MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulclem 24468
Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulclem (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Proof of Theorem i1fmulclem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10719 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 i1fmulc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 24441 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
76ffnd 6516 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
8 eqidd 2740 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
92, 3, 7, 8ofc1 7463 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹𝑧)))
109ad4ant14 752 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹𝑧)))
1110eqeq1d 2741 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐴 · (𝐹𝑧)) = 𝐵))
12 eqcom 2746 . . . . . 6 ((𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐹𝑧))
13 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413recnd 10760 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
153ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1615recnd 10760 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
176ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1817ffvelrnda 6874 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
1918recnd 10760 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
20 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
2114, 16, 19, 20divmuld 11529 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) = (𝐹𝑧) ↔ (𝐴 · (𝐹𝑧)) = 𝐵))
2212, 21syl5bb 286 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · (𝐹𝑧)) = 𝐵))
2311, 22bitr4d 285 . . . 4 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))
2423pm5.32da 582 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
25 remulcl 10713 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2625adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27 fconstg 6576 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
283, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
293snssd 4707 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℝ)
3028, 29fssd 6533 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
31 inidm 4119 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
3226, 30, 6, 2, 2, 31off 7455 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3332ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3433ffnd 6516 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
35 fniniseg 6850 . . . 4 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (𝑧 ∈ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
3634, 35syl 17 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
3717ffnd 6516 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
38 fniniseg 6850 . . . 4 (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
3937, 38syl 17 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
4024, 36, 393bitr4d 314 . 2 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)})))
4140eqrdv 2737 1 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  Vcvv 3400  {csn 4526   × cxp 5533  ccnv 5534  dom cdm 5535  cima 5538   Fn wfn 6345  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  f cof 7436  cr 10627  0cc0 10628   · cmul 10633   / cdiv 11388  1citg1 24380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-sum 15149  df-itg1 24385
This theorem is referenced by:  i1fmulc  24469  itg1mulc  24470
  Copyright terms: Public domain W3C validator