Theorem basellem9 26247

Description: Lemma for basel 26248. Since by basellem8 26246 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 15359. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f	⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h	⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
basel.j	⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
basel.k	⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
basellem9	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12630	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12360	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5		ovex 7317	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑-2) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6884	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8		nnre 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nnne0 12016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10		2z 12361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		znegcl 12364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
14	8, 9, 13	reexpclzd 13973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
16	15, 4	fmptd 6997	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6970	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
18	7, 17	eqeltrrd 2841	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11012	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
20	1, 2, 17	serfre 13761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21		basel.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
22	21	feq1i 6600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
23	20, 22	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
24	23	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11012	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
26		remulcl 10965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28		ovex 7317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ V
29	28	fconst 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30		pire 25624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
31	30	resqcli 13912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π↑2) ∈ ℝ
32		6re 12072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ∈ ℝ
33		6nn 12071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 6 ∈ ℕ
34	33	nnne0i 12022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ≠ 0
35	31, 32, 34	redivcli 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
37	36	snssd 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38		fss 6626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
39	29, 37, 38	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40		resubcl 11294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
42		1ex 10980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44		1red 10985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
45	44	snssd 4743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46		fss 6626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
47	43, 45, 46	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48		2nn 12055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50		nnmulcl 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
51	49, 50	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
52	51	peano2nnd 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
53	52	nnrecred 12033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54		basel.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
55	53, 54	fmptd 6997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56		nnex 11988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
58		inidm 4153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
59	41, 47, 55, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺):ℕ⟶ℝ)
60	27, 39, 59, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61		basel.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
62	61	feq1i 6600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
63	60, 62	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64		readdcl 10963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66		negex 11228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -2 ∈ V
67	66	fconst 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
68	12	zrei 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -2 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℝ)
70	69	snssd 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71		fss 6626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
72	67, 70, 71	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
73	27, 72, 55, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
74	65, 47, 73, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
75	27, 63, 74, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76		basel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
77	76	feq1i 6600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
78	75, 77	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
79	78	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11012	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℂ)
81	25, 80	npcand 11345	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
82	81	mpteq2dva 5175	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
83		ovexd 7319	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) ∈ V)
84	23	feqmptd 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
85	78	feqmptd 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽‘𝑛)))
86	57, 24, 79, 84, 85	offval2 7562	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛))))
87	57, 83, 79, 86, 85	offval2 7562	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))))
88	82, 87, 84	3eqtr4d 2789	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) = 𝐹)
89	65, 47, 55, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90		recn 10970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91		recn 10970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92		recn 10970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93		subdi 11417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	90, 91, 92, 93	syl3an 1159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
96	57, 63, 89, 74, 95	caofdi 7581	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))))
97		basel.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
98	97, 76	oveq12i 7296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∘f − 𝐽) = ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))
99	96, 98	eqtr4di 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = (𝐾 ∘f − 𝐽))
100	35	recni 10998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
101	1	eqimss2i 3981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
102	101, 56	climconst2 15266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103	100, 2, 102	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104		ovexd 7319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ∈ V)
105		ax-resscn 10937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
106		fss 6626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
107	47, 105, 106	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108		fss 6626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
109	55, 105, 108	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110		ofnegsub 11980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
111	56, 107, 109, 110	mp3an2i 1465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
112		neg1cn 12096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
113	54, 112	basellem7 26245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
114	111, 113	eqbrtrrdi 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺) ⇝ 1)
115	39	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116	115	recnd 11012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
117	59	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118	117	recnd 11012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
119	39	ffnd 6610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120		fnconstg 6671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
121	2, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
122	55	ffnd 6610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
123	121, 122, 57, 57, 58	offn 7555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺) Fn ℕ)
124		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
125		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘))
126	119, 123, 57, 57, 58, 124, 125	ofval 7553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘)))
127	1, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 126	climmul 15351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
128	100	mulid1i 10988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
129	127, 128	breqtrdi 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
130	61, 129	eqbrtrid 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
131		ovexd 7319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ∈ V)
132		3cn 12063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
133	101, 56	climconst2 15266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
134	132, 2, 133	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
135		ovexd 7319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
136	54	basellem6 26244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
138		3ex 12064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ V
139	138	fconst 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
140		3re 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
142	141	snssd 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
143		fss 6626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
144	139, 142, 143	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
145	144	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
146	145	recnd 11012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
147	55	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
148	147	recnd 11012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
149	144	ffnd 6610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
150		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
151		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
152	149, 122, 57, 57, 58, 150, 151	ofval 7553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
153	1, 2, 134, 135, 137, 146, 148, 152	climmul 15351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
154	132	mul01i 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 0) = 0
155	153, 154	breqtrdi 5116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
156	63	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
157	156	recnd 11012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
158	27, 144, 55, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
159	158	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
160	159	recnd 11012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
161	63	ffnd 6610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
162	41, 89, 74, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
163	162	ffnd 6610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) Fn ℕ)
164		eqidd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
165	148	mulid2d 11002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
166		2cn 12057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
167		mulneg1 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
168	166, 148, 167	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
169	168	negeqd 11224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺‘𝑘)) = --(2 · (𝐺‘𝑘)))
170		mulcl 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
171	166, 148, 170	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
172	171	negnegd 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺‘𝑘)) = (2 · (𝐺‘𝑘)))
173	169, 172	eqtr2d 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) = -(-2 · (𝐺‘𝑘)))
174	165, 173	oveq12d 7302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))))
175		remulcl 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
176	68, 147, 175	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
177	176	recnd 11012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
178	148, 177	negsubd 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
179	174, 178	eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
180		df-3 12046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
181		ax-1cn 10938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
182	166, 181	addcomi 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
183	180, 182	eqtri 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (1 + 2)
184	183	oveq1i 7294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘))
185		1cnd 10979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
186	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
187	185, 186, 148	adddird 11009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
188	184, 187	eqtrid 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
189	185, 148, 177	pnpcand 11378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
190	179, 188, 189	3eqtr4rd 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
191	121, 122, 57, 57, 58	offn 7555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) Fn ℕ)
192	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℤ)
193		fnconstg 6671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
195	194, 122, 57, 57, 58	offn 7555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
196	121, 195, 57, 57, 58	offn 7555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) Fn ℕ)
197	57, 44, 122, 151	ofc1 7568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺‘𝑘)))
198	57, 69, 122, 151	ofc1 7568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺‘𝑘)))
199	57, 44, 195, 198	ofc1 7568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘))))
200	191, 196, 57, 57, 58, 197, 199	ofval 7553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))))
201	57, 141, 122, 151	ofc1 7568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
202	190, 200, 201	3eqtr4d 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
203	161, 163, 57, 57, 58, 164, 202	ofval 7553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
204	1, 2, 130, 131, 155, 157, 160, 203	climmul 15351	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
205	100	mul01i 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π↑2) / 6) · 0) = 0
206	204, 205	breqtrdi 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ 0)
207	99, 206	eqbrtrrd 5099	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘f − 𝐽) ⇝ 0)
208		ovexd 7319	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) ∈ V)
209	27, 63, 89, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
210	97	feq1i 6600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
211	209, 210	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
212	41, 211, 78, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘f − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
213	212	ffvelrnda 6970	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
214	41, 23, 78, 57, 57, 58	off 7560	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
215	214	ffvelrnda 6970	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
216	23	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
217	211	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) ∈ ℝ)
218	78	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
219		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
220	54, 21, 61, 76, 97, 219	basellem8 26246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
221	220	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
222	221	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘))
223	216, 217, 218, 222	lesub1dd 11600	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ≤ ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
224	23	ffnd 6610	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
225	78	ffnd 6610	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
226		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
227		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (𝐽‘𝑘))
228	224, 225, 57, 57, 58, 226, 227	ofval 7553	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
229	211	ffnd 6610	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
230		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) = (𝐾‘𝑘))
231	229, 225, 57, 57, 58, 230, 227	ofval 7553	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
232	223, 228, 231	3brtr4d 5107	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
233	221	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
234	216, 218	subge0d 11574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ↔ (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
235	233, 234	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
236	235, 228	breqtrrd 5103	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
237	1, 2, 207, 208, 213, 215, 232, 236	climsqz2 15360	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) ⇝ 0)
238		ovexd 7319	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) ∈ V)
239		ovexd 7319	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ∈ V)
240	68	recni 10998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -2 ∈ ℂ
241	54, 240	basellem7 26245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
242	241	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1)
243	74	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
244	243	recnd 11012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
245		eqidd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘))
246	161, 196, 57, 57, 58, 164, 245	ofval 7553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘)))
247	1, 2, 130, 239, 242, 157, 244, 246	climmul 15351	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
248	247, 128	breqtrdi 5116	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
249	76, 248	eqbrtrid 5110	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
250	215	recnd 11012	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
251	218	recnd 11012	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℂ)
252	214	ffnd 6610	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) Fn ℕ)
253		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
254	252, 225, 57, 57, 58, 253, 227	ofval 7553	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)))
255	1, 2, 237, 238, 249, 250, 251, 254	climadd 15350	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
256	88, 255	eqbrtrrd 5099	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
257	100	addid2i 11172	. . . 4 ⊢ (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
258	256, 21, 257	3brtr3g 5108	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
259	1, 2, 7, 19, 258	isumclim 15478	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
260	259	mptru 1546	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  Vcvv 3433   ⊆ wss 3888  {csn 4562   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158   × cxp 5588   Fn wfn 6432  ⟶wf 6433  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ∘_f cof 7540  ℂcc 10878  ℝcr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885   ≤ cle 11019   − cmin 11214  -cneg 11215   / cdiv 11641  ℕcn 11982  2c2 12037  3c3 12038  6c6 12041  ℤcz 12328  ℤ_≥cuz 12591  seqcseq 13730  ↑cexp 13791   ⇝ cli 15202  Σcsu 15406  πcpi 15785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-oadd 8310  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-dju 9668  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-xnn0 12315  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-mod 13599  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-tan 15790  df-pi 15791  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-0p 24843  df-limc 25039  df-dv 25040  df-ply 25358  df-idp 25359  df-coe 25360  df-dgr 25361  df-quot 25460

This theorem is referenced by:  basel  26248