Theorem i1fmulclem 25212

Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
i1fmulclem	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Proof of Theorem i1fmulclem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
3		i1fmulc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		i1fmulc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
5		i1ff 25185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	ffnd 6716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
8		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
9	2, 3, 7, 8	ofc1 7693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧)))
10	9	ad4ant14 751	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹‘𝑧)))
11	10	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
12		eqcom 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧))
13		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	3	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
20		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
21	14, 16, 19, 20	divmuld 12009	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
22	12, 21	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑧)) = 𝐵))
23	11, 22	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))
24	23	pm5.32da 580	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
25		remulcl 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
26	25	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27		fconstg 6776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
29	3	snssd 4812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℝ)
30	28, 29	fssd 6733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
31		inidm 4218	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
32	26, 30, 6, 2, 2, 31	off 7685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
33	32	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
34	33	ffnd 6716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
35		fniniseg 7059	. . . 4 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
37	17	ffnd 6716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
38		fniniseg 7059	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
39	37, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
40	24, 36, 39	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)})))
41	40	eqrdv 2731	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (◡𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475  {csn 4628   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676   “ cima 5679   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ∘_f cof 7665  ℝcr 11106  0cc0 11107   · cmul 11112   / cdiv 11868  ∫₁citg1 25124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-sum 15630  df-itg1 25129

This theorem is referenced by:  i1fmulc  25213  itg1mulc  25214