Theorem mplvscaval 22054

Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvsca.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvsca.n	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mplvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplvsca.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
mplvsca.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mplvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
mplvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mplvscaval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑅(ℎ)   ∙ (ℎ)   · (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑋(ℎ)   𝑌(ℎ)

Proof of Theorem mplvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvsca.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplvsca.n	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
3		mplvsca.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mplvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		mplvsca.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		mplvsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mplvsca.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		mplvsca.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mplvsca 22053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
10	9	fveq1d 6863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌))
11		mplvscaval.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
12		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
13	6, 12	rabex2 5294	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	1, 15, 4, 6, 8	mplelf 22036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
18		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
19	14, 7, 17, 18	ofc1 7682	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))
20	11, 19	mpdan 697	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))
21	10, 20	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453  {csn 4579   × cxp 5641  ^◡ccnv 5642   “ cima 5646  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7652   ↑_m cmap 8801  Fincfn 8920  ℕcn 12203  ℕ₀cn0 12474  Basecbs 17235  ._rcmulr 17277   ·_𝑠 cvsca 17280   mPoly cmpl 21945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-tset 17295  df-psr 21948  df-mpl 21950

This theorem is referenced by:  selvvvval  22182  mhpvscacl  22206  mdegvscale  26122  evlselv  43131