MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplvscaval 21420
Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplvsca.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvsca.n = ( ·𝑠𝑃)
mplvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplvsca.m · = (.r𝑅)
mplvsca.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mplvsca.x (𝜑𝑋𝐾)
mplvsca.f (𝜑𝐹𝐵)
mplvscaval.y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
mplvscaval (𝜑 → ((𝑋 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
Distinct variable group:   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵()   𝐷()   𝑃()   𝑅()   ()   · ()   𝐹()   𝐾()   𝑋()   𝑌()

Proof of Theorem mplvscaval
StepHypRef Expression
1 mplvsca.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplvsca.n . . . 4 = ( ·𝑠𝑃)
3 mplvsca.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mplvsca.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 mplvsca.m . . . 4 · = (.r𝑅)
6 mplvsca.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 mplvsca.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
8 mplvsca.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mplvsca 21419 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
109fveq1d 6844 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝐹)‘𝑌) = (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌))
11 mplvscaval.y . . 3 (𝜑𝑌𝐷)
12 ovex 7390 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
136, 12rabex2 5291 . . . . 5 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
15 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
161, 15, 4, 6, 8mplelf 21404 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6669 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
18 eqidd 2737 . . . 4 ((𝜑𝑌𝐷) → (𝐹𝑌) = (𝐹𝑌))
1914, 7, 17, 18ofc1 7643 . . 3 ((𝜑𝑌𝐷) → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
2011, 19mpdan 685 . 2 (𝜑 → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
2110, 20eqtrd 2776 1 (𝜑 → ((𝑋 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  {csn 4586   × cxp 5631  ccnv 5632  cima 5636  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  Fincfn 8883  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  .rcmulr 17134   ·𝑠 cvsca 17137   mPoly cmpl 21308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-tset 17152  df-psr 21311  df-mpl 21313
This theorem is referenced by:  mhpvscacl  21544  mdegvscale  25440
  Copyright terms: Public domain W3C validator