Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | reex 11149 |
. . . . . . . . 9
β’ β
β V |
2 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β
V) |
3 | | i1fmulc.3 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β β) |
4 | | i1fmulc.2 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΉ β dom
β«1) |
5 | | i1ff 25056 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΉ β dom β«1
β πΉ:ββΆβ) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
7 | 6 | ffnd 6674 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΉ Fn β) |
8 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π§ β β) β (πΉβπ§) = (πΉβπ§)) |
9 | 2, 3, 7, 8 | ofc1 7648 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π§ β β) β (((β Γ
{π΄}) βf
Β· πΉ)βπ§) = (π΄ Β· (πΉβπ§))) |
10 | 9 | ad4ant14 751 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β (((β Γ
{π΄}) βf
Β· πΉ)βπ§) = (π΄ Β· (πΉβπ§))) |
11 | 10 | eqeq1d 2739 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β ((((β Γ
{π΄}) βf
Β· πΉ)βπ§) = π΅ β (π΄ Β· (πΉβπ§)) = π΅)) |
12 | | eqcom 2744 |
. . . . . 6
β’ ((πΉβπ§) = (π΅ / π΄) β (π΅ / π΄) = (πΉβπ§)) |
13 | | simplr 768 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β π΅ β β) |
14 | 13 | recnd 11190 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β π΅ β β) |
15 | 3 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β π΄ β β) |
16 | 15 | recnd 11190 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β π΄ β β) |
17 | 6 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β πΉ:ββΆβ) |
18 | 17 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β (πΉβπ§) β β) |
19 | 18 | recnd 11190 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β (πΉβπ§) β β) |
20 | | simpllr 775 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β π΄ β 0) |
21 | 14, 16, 19, 20 | divmuld 11960 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β ((π΅ / π΄) = (πΉβπ§) β (π΄ Β· (πΉβπ§)) = π΅)) |
22 | 12, 21 | bitrid 283 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β ((πΉβπ§) = (π΅ / π΄) β (π΄ Β· (πΉβπ§)) = π΅)) |
23 | 11, 22 | bitr4d 282 |
. . . 4
β’ ((((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β§ π§ β β) β ((((β Γ
{π΄}) βf
Β· πΉ)βπ§) = π΅ β (πΉβπ§) = (π΅ / π΄))) |
24 | 23 | pm5.32da 580 |
. . 3
β’ (((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β ((π§ β β β§ (((β Γ
{π΄}) βf
Β· πΉ)βπ§) = π΅) β (π§ β β β§ (πΉβπ§) = (π΅ / π΄)))) |
25 | | remulcl 11143 |
. . . . . . . 8
β’ ((π₯ β β β§ π¦ β β) β (π₯ Β· π¦) β β) |
26 | 25 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π₯ β β β§ π¦ β β)) β (π₯ Β· π¦) β β) |
27 | | fconstg 6734 |
. . . . . . . . 9
β’ (π΄ β β β (β
Γ {π΄}):ββΆ{π΄}) |
28 | 3, 27 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (β Γ {π΄}):ββΆ{π΄}) |
29 | 3 | snssd 4774 |
. . . . . . . 8
β’ (π β {π΄} β β) |
30 | 28, 29 | fssd 6691 |
. . . . . . 7
β’ (π β (β Γ {π΄}):ββΆβ) |
31 | | inidm 4183 |
. . . . . . 7
β’ (β
β© β) = β |
32 | 26, 30, 6, 2, 2, 31 | off 7640 |
. . . . . 6
β’ (π β ((β Γ {π΄}) βf Β·
πΉ):ββΆβ) |
33 | 32 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β ((β Γ
{π΄}) βf
Β· πΉ):ββΆβ) |
34 | 33 | ffnd 6674 |
. . . 4
β’ (((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β ((β Γ
{π΄}) βf
Β· πΉ) Fn
β) |
35 | | fniniseg 7015 |
. . . 4
β’
(((β Γ {π΄}) βf Β· πΉ) Fn β β (π§ β (β‘((β Γ {π΄}) βf Β· πΉ) β {π΅}) β (π§ β β β§ (((β Γ
{π΄}) βf
Β· πΉ)βπ§) = π΅))) |
36 | 34, 35 | syl 17 |
. . 3
β’ (((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β (π§ β (β‘((β Γ {π΄}) βf Β· πΉ) β {π΅}) β (π§ β β β§ (((β Γ
{π΄}) βf
Β· πΉ)βπ§) = π΅))) |
37 | 17 | ffnd 6674 |
. . . 4
β’ (((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β πΉ Fn β) |
38 | | fniniseg 7015 |
. . . 4
β’ (πΉ Fn β β (π§ β (β‘πΉ β {(π΅ / π΄)}) β (π§ β β β§ (πΉβπ§) = (π΅ / π΄)))) |
39 | 37, 38 | syl 17 |
. . 3
β’ (((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β (π§ β (β‘πΉ β {(π΅ / π΄)}) β (π§ β β β§ (πΉβπ§) = (π΅ / π΄)))) |
40 | 24, 36, 39 | 3bitr4d 311 |
. 2
β’ (((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β (π§ β (β‘((β Γ {π΄}) βf Β· πΉ) β {π΅}) β π§ β (β‘πΉ β {(π΅ / π΄)}))) |
41 | 40 | eqrdv 2735 |
1
β’ (((π β§ π΄ β 0) β§ π΅ β β) β (β‘((β Γ {π΄}) βf Β· πΉ) β {π΅}) = (β‘πΉ β {(π΅ / π΄)})) |