Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplvscaval 20793
 Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplvsca.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvsca.n = ( ·𝑠𝑃)
mplvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplvsca.m · = (.r𝑅)
mplvsca.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mplvsca.x (𝜑𝑋𝐾)
mplvsca.f (𝜑𝐹𝐵)
mplvscaval.y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
mplvscaval (𝜑 → ((𝑋 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
Distinct variable group:   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵()   𝐷()   𝑃()   𝑅()   ()   · ()   𝐹()   𝐾()   𝑋()   𝑌()

Proof of Theorem mplvscaval
StepHypRef Expression
1 mplvsca.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplvsca.n . . . 4 = ( ·𝑠𝑃)
3 mplvsca.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mplvsca.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 mplvsca.m . . . 4 · = (.r𝑅)
6 mplvsca.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 mplvsca.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
8 mplvsca.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mplvsca 20792 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
109fveq1d 6665 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝐹)‘𝑌) = (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌))
11 mplvscaval.y . . 3 (𝜑𝑌𝐷)
12 ovex 7189 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
136, 12rabex2 5208 . . . . 5 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
15 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
161, 15, 4, 6, 8mplelf 20777 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6504 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
18 eqidd 2759 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐷) → (𝐹𝑌) = (𝐹𝑌))
1914, 7, 17, 18ofc1 7436 . . 3 ((𝜑𝑌𝐷) → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
2011, 19mpdan 686 . 2 (𝜑 → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
2110, 20eqtrd 2793 1 (𝜑 → ((𝑋 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409  {csn 4525   × cxp 5526  ◡ccnv 5527   “ cima 5531  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∘f cof 7409   ↑m cmap 8422  Fincfn 8540  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  Basecbs 16555  .rcmulr 16638   ·𝑠 cvsca 16641   mPoly cmpl 20682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-tset 16656  df-psr 20685  df-mpl 20687 This theorem is referenced by:  mhpvscacl  20911  mdegvscale  24789
 Copyright terms: Public domain W3C validator