eqeltrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0)
33		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	9, 1, 33, 6	deg1nn0clb 26053	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
35	21, 34	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
36	32, 35	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃))
37	30	fveq2d 6837	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
38		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	1, 6, 5, 4, 19, 38	coe1sclmul 22226	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
40	22, 15, 18, 39	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
41	40	fveq1d 6835	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
42		nn0ex 12409	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ℕ0 ∈ V)
44		fvexd 6848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ V)
45		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑋) = (coe1‘𝑋)
46	45, 6, 1, 5	coe1f 22154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
47		ffn 6661	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
48	18, 46, 47	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
49		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) = ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))
50	43, 44, 48, 49	ofc1 7650	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
51	31, 50	mpdan 688	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
52		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
53	10, 13, 38, 52	unitlinv 20331	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
54	12, 53	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
55	51, 54	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
56	37, 41, 55	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅))
57		uc1pmon1p.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
58	1, 6, 33, 9, 57, 52	ismon1p 26106	. 2 ⊢ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅)))
59	21, 36, 56, 58	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  {csn 4579   × cxp 5621   Fn wfn 6486  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620  ℕ₀cn0 12403  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  Unitcui 20293  inv_rcinvr 20325  RLRegcrlreg 20626  algSccascl 21809  Poly₁cpl1 22119  coe₁cco1 22120  deg₁cdg1 26017  Monic_1pcmn1 26089  Unic_1pcuc1p 26090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-rlreg 20629  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-cnfld 21312  df-ascl 21812  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22122  df-vr1 22123  df-ply1 22124  df-coe1 22125  df-mdeg 26018  df-deg1 26019  df-mon1 26094  df-uc1p 26095

This theorem is referenced by:  ig1peu  26138  irngnzply1lem  33826