Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | reex 11142 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
∈ V |
2 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ℝ ∈
V) |
3 | | i1fmulc.3 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
4 | | i1fmulc.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom
∫1) |
5 | | i1ff 25040 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1
→ 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
7 | 6 | ffnd 6669 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ) |
8 | | eqidd 2737 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧)) |
9 | 2, 3, 7, 8 | ofc1 7643 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ ×
{𝐴}) ∘f
· 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧))) |
10 | 9 | ad4ant14 750 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ ×
{𝐴}) ∘f
· 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧))) |
11 | 10 | eqeq1d 2738 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ ×
{𝐴}) ∘f
· 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵)) |
12 | | eqcom 2743 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧)) |
13 | | simplr 767 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ) |
14 | 13 | recnd 11183 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
15 | 3 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ) |
16 | 15 | recnd 11183 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
17 | 6 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
18 | 17 | ffvelcdmda 7035 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) |
19 | 18 | recnd 11183 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) |
20 | | simpllr 774 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0) |
21 | 14, 16, 19, 20 | divmuld 11953 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵)) |
22 | 12, 21 | bitrid 282 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵)) |
23 | 11, 22 | bitr4d 281 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ ×
{𝐴}) ∘f
· 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))) |
24 | 23 | pm5.32da 579 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ ×
{𝐴}) ∘f
· 𝐹)‘𝑧) = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))) |
25 | | remulcl 11136 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ) |
26 | 25 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ) |
27 | | fconstg 6729 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ
× {𝐴}):ℝ⟶{𝐴}) |
28 | 3, 27 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴}) |
29 | 3 | snssd 4769 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℝ) |
30 | 28, 29 | fssd 6686 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ) |
31 | | inidm 4178 |
. . . . . . 7
⊢ (ℝ
∩ ℝ) = ℝ |
32 | 26, 30, 6, 2, 2, 31 | off 7635 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f ·
𝐹):ℝ⟶ℝ) |
33 | 32 | ad2antrr 724 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ ×
{𝐴}) ∘f
· 𝐹):ℝ⟶ℝ) |
34 | 33 | ffnd 6669 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ ×
{𝐴}) ∘f
· 𝐹) Fn
ℝ) |
35 | | fniniseg 7010 |
. . . 4
⊢
(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ ×
{𝐴}) ∘f
· 𝐹)‘𝑧) = 𝐵))) |
36 | 34, 35 | syl 17 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ ×
{𝐴}) ∘f
· 𝐹)‘𝑧) = 𝐵))) |
37 | 17 | ffnd 6669 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ) |
38 | | fniniseg 7010 |
. . . 4
⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))) |
39 | 37, 38 | syl 17 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))) |
40 | 24, 36, 39 | 3bitr4d 310 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))) |
41 | 40 | eqrdv 2734 |
1
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)})) |