Theorem uc1pmon1p 26211

Description: Make a unitic polynomial monic by multiplying a factor to normalize the leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pmon1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pmon1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
uc1pmon1p.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
uc1pmon1p.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
uc1pmon1p.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pmon1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

Proof of Theorem uc1pmon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pmon1p.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22270	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
4		uc1pmon1p.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 22309	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
9		uc1pmon1p.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
10		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		uc1pmon1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 11	uc1pldg 26208	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
13		uc1pmon1p.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	10, 13, 5	ringinvcl 20418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	ffvelcdmd 7119	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
17	1, 6, 11	uc1pcl 26203	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
19		uc1pmon1p.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
20	6, 19	ringcl 20277	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
21	3, 16, 18, 20	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
23		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
24	23, 10	unitrrg 20725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
26	10, 13	unitinvcl 20416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
27	12, 26	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
28	25, 27	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅))
29	9, 1, 23, 6, 19, 4	deg1mul3 26175	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
30	22, 28, 18, 29	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
31	9, 11	uc1pdeg 26207	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0)
32	30, 31	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0)
33		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	9, 1, 33, 6	deg1nn0clb 26149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
35	21, 34	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
36	32, 35	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃))
37	30	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
38		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	1, 6, 5, 4, 19, 38	coe1sclmul 22306	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
40	22, 15, 18, 39	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
41	40	fveq1d 6922	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
42		nn0ex 12559	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ℕ0 ∈ V)
44		fvexd 6935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ V)
45		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑋) = (coe1‘𝑋)
46	45, 6, 1, 5	coe1f 22234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
47		ffn 6747	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
48	18, 46, 47	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
49		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) = ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))
50	43, 44, 48, 49	ofc1 7741	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
51	31, 50	mpdan 686	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
52		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
53	10, 13, 38, 52	unitlinv 20419	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
54	12, 53	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
55	51, 54	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
56	37, 41, 55	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅))
57		uc1pmon1p.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
58	1, 6, 33, 9, 57, 52	ismon1p 26202	. 2 ⊢ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅)))
59	21, 36, 56, 58	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648   × cxp 5698   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  Unitcui 20381  inv_rcinvr 20413  RLRegcrlreg 20713  algSccascl 21895  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200  deg₁cdg1 26113  Monic_1pcmn1 26185  Unic_1pcuc1p 26186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-cnfld 21388  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mdeg 26114  df-deg1 26115  df-mon1 26190  df-uc1p 26191

This theorem is referenced by:  ig1peu  26234  irngnzply1lem  33690