Theorem mplvscaval 21220

Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvsca.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvsca.n	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mplvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplvsca.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
mplvsca.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mplvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
mplvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mplvscaval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑅(ℎ)   ∙ (ℎ)   · (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑋(ℎ)   𝑌(ℎ)

Proof of Theorem mplvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvsca.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplvsca.n	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
3		mplvsca.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mplvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		mplvsca.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		mplvsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mplvsca.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		mplvsca.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mplvsca 21219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
10	9	fveq1d 6776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌))
11		mplvscaval.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
12		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
13	6, 12	rabex2 5258	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	1, 15, 4, 6, 8	mplelf 21204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
18		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
19	14, 7, 17, 18	ofc1 7559	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))
20	11, 19	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))
21	10, 20	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  {csn 4561   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966   mPoly cmpl 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-psr 21112  df-mpl 21114

This theorem is referenced by:  mhpvscacl  21344  mdegvscale  25240