Theorem i1fmulclem 25623

Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
i1fmulclem	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Proof of Theorem i1fmulclem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11089	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
3		i1fmulc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		i1fmulc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
5		i1ff 25597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	ffnd 6648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
8		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
9	2, 3, 7, 8	ofc1 7633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧)))
10	9	ad4ant14 752	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧)))
11	10	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
12		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧))
13		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7012	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
20		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
21	14, 16, 19, 20	divmuld 11911	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
22	12, 21	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
23	11, 22	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))
24	23	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
25		remulcl 11083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
26	25	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27		fconstg 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
29	3	snssd 4759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℝ)
30	28, 29	fssd 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
31		inidm 4175	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
32	26, 30, 6, 2, 2, 31	off 7623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
33	32	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
34	33	ffnd 6648	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
35		fniniseg 6988	. . . 4 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
37	17	ffnd 6648	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
38		fniniseg 6988	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
39	37, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
40	24, 36, 39	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)})))
41	40	eqrdv 2728	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  Vcvv 3434  {csn 4574   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614   “ cima 5617   Fn wfn 6472  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603  ℝcr 10997  0cc0 10998   · cmul 11003   / cdiv 11766  ∫₁citg1 25536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-sum 15586  df-itg1 25541

This theorem is referenced by:  i1fmulc  25624  itg1mulc  25625