MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulclem 25227
Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulclem (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) = (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)}))

Proof of Theorem i1fmulclem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11203 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 i1fmulc.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 25200 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
76ffnd 6718 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
8 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
92, 3, 7, 8ofc1 7698 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)))
109ad4ant14 750 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)))
1110eqeq1d 2734 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡 ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐡))
12 eqcom 2739 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴) ↔ (𝐡 / 𝐴) = (πΉβ€˜π‘§))
13 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1413recnd 11244 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
153ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1615recnd 11244 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
176ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
1918recnd 11244 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
20 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 β‰  0)
2114, 16, 19, 20divmuld 12014 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((𝐡 / 𝐴) = (πΉβ€˜π‘§) ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐡))
2212, 21bitrid 282 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴) ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐡))
2311, 22bitr4d 281 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡 ↔ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴)))
2423pm5.32da 579 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴))))
25 remulcl 11197 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
2625adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
27 fconstg 6778 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
283, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
293snssd 4812 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† ℝ)
3028, 29fssd 6735 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„)
31 inidm 4218 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
3226, 30, 6, 2, 2, 31off 7690 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
3332ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
3433ffnd 6718 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ)
35 fniniseg 7061 . . . 4 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡)))
3634, 35syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡)))
3717ffnd 6718 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
38 fniniseg 7061 . . . 4 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴))))
3937, 38syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴))))
4024, 36, 393bitr4d 310 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)})))
4140eqrdv 2730 1 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) = (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  {csn 4628   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   / cdiv 11873  βˆ«1citg1 25139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-sum 15635  df-itg1 25144
This theorem is referenced by:  i1fmulc  25228  itg1mulc  25229
  Copyright terms: Public domain W3C validator