MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem9 25035
Description: Lemma for basel 25036. Since by basellem8 25034 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 14578. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
Assertion
Ref Expression
basellem9 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11929 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11614 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 oveq1 6802 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4 eqid 2771 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5 ovex 6826 . . . . 5 (𝑘↑-2) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6426 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
76adantl 467 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8 nnre 11232 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9 nnne0 11258 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10 2z 11615 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
11 znegcl 11618 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
148, 9, 13reexpclzd 13240 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1514adantl 467 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1615, 4fmptd 6529 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6504 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
187, 17eqeltrrd 2851 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
1918recnd 10273 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
201, 2, 17serfre 13036 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21 basel.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
2221feq1i 6175 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
2320, 22sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2423ffvelrnda 6504 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2524recnd 10273 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
26 remulcl 10226 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2726adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28 ovex 6826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π↑2) / 6) ∈ V
2928fconst 6232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30 pire 24430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ∈ ℝ
3130resqcli 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π↑2) ∈ ℝ
32 6re 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ∈ ℝ
33 6nn 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 ∈ ℕ
3433nnne0i 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ≠ 0
3531, 32, 34redivcli 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
3736snssd 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38 fss 6197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
3929, 37, 38sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40 resubcl 10550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
4140adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
42 1ex 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
4342fconst 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44 1red 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4544snssd 4476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46 fss 6197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
4743, 45, 46sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48 2nn 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50 nnmulcl 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5149, 50sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5251peano2nnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5352nnrecred 11271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
5553, 54fmptd 6529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56 nnex 11231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℕ ∈ V)
58 inidm 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
5941, 47, 55, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺):ℕ⟶ℝ)
6027, 39, 59, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
6261feq1i 6175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)):ℕ⟶ℝ)
6360, 62sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64 readdcl 10224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
6564adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66 negex 10484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -2 ∈ V
6766fconst 6232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
6812zrei 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -2 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℝ)
7069snssd 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71 fss 6197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7267, 70, 71sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7327, 72, 55, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
7465, 47, 73, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
7527, 63, 74, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76 basel.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
7776feq1i 6175 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
7875, 77sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
7978ffvelrnda 6504 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℝ)
8079recnd 10273 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℂ)
8125, 80npcand 10601 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛)) = (𝐹𝑛))
8281mpteq2dva 4879 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
83 ovexd 6828 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) ∈ V)
8423feqmptd 6393 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
8578feqmptd 6393 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽𝑛)))
8657, 24, 79, 84, 85offval2 7064 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛))))
8757, 83, 79, 86, 85offval2 7064 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))))
8882, 87, 843eqtr4d 2815 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = 𝐹)
8965, 47, 55, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90 recn 10231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91 recn 10231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92 recn 10231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93 subdi 10668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9490, 91, 92, 93syl3an 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9594adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9657, 63, 89, 74, 95caofdi 7083 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))))
97 basel.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
9897, 76oveq12i 6807 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑓𝐽) = ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))
9996, 98syl6eqr 2823 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = (𝐾𝑓𝐽))
10035recni 10257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
1011eqimss2i 3809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
102101, 56climconst2 14486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103100, 2, 102sylancr 575 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104 ovexd 6828 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ∈ V)
105 ax-resscn 10198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
106 fss 6197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
10747, 105, 106sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108 fss 6197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
10955, 105, 108sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110 ofnegsub 11223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
11157, 107, 109, 110syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
112 neg1cn 11329 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
11354, 112basellem7 25033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
114111, 113syl6eqbrr 4827 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) ⇝ 1)
11539ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116115recnd 10273 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
11759ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118117recnd 10273 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
11939ffnd 6185 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120 fnconstg 6234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
1212, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
12255ffnd 6185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
123121, 122, 57, 57, 58offn 7058 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) Fn ℕ)
124 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
125 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘))
126119, 123, 57, 57, 58, 124, 125ofval 7056 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘)))
1271, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 126climmul 14570 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
128100mulid1i 10247 . . . . . . . . . . . 12 (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
129127, 128syl6breq 4828 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
13061, 129syl5eqbr 4822 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
131 ovexd 6828 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ∈ V)
132 3cn 11300 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
133101, 56climconst2 14486 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
134132, 2, 133sylancr 575 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
135 ovexd 6828 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
13654basellem6 25032 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 ⇝ 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
138 3ex 11301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ V
139138fconst 6232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
140 3re 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
142141snssd 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
143 fss 6197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
144139, 142, 143sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
145144ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
146145recnd 10273 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
14755ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
148147recnd 10273 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
149144ffnd 6185 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
150 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
151 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
152149, 122, 57, 57, 58, 150, 151ofval 7056 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
1531, 2, 134, 135, 137, 146, 148, 152climmul 14570 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
154132mul01i 10431 . . . . . . . . . . 11 (3 · 0) = 0
155153, 154syl6breq 4828 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
15663ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
157156recnd 10273 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
15827, 144, 55, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
159158ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
160159recnd 10273 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
16163ffnd 6185 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
16241, 89, 74, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
163162ffnd 6185 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ℕ)
164 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
165148mulid2d 10263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
166 2cn 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
167 mulneg1 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
168166, 148, 167sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
169168negeqd 10480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺𝑘)) = --(2 · (𝐺𝑘)))
170 mulcl 10225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
171166, 148, 170sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
172171negnegd 10588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺𝑘)) = (2 · (𝐺𝑘)))
173169, 172eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) = -(-2 · (𝐺𝑘)))
174165, 173oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))))
175 remulcl 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
17668, 147, 175sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
177176recnd 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
178148, 177negsubd 10603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
179174, 178eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
180 df-3 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
181 ax-1cn 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
182166, 181addcomi 10432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = (1 + 2)
183180, 182eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (1 + 2)
184183oveq1i 6805 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺𝑘))
185 1cnd 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
186166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
187185, 186, 148adddird 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
188184, 187syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
189185, 148, 177pnpcand 10634 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
190179, 188, 1893eqtr4rd 2816 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = (3 · (𝐺𝑘)))
191121, 122, 57, 57, 58offn 7058 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) Fn ℕ)
19212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℤ)
193 fnconstg 6234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
194192, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
195194, 122, 57, 57, 58offn 7058 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
196121, 195, 57, 57, 58offn 7058 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ)
19757, 44, 122, 151ofc1 7070 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺𝑘)))
19857, 69, 122, 151ofc1 7070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺𝑘)))
19957, 44, 195, 198ofc1 7070 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺𝑘))))
200191, 196, 57, 57, 58, 197, 199ofval 7056 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))))
20157, 141, 122, 151ofc1 7070 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺𝑘)))
202190, 200, 2013eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
203161, 163, 57, 57, 58, 164, 202ofval 7056 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
2041, 2, 130, 131, 155, 157, 160, 203climmul 14570 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
205100mul01i 10431 . . . . . . . . 9 (((π↑2) / 6) · 0) = 0
206204, 205syl6breq 4828 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ 0)
20799, 206eqbrtrrd 4811 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐾𝑓𝐽) ⇝ 0)
208 ovexd 6828 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) ∈ V)
20927, 63, 89, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
21097feq1i 6175 . . . . . . . . . 10 (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
211209, 210sylibr 224 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
21241, 211, 78, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐾𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ)
213212ffvelrnda 6504 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
21441, 23, 78, 57, 57, 58off 7062 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ)
215214ffvelrnda 6504 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
21623ffvelrnda 6504 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
217211ffvelrnda 6504 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
21878ffvelrnda 6504 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
219 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
22054, 21, 61, 76, 97, 219basellem8 25034 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
221220adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
222221simprd 483 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘))
223216, 217, 218, 222lesub1dd 10848 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ≤ ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
22423ffnd 6185 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
22578ffnd 6185 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
226 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
227 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (𝐽𝑘))
228224, 225, 57, 57, 58, 226, 227ofval 7056 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
229211ffnd 6185 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
230 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) = (𝐾𝑘))
231229, 225, 57, 57, 58, 230, 227ofval 7056 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
232223, 228, 2313brtr4d 4819 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘))
233221simpld 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
234216, 218subge0d 10822 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ↔ (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘)))
235233, 234mpbird 247 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
236235, 228breqtrrd 4815 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘))
2371, 2, 207, 208, 213, 215, 232, 236climsqz2 14579 . . . . . 6 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) ⇝ 0)
238 ovexd 6828 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ∈ V)
239 ovexd 6828 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ V)
24068recni 10257 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
24154, 240basellem7 25033 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
242241a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1)
24374ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
244243recnd 10273 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
245 eqidd 2772 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘))
246161, 196, 57, 57, 58, 164, 245ofval 7056 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘)))
2471, 2, 130, 239, 242, 157, 244, 246climmul 14570 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
248247, 128syl6breq 4828 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
24976, 248syl5eqbr 4822 . . . . . 6 (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
250215recnd 10273 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
251218recnd 10273 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
252214ffnd 6185 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) Fn ℕ)
253 eqidd 2772 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘))
254252, 225, 57, 57, 58, 253, 227ofval 7056 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) + (𝐽𝑘)))
2551, 2, 237, 238, 249, 250, 251, 254climadd 14569 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
25688, 255eqbrtrrd 4811 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
257100addid2i 10429 . . . 4 (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
258256, 21, 2573brtr3g 4820 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
2591, 2, 7, 19, 258isumclim 14695 . 2 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
260259trud 1641 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864   × cxp 5248   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6795  𝑓 cof 7045  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146  cle 10280  cmin 10471  -cneg 10472   / cdiv 10889  cn 11225  2c2 11275  3c3 11276  6c6 11279  cz 11583  cuz 11892  seqcseq 13007  cexp 13066  cli 14422  Σcsu 14623  πcpi 15002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-xnn0 11570  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-tan 15007  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850  df-ply 24163  df-idp 24164  df-coe 24165  df-dgr 24166  df-quot 24265
This theorem is referenced by:  basel  25036
  Copyright terms: Public domain W3C validator