MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uc1pmon1p Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem uc1pmon1p 26008
Description: Make a unitic polynomial monic by multiplying a factor to normalize the leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uc1pmon1p.c 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
uc1pmon1p.m 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
uc1pmon1p.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
uc1pmon1p.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
uc1pmon1p.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
uc1pmon1p.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
uc1pmon1p.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
uc1pmon1p ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) ∈ 𝑀)
Proof of Theorem uc1pmon1p
StepHypRef Expression
1 uc1pmon1p.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 22088 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
32adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4 uc1pmon1p.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
6 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
71, 4, 5, 6ply1sclf 22125 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
87adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝐴:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
9 uc1pmon1p.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
10 eqid 2724 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
11 uc1pmon1p.c . . . . . 6 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
129, 10, 11uc1pldg 26005 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ ((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
13 uc1pmon1p.i . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
1410, 13, 5ringinvcl 20283 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1512, 14sylan2 592 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
168, 15ffvelcdmd 7077 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
171, 6, 11uc1pcl 26000 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1817adantl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
19 uc1pmon1p.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
206, 19ringcl 20144 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
213, 16, 18, 20syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
22 simpl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 eqid 2724 . . . . . . . 8 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
2423, 10unitrrg 21192 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
2610, 13unitinvcl 20281 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2712, 26sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2825, 27sseldd 3975 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
299, 1, 23, 6, 19, 4deg1mul3 25972 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) ∈ (RLRegβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋)) = (π·β€˜π‘‹))
3022, 28, 18, 29syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋)) = (π·β€˜π‘‹))
319, 11uc1pdeg 26004 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ β„•0)
3230, 31eqeltrd 2825 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋)) ∈ β„•0)
33 eqid 2724 . . . . 5 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
349, 1, 33, 6deg1nn0clb 25947 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (π·β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋)) ∈ β„•0))
3521, 34syldan 590 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (π·β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋)) ∈ β„•0))
3632, 35mpbird 257 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
3730fveq2d 6885 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋))β€˜(π·β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋))) = ((coe1β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋))β€˜(π·β€˜π‘‹)))
38 eqid 2724 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
391, 6, 5, 4, 19, 38coe1sclmul 22122 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋)) = ((β„•0 Γ— {(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜π‘‹)))
4022, 15, 18, 39syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋)) = ((β„•0 Γ— {(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜π‘‹)))
4140fveq1d 6883 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋))β€˜(π·β€˜π‘‹)) = (((β„•0 Γ— {(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜π‘‹))β€˜(π·β€˜π‘‹)))
42 nn0ex 12474 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
4342a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ β„•0 ∈ V)
44 fvexd 6896 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) ∈ V)
45 eqid 2724 . . . . . . . 8 (coe1β€˜π‘‹) = (coe1β€˜π‘‹)
4645, 6, 1, 5coe1f 22052 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜π‘‹):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
47 ffn 6707 . . . . . . 7 ((coe1β€˜π‘‹):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ (coe1β€˜π‘‹) Fn β„•0)
4818, 46, 473syl 18 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (coe1β€˜π‘‹) Fn β„•0)
49 eqidd 2725 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))
5043, 44, 48, 49ofc1 7689 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ β„•0) β†’ (((β„•0 Γ— {(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜π‘‹))β€˜(π·β€˜π‘‹)) = ((πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))))
5131, 50mpdan 684 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((β„•0 Γ— {(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜π‘‹))β€˜(π·β€˜π‘‹)) = ((πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))))
52 eqid 2724 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
5310, 13, 38, 52unitlinv 20284 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) = (1rβ€˜π‘…))
5412, 53sylan2 592 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹))) = (1rβ€˜π‘…))
5551, 54eqtrd 2764 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (((β„•0 Γ— {(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜π‘‹))β€˜(π·β€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
5637, 41, 553eqtrd 2768 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋))β€˜(π·β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋))) = (1rβ€˜π‘…))
57 uc1pmon1p.m . . 3 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
581, 6, 33, 9, 57, 52ismon1p 25999 . 2 (((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) ∈ 𝑀 ↔ (((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ ((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ ((coe1β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋))β€˜(π·β€˜((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋))) = (1rβ€˜π‘…)))
5921, 36, 56, 58syl3anbrc 1340 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((π΄β€˜(πΌβ€˜((coe1β€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘‹)))) Β· 𝑋) ∈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  {csn 4620   Γ— cxp 5664   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘f cof 7661  β„•0cn0 12468  Basecbs 17142  .rcmulr 17196  0gc0g 17383  1rcur 20075  Ringcrg 20127  Unitcui 20246  invrcinvr 20278  RLRegcrlreg 21178  algSccascl 21714  Poly1cpl1 22018  coe1cco1 22019   deg1 cdg1 25908  Monic1pcmn1 25982  Unic1pcuc1p 25983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-prds 17391  df-pws 17393  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18985  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-rlreg 21182  df-cnfld 21228  df-ascl 21717  df-psr 21770  df-mvr 21771  df-mpl 21772  df-opsr 21774  df-psr1 22021  df-vr1 22022  df-ply1 22023  df-coe1 22024  df-mdeg 25909  df-deg1 25910  df-mon1 25987  df-uc1p 25988
This theorem is referenced by:  ig1peu  26028  irngnzply1lem  33200
  Copyright terms: Public domain W3C validator