Theorem mplvscaval 22329

Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvsca.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvsca.n	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mplvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplvsca.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
mplvsca.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mplvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
mplvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mplvscaval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑅(ℎ)   ∙ (ℎ)   · (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑋(ℎ)   𝑌(ℎ)

Proof of Theorem mplvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvsca.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplvsca.n	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
3		mplvsca.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mplvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		mplvsca.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		mplvsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mplvsca.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		mplvsca.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mplvsca 22328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
10	9	fveq1d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌))
11		mplvscaval.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
12		ovex 7454	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
13	6, 12	rabex2 5301	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	1, 15, 4, 6, 8	mplelf 22311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
18		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
19	14, 7, 17, 18	ofc1 7722	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))
20	11, 19	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))
21	10, 20	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  {csn 4584   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∘_f cof 7692   ↑_m cmap 8851  Fincfn 8977  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  Basecbs 17393  ._rcmulr 17435   ·_𝑠 cvsca 17438   mPoly cmpl 22220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-tset 17453  df-psr 22223  df-mpl 22225

This theorem is used by:  selvvvval  22457  mhpvscacl  22481  mdegvscale  26399  evlselv  43711