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Theorem basellem9 25051
Description: Lemma for basel 25052. Since by basellem8 25050 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 14613. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
Assertion
Ref Expression
basellem9 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11960 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11693 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 oveq1 6890 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4 eqid 2817 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5 ovex 6915 . . . . 5 (𝑘↑-2) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6512 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
76adantl 469 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8 nnre 11322 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9 nnne0 11350 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10 2z 11694 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
11 znegcl 11697 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
148, 9, 13reexpclzd 13276 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1514adantl 469 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1615, 4fmptd 6615 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6590 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
187, 17eqeltrrd 2897 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
1918recnd 10362 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
201, 2, 17serfre 13072 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21 basel.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
2221feq1i 6256 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
2320, 22sylibr 225 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2423ffvelrnda 6590 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2524recnd 10362 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
26 remulcl 10315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2726adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28 ovex 6915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π↑2) / 6) ∈ V
2928fconst 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30 pire 24447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ∈ ℝ
3130resqcli 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π↑2) ∈ ℝ
32 6re 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ∈ ℝ
33 6nn 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 ∈ ℕ
3433nnne0i 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ≠ 0
3531, 32, 34redivcli 11086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
3736snssd 4541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38 fss 6278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
3929, 37, 38sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40 resubcl 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
4140adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
42 1ex 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
4342fconst 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44 1red 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4544snssd 4541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46 fss 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
4743, 45, 46sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48 2nn 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50 nnmulcl 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5149, 50sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5251peano2nnd 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5352nnrecred 11363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
5553, 54fmptd 6615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56 nnex 11321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℕ ∈ V)
58 inidm 4030 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
5941, 47, 55, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺):ℕ⟶ℝ)
6027, 39, 59, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
6261feq1i 6256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)):ℕ⟶ℝ)
6360, 62sylibr 225 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64 readdcl 10313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
6564adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66 negex 10573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -2 ∈ V
6766fconst 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
6812zrei 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -2 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℝ)
7069snssd 4541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71 fss 6278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7267, 70, 71sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7327, 72, 55, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
7465, 47, 73, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
7527, 63, 74, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76 basel.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
7776feq1i 6256 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
7875, 77sylibr 225 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
7978ffvelrnda 6590 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℝ)
8079recnd 10362 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℂ)
8125, 80npcand 10690 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛)) = (𝐹𝑛))
8281mpteq2dva 4949 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
83 ovexd 6917 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) ∈ V)
8423feqmptd 6479 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
8578feqmptd 6479 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽𝑛)))
8657, 24, 79, 84, 85offval2 7153 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛))))
8757, 83, 79, 86, 85offval2 7153 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))))
8882, 87, 843eqtr4d 2861 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = 𝐹)
8965, 47, 55, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90 recn 10320 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91 recn 10320 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92 recn 10320 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93 subdi 10757 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9490, 91, 92, 93syl3an 1192 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9594adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9657, 63, 89, 74, 95caofdi 7172 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))))
97 basel.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
9897, 76oveq12i 6895 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑓𝐽) = ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))
9996, 98syl6eqr 2869 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = (𝐾𝑓𝐽))
10035recni 10348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
1011eqimss2i 3868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
102101, 56climconst2 14521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103100, 2, 102sylancr 577 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104 ovexd 6917 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ∈ V)
105 ax-resscn 10287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
106 fss 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
10747, 105, 106sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108 fss 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
10955, 105, 108sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110 ofnegsub 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
11157, 107, 109, 110syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
112 neg1cn 11433 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
11354, 112basellem7 25049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
114111, 113syl6eqbrr 4895 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) ⇝ 1)
11539ffvelrnda 6590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116115recnd 10362 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
11759ffvelrnda 6590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118117recnd 10362 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
11939ffnd 6266 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120 fnconstg 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
1212, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
12255ffnd 6266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
123121, 122, 57, 57, 58offn 7147 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) Fn ℕ)
124 eqidd 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
125 eqidd 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘))
126119, 123, 57, 57, 58, 124, 125ofval 7145 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘)))
1271, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 126climmul 14605 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
128100mulid1i 10338 . . . . . . . . . . . 12 (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
129127, 128syl6breq 4896 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
13061, 129syl5eqbr 4890 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
131 ovexd 6917 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ∈ V)
132 3cn 11393 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
133101, 56climconst2 14521 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
134132, 2, 133sylancr 577 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
135 ovexd 6917 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
13654basellem6 25048 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 ⇝ 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
138 3ex 11395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ V
139138fconst 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
140 3re 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
142141snssd 4541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
143 fss 6278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
144139, 142, 143sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
145144ffvelrnda 6590 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
146145recnd 10362 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
14755ffvelrnda 6590 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
148147recnd 10362 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
149144ffnd 6266 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
150 eqidd 2818 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
151 eqidd 2818 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
152149, 122, 57, 57, 58, 150, 151ofval 7145 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
1531, 2, 134, 135, 137, 146, 148, 152climmul 14605 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
154132mul01i 10520 . . . . . . . . . . 11 (3 · 0) = 0
155153, 154syl6breq 4896 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
15663ffvelrnda 6590 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
157156recnd 10362 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
15827, 144, 55, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
159158ffvelrnda 6590 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
160159recnd 10362 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
16163ffnd 6266 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
16241, 89, 74, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
163162ffnd 6266 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ℕ)
164 eqidd 2818 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
165148mulid2d 10352 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
166 2cn 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
167 mulneg1 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
168166, 148, 167sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
169168negeqd 10569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺𝑘)) = --(2 · (𝐺𝑘)))
170 mulcl 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
171166, 148, 170sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
172171negnegd 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺𝑘)) = (2 · (𝐺𝑘)))
173169, 172eqtr2d 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) = -(-2 · (𝐺𝑘)))
174165, 173oveq12d 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))))
175 remulcl 10315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
17668, 147, 175sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
177176recnd 10362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
178148, 177negsubd 10692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
179174, 178eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
180 df-3 11376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
181 ax-1cn 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
182166, 181addcomi 10521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = (1 + 2)
183180, 182eqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (1 + 2)
184183oveq1i 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺𝑘))
185 1cnd 10329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
186166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
187185, 186, 148adddird 10359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
188184, 187syl5eq 2863 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
189185, 148, 177pnpcand 10723 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
190179, 188, 1893eqtr4rd 2862 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = (3 · (𝐺𝑘)))
191121, 122, 57, 57, 58offn 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) Fn ℕ)
19212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℤ)
193 fnconstg 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
194192, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
195194, 122, 57, 57, 58offn 7147 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
196121, 195, 57, 57, 58offn 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ)
19757, 44, 122, 151ofc1 7159 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺𝑘)))
19857, 69, 122, 151ofc1 7159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺𝑘)))
19957, 44, 195, 198ofc1 7159 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺𝑘))))
200191, 196, 57, 57, 58, 197, 199ofval 7145 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))))
20157, 141, 122, 151ofc1 7159 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺𝑘)))
202190, 200, 2013eqtr4d 2861 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
203161, 163, 57, 57, 58, 164, 202ofval 7145 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
2041, 2, 130, 131, 155, 157, 160, 203climmul 14605 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
205100mul01i 10520 . . . . . . . . 9 (((π↑2) / 6) · 0) = 0
206204, 205syl6breq 4896 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ 0)
20799, 206eqbrtrrd 4879 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐾𝑓𝐽) ⇝ 0)
208 ovexd 6917 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) ∈ V)
20927, 63, 89, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
21097feq1i 6256 . . . . . . . . . 10 (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
211209, 210sylibr 225 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
21241, 211, 78, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐾𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ)
213212ffvelrnda 6590 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
21441, 23, 78, 57, 57, 58off 7151 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ)
215214ffvelrnda 6590 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
21623ffvelrnda 6590 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
217211ffvelrnda 6590 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
21878ffvelrnda 6590 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
219 eqid 2817 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
22054, 21, 61, 76, 97, 219basellem8 25050 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
221220adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
222221simprd 485 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘))
223216, 217, 218, 222lesub1dd 10937 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ≤ ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
22423ffnd 6266 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
22578ffnd 6266 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
226 eqidd 2818 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
227 eqidd 2818 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (𝐽𝑘))
228224, 225, 57, 57, 58, 226, 227ofval 7145 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
229211ffnd 6266 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
230 eqidd 2818 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) = (𝐾𝑘))
231229, 225, 57, 57, 58, 230, 227ofval 7145 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
232223, 228, 2313brtr4d 4887 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘))
233221simpld 484 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
234216, 218subge0d 10911 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ↔ (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘)))
235233, 234mpbird 248 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
236235, 228breqtrrd 4883 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘))
2371, 2, 207, 208, 213, 215, 232, 236climsqz2 14614 . . . . . 6 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) ⇝ 0)
238 ovexd 6917 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ∈ V)
239 ovexd 6917 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ V)
24068recni 10348 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
24154, 240basellem7 25049 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
242241a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1)
24374ffvelrnda 6590 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
244243recnd 10362 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
245 eqidd 2818 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘))
246161, 196, 57, 57, 58, 164, 245ofval 7145 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘)))
2471, 2, 130, 239, 242, 157, 244, 246climmul 14605 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
248247, 128syl6breq 4896 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
24976, 248syl5eqbr 4890 . . . . . 6 (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
250215recnd 10362 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
251218recnd 10362 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
252214ffnd 6266 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) Fn ℕ)
253 eqidd 2818 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘))
254252, 225, 57, 57, 58, 253, 227ofval 7145 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) + (𝐽𝑘)))
2551, 2, 237, 238, 249, 250, 251, 254climadd 14604 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
25688, 255eqbrtrrd 4879 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
257100addid2i 10518 . . . 4 (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
258256, 21, 2573brtr3g 4888 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
2591, 2, 7, 19, 258isumclim 14730 . 2 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
260259mptru 1645 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wtru 1638  wcel 2157  Vcvv 3402  wss 3780  {csn 4381   class class class wbr 4855  cmpt 4934   × cxp 5322   Fn wfn 6105  wf 6106  cfv 6110  (class class class)co 6883  𝑓 cof 7134  cc 10228  cr 10229  0cc0 10230  1c1 10231   + caddc 10233   · cmul 10235  cle 10369  cmin 10560  -cneg 10561   / cdiv 10978  cn 11314  2c2 11367  3c3 11368  6c6 11371  cz 11662  cuz 11923  seqcseq 13043  cexp 13102  cli 14457  Σcsu 14658  πcpi 15036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-inf2 8794  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-pre-sup 10308  ax-addf 10309  ax-mulf 10310
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-isom 6119  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-of 7136  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-supp 7539  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-2o 7806  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-pm 8104  df-ixp 8155  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-fsupp 8524  df-fi 8565  df-sup 8596  df-inf 8597  df-oi 8663  df-card 9057  df-cda 9284  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10979  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-xnn0 11649  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-q 12027  df-rp 12066  df-xneg 12181  df-xadd 12182  df-xmul 12183  df-ioo 12416  df-ioc 12417  df-ico 12418  df-icc 12419  df-fz 12569  df-fzo 12709  df-fl 12836  df-mod 12912  df-seq 13044  df-exp 13103  df-fac 13300  df-bc 13329  df-hash 13357  df-shft 14049  df-cj 14081  df-re 14082  df-im 14083  df-sqrt 14217  df-abs 14218  df-limsup 14444  df-clim 14461  df-rlim 14462  df-sum 14659  df-ef 15037  df-sin 15039  df-cos 15040  df-tan 15041  df-pi 15042  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-ress 16095  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-starv 16187  df-sca 16188  df-vsca 16189  df-ip 16190  df-tset 16191  df-ple 16192  df-ds 16194  df-unif 16195  df-hom 16196  df-cco 16197  df-rest 16307  df-topn 16308  df-0g 16326  df-gsum 16327  df-topgen 16328  df-pt 16329  df-prds 16332  df-xrs 16386  df-qtop 16391  df-imas 16392  df-xps 16394  df-mre 16470  df-mrc 16471  df-acs 16473  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-submnd 17560  df-mulg 17765  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19965  df-xmet 19966  df-met 19967  df-bl 19968  df-mopn 19969  df-fbas 19970  df-fg 19971  df-cnfld 19974  df-top 20932  df-topon 20949  df-topsp 20971  df-bases 20984  df-cld 21057  df-ntr 21058  df-cls 21059  df-nei 21136  df-lp 21174  df-perf 21175  df-cn 21265  df-cnp 21266  df-haus 21353  df-tx 21599  df-hmeo 21792  df-fil 21883  df-fm 21975  df-flim 21976  df-flf 21977  df-xms 22358  df-ms 22359  df-tms 22360  df-cncf 22914  df-0p 23673  df-limc 23866  df-dv 23867  df-ply 24180  df-idp 24181  df-coe 24182  df-dgr 24183  df-quot 24282
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