Theorem uc1pmon1p 26431

Description: Make a unitic polynomial monic by multiplying a factor to normalize the leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pmon1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pmon1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
uc1pmon1p.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
uc1pmon1p.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
uc1pmon1p.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pmon1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

Proof of Theorem uc1pmon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pmon1p.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22526	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
4		uc1pmon1p.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 22565	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
9		uc1pmon1p.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		uc1pmon1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 11	uc1pldg 26428	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
13		uc1pmon1p.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	10, 13, 5	ringinvcl 20583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	ffvelcdmd 7073	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
17	1, 6, 11	uc1pcl 26423	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
18	17	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
19		uc1pmon1p.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
20	6, 19	ringcl 20438	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
21	3, 16, 18, 20	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
23		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
24	23, 10	unitrrg 20916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
26	10, 13	unitinvcl 20581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
27	12, 26	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
28	25, 27	sseldd 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅))
29	9, 1, 23, 6, 19, 4	deg1mul3 26395	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
30	22, 28, 18, 29	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
31	9, 11	uc1pdeg 26427	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0)
32	30, 31	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0)
33		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	9, 1, 33, 6	deg1nn0clb 26369	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
35	21, 34	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
36	32, 35	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃))
37	30	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
38		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	1, 6, 5, 4, 19, 38	coe1sclmul 22562	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
40	22, 15, 18, 39	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
41	40	fveq1d 6875	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
42		nn0ex 12581	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ℕ0 ∈ V)
44		fvexd 6888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ V)
45		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑋) = (coe1‘𝑋)
46	45, 6, 1, 5	coe1f 22490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
47		ffn 6697	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
48	18, 46, 47	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
49		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) = ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))
50	43, 44, 48, 49	ofc1 7704	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
51	31, 50	mpdan 700	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
52		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
53	10, 13, 38, 52	unitlinv 20584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
54	12, 53	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
55	51, 54	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
56	37, 41, 55	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅))
57		uc1pmon1p.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
58	1, 6, 33, 9, 57, 52	ismon1p 26422	. 2 ⊢ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅)))
59	21, 36, 56, 58	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  {csn 4583   × cxp 5645   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7674  ℕ₀cn0 12575  Basecbs 17348  ._rcmulr 17390  0_gc0g 17571  1_rcur 20368  Ringcrg 20420  Unitcui 20546  inv_rcinvr 20578  RLRegcrlreg 20904  algSccascl 22121  Poly₁cpl1 22456  coe₁cco1 22457  deg₁cdg1 26333  Monic_1pcmn1 26405  Unic_1pcuc1p 26406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-rlreg 20907  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-cnfld 21640  df-ascl 22124  df-psr 22178  df-mvr 22179  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-vr1 22460  df-ply1 22461  df-coe1 22462  df-mdeg 26334  df-deg1 26335  df-mon1 26410  df-uc1p 26411

This theorem is used by:  ig1peu  26454  irngnzply1lem  34255