Theorem basellem9 27077

Description: Lemma for basel 27078. Since by basellem8 27076 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 15601. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f	⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h	⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
basel.j	⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
basel.k	⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
basellem9	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12825	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12556	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5		ovex 7396	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑-2) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6942	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8		nnre 12179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nnne0 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10		2z 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		znegcl 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
14	8, 9, 13	reexpclzd 14209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
16	15, 4	fmptd 7062	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
17	16	ffvelcdmda 7032	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
18	7, 17	eqeltrrd 2841	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11171	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
20	1, 2, 17	serfre 13991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21		basel.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
22	21	feq1i 6653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
23	20, 22	sylibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
24	23	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
26		remulcl 11121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28		ovex 7396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ V
29	28	fconst 6720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30		pire 26446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
31	30	resqcli 14146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π↑2) ∈ ℝ
32		6re 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ∈ ℝ
33		6nn 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 6 ∈ ℕ
34	33	nnne0i 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ≠ 0
35	31, 32, 34	redivcli 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
37	36	snssd 4725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38		fss 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
39	29, 37, 38	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40		resubcl 11456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
42		1ex 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44		1red 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
45	44	snssd 4725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46		fss 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
47	43, 45, 46	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48		2nn 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50		nnmulcl 12196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
51	49, 50	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
52	51	peano2nnd 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
53	52	nnrecred 12226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54		basel.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
55	53, 54	fmptd 7062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56		nnex 12178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
58		inidm 4162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
59	41, 47, 55, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺):ℕ⟶ℝ)
60	27, 39, 59, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61		basel.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
62	61	feq1i 6653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
63	60, 62	sylibr 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64		readdcl 11119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66		negex 11389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -2 ∈ V
67	66	fconst 6720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
68	12	zrei 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -2 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℝ)
70	69	snssd 4725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71		fss 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
72	67, 70, 71	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
73	27, 72, 55, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
74	65, 47, 73, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
75	27, 63, 74, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76		basel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
77	76	feq1i 6653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
78	75, 77	sylibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
79	78	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℂ)
81	25, 80	npcand 11507	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
82	81	mpteq2dva 5172	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
83		ovexd 7398	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) ∈ V)
84	23	feqmptd 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
85	78	feqmptd 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽‘𝑛)))
86	57, 24, 79, 84, 85	offval2 7647	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛))))
87	57, 83, 79, 86, 85	offval2 7647	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))))
88	82, 87, 84	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) = 𝐹)
89	65, 47, 55, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90		recn 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91		recn 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92		recn 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93		subdi 11581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	90, 91, 92, 93	syl3an 1166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
96	57, 63, 89, 74, 95	caofdi 7669	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))))
97		basel.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
98	97, 76	oveq12i 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∘f − 𝐽) = ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))
99	96, 98	eqtr4di 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = (𝐾 ∘f − 𝐽))
100	35	recni 11157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
101	1	eqimss2i 3983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
102	101, 56	climconst2 15508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103	100, 2, 102	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104		ovexd 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ∈ V)
105		ax-resscn 11093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
106		fss 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
107	47, 105, 106	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108		fss 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
109	55, 105, 108	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110		ofnegsub 12155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
111	56, 107, 109, 110	mp3an2i 1474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
112		neg1cn 12142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
113	54, 112	basellem7 27075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
114	111, 113	eqbrtrrdi 5119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺) ⇝ 1)
115	39	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116	115	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
117	59	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118	117	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
119	39	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120		fnconstg 6722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
121	2, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
122	55	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
123	121, 122, 57, 57, 58	offn 7640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺) Fn ℕ)
124		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
125		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘))
126	119, 123, 57, 57, 58, 124, 125	ofval 7638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘)))
127	1, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 126	climmul 15593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
128	100	mulridi 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
129	127, 128	breqtrdi 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
130	61, 129	eqbrtrid 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
131		ovexd 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ∈ V)
132		3cn 12260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
133	101, 56	climconst2 15508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
134	132, 2, 133	sylancr 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
135		ovexd 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
136	54	basellem6 27074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
138		3ex 12261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ V
139	138	fconst 6720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
140		3re 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
142	141	snssd 4725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
143		fss 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
144	139, 142, 143	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
145	144	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
146	145	recnd 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
147	55	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
148	147	recnd 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
149	144	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
150		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
151		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
152	149, 122, 57, 57, 58, 150, 151	ofval 7638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
153	1, 2, 134, 135, 137, 146, 148, 152	climmul 15593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
154	132	mul01i 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 0) = 0
155	153, 154	breqtrdi 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
156	63	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
157	156	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
158	27, 144, 55, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
159	158	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
160	159	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
161	63	ffnd 6663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
162	41, 89, 74, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
163	162	ffnd 6663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) Fn ℕ)
164		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
165	148	mullidd 11161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
166		2cn 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
167		mulneg1 11584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
168	166, 148, 167	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
169	168	negeqd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺‘𝑘)) = --(2 · (𝐺‘𝑘)))
170		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
171	166, 148, 170	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
172	171	negnegd 11494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺‘𝑘)) = (2 · (𝐺‘𝑘)))
173	169, 172	eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) = -(-2 · (𝐺‘𝑘)))
174	165, 173	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))))
175		remulcl 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
176	68, 147, 175	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
177	176	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
178	148, 177	negsubd 11509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
179	174, 178	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
180		df-3 12243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
181		ax-1cn 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
182	166, 181	addcomi 11335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
183	180, 182	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (1 + 2)
184	183	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘))
185		1cnd 11137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
186	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
187	185, 186, 148	adddird 11168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
188	184, 187	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
189	185, 148, 177	pnpcand 11540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
190	179, 188, 189	3eqtr4rd 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
191	121, 122, 57, 57, 58	offn 7640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) Fn ℕ)
192	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℤ)
193		fnconstg 6722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
195	194, 122, 57, 57, 58	offn 7640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
196	121, 195, 57, 57, 58	offn 7640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) Fn ℕ)
197	57, 44, 122, 151	ofc1 7655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺‘𝑘)))
198	57, 69, 122, 151	ofc1 7655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺‘𝑘)))
199	57, 44, 195, 198	ofc1 7655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘))))
200	191, 196, 57, 57, 58, 197, 199	ofval 7638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))))
201	57, 141, 122, 151	ofc1 7655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
202	190, 200, 201	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
203	161, 163, 57, 57, 58, 164, 202	ofval 7638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
204	1, 2, 130, 131, 155, 157, 160, 203	climmul 15593	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
205	100	mul01i 11334	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π↑2) / 6) · 0) = 0
206	204, 205	breqtrdi 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ 0)
207	99, 206	eqbrtrrd 5103	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘f − 𝐽) ⇝ 0)
208		ovexd 7398	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) ∈ V)
209	27, 63, 89, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
210	97	feq1i 6653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
211	209, 210	sylibr 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
212	41, 211, 78, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘f − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
213	212	ffvelcdmda 7032	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
214	41, 23, 78, 57, 57, 58	off 7645	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
215	214	ffvelcdmda 7032	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
216	23	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
217	211	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) ∈ ℝ)
218	78	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
219		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
220	54, 21, 61, 76, 97, 219	basellem8 27076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
221	220	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
222	221	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘))
223	216, 217, 218, 222	lesub1dd 11764	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ≤ ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
224	23	ffnd 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
225	78	ffnd 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
226		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
227		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (𝐽‘𝑘))
228	224, 225, 57, 57, 58, 226, 227	ofval 7638	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
229	211	ffnd 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
230		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) = (𝐾‘𝑘))
231	229, 225, 57, 57, 58, 230, 227	ofval 7638	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
232	223, 228, 231	3brtr4d 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
233	221	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
234	216, 218	subge0d 11738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ↔ (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
235	233, 234	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
236	235, 228	breqtrrd 5107	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
237	1, 2, 207, 208, 213, 215, 232, 236	climsqz2 15602	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) ⇝ 0)
238		ovexd 7398	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) ∈ V)
239		ovexd 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ∈ V)
240	68	recni 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -2 ∈ ℂ
241	54, 240	basellem7 27075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
242	241	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1)
243	74	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
244	243	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
245		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘))
246	161, 196, 57, 57, 58, 164, 245	ofval 7638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘)))
247	1, 2, 130, 239, 242, 157, 244, 246	climmul 15593	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
248	247, 128	breqtrdi 5120	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
249	76, 248	eqbrtrid 5114	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
250	215	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
251	218	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℂ)
252	214	ffnd 6663	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) Fn ℕ)
253		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
254	252, 225, 57, 57, 58, 253, 227	ofval 7638	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)))
255	1, 2, 237, 238, 249, 250, 251, 254	climadd 15592	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
256	88, 255	eqbrtrrd 5103	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
257	100	addlidi 11332	. . . 4 ⊢ (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
258	256, 21, 257	3brtr3g 5112	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
259	1, 2, 7, 19, 258	isumclim 15717	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
260	259	mptru 1554	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   × cxp 5623   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   ≤ cle 11178   − cmin 11375  -cneg 11376   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  3c3 12235  6c6 12238  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  seqcseq 13961  ↑cexp 14021   ⇝ cli 15444  Σcsu 15646  πcpi 16029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-tan 16034  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-0p 25662  df-limc 25858  df-dv 25859  df-ply 26178  df-idp 26179  df-coe 26180  df-dgr 26181  df-quot 26282

This theorem is referenced by:  basel  27078