MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulclem 25083
Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulclem (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) = (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)}))

Proof of Theorem i1fmulclem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11149 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 i1fmulc.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 25056 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
76ffnd 6674 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
8 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
92, 3, 7, 8ofc1 7648 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)))
109ad4ant14 751 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)))
1110eqeq1d 2739 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡 ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐡))
12 eqcom 2744 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴) ↔ (𝐡 / 𝐴) = (πΉβ€˜π‘§))
13 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1413recnd 11190 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
153ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1615recnd 11190 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
176ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
1918recnd 11190 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
20 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 β‰  0)
2114, 16, 19, 20divmuld 11960 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((𝐡 / 𝐴) = (πΉβ€˜π‘§) ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐡))
2212, 21bitrid 283 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴) ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐡))
2311, 22bitr4d 282 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡 ↔ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴)))
2423pm5.32da 580 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴))))
25 remulcl 11143 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
2625adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
27 fconstg 6734 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
283, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
293snssd 4774 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† ℝ)
3028, 29fssd 6691 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„)
31 inidm 4183 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
3226, 30, 6, 2, 2, 31off 7640 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
3332ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
3433ffnd 6674 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ)
35 fniniseg 7015 . . . 4 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡)))
3634, 35syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘§) = 𝐡)))
3717ffnd 6674 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
38 fniniseg 7015 . . . 4 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴))))
3937, 38syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = (𝐡 / 𝐴))))
4024, 36, 393bitr4d 311 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)})))
4140eqrdv 2735 1 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝐡}) = (◑𝐹 β€œ {(𝐡 / 𝐴)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448  {csn 4591   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„cr 11057  0cc0 11058   Β· cmul 11063   / cdiv 11819  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-sum 15578  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  i1fmulc  25084  itg1mulc  25085
  Copyright terms: Public domain W3C validator