Theorem i1fmulclem 25822

Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
i1fmulclem	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Proof of Theorem i1fmulclem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11179	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
3		i1fmulc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		i1fmulc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
5		i1ff 25796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	ffnd 6696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
8		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
9	2, 3, 7, 8	ofc1 7692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧)))
10	9	ad4ant14 764	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧)))
11	10	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
12		eqcom 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧))
13		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11225	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	3	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11225	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	6	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7069	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11225	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
20		simpllr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
21	14, 16, 19, 20	divmuld 12004	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
22	12, 21	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
23	11, 22	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))
24	23	pm5.32da 589	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
25		remulcl 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
26	25	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27		fconstg 6755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
28	3, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
29	3	snssd 4748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℝ)
30	28, 29	fssd 6713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
31		inidm 4181	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
32	26, 30, 6, 2, 2, 31	off 7682	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
33	32	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
34	33	ffnd 6696	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
35		fniniseg 7045	. . . 4 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
36	34, 35	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
37	17	ffnd 6696	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
38		fniniseg 7045	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
39	37, 38	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
40	24, 36, 39	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)})))
41	40	eqrdv 2763	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  {csn 4585   × cxp 5650  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652   “ cima 5655   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093   / cdiv 11859  ∫₁citg1 25735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-sum 15728  df-itg1 25740

This theorem is referenced by:  i1fmulc  25823  itg1mulc  25824