Theorem i1fmulclem 24306

Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
i1fmulclem	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Proof of Theorem i1fmulclem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10617	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
3		i1fmulc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		i1fmulc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
5		i1ff 24280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	ffnd 6488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
8		eqidd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
9	2, 3, 7, 8	ofc1 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧)))
10	9	ad4ant14 751	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧)))
11	10	eqeq1d 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
12		eqcom 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧))
13		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	3	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
18	17	ffvelrnda 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
20		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
21	14, 16, 19, 20	divmuld 11427	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
22	12, 21	syl5bb 286	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
23	11, 22	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))
24	23	pm5.32da 582	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
25		remulcl 10611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
26	25	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27		fconstg 6540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
29	3	snssd 4702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℝ)
30	28, 29	fssd 6502	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
31		inidm 4145	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
32	26, 30, 6, 2, 2, 31	off 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
33	32	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
34	33	ffnd 6488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
35		fniniseg 6807	. . . 4 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
37	17	ffnd 6488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
38		fniniseg 6807	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
39	37, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
40	24, 36, 39	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)})))
41	40	eqrdv 2796	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  {csn 4525   × cxp 5517  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387  ℝcr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531   / cdiv 11286  ∫₁citg1 24219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-sum 15035  df-itg1 24224

This theorem is referenced by:  i1fmulc  24307  itg1mulc  24308