MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulclem 25212
Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulclem (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Proof of Theorem i1fmulclem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11198 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 i1fmulc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 25185 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
76ffnd 6716 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
8 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
92, 3, 7, 8ofc1 7693 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹𝑧)))
109ad4ant14 751 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹𝑧)))
1110eqeq1d 2735 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐴 · (𝐹𝑧)) = 𝐵))
12 eqcom 2740 . . . . . 6 ((𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐹𝑧))
13 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413recnd 11239 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
153ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1615recnd 11239 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
176ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1817ffvelcdmda 7084 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
1918recnd 11239 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
20 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
2114, 16, 19, 20divmuld 12009 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) = (𝐹𝑧) ↔ (𝐴 · (𝐹𝑧)) = 𝐵))
2212, 21bitrid 283 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · (𝐹𝑧)) = 𝐵))
2311, 22bitr4d 282 . . . 4 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))
2423pm5.32da 580 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
25 remulcl 11192 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2625adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27 fconstg 6776 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
283, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
293snssd 4812 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℝ)
3028, 29fssd 6733 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
31 inidm 4218 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
3226, 30, 6, 2, 2, 31off 7685 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3332ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3433ffnd 6716 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
35 fniniseg 7059 . . . 4 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (𝑧 ∈ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
3634, 35syl 17 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
3717ffnd 6716 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
38 fniniseg 7059 . . . 4 (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
3937, 38syl 17 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
4024, 36, 393bitr4d 311 . 2 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)})))
4140eqrdv 2731 1 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  {csn 4628   × cxp 5674  ccnv 5675  dom cdm 5676  cima 5679   Fn wfn 6536  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  f cof 7665  cr 11106  0cc0 11107   · cmul 11112   / cdiv 11868  1citg1 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-sum 15630  df-itg1 25129
This theorem is referenced by:  i1fmulc  25213  itg1mulc  25214
  Copyright terms: Public domain W3C validator