MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem9 26348
Description: Lemma for basel 26349. Since by basellem8 26347 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 15454. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
Assertion
Ref Expression
basellem9 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12731 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12461 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 oveq1 7353 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4 eqid 2737 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5 ovex 7379 . . . . 5 (𝑘↑-2) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6940 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
76adantl 483 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8 nnre 12090 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9 nnne0 12117 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10 2z 12462 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
11 znegcl 12465 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
148, 9, 13reexpclzd 14074 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1514adantl 483 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1615, 4fmptd 7053 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
1716ffvelcdmda 7026 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
187, 17eqeltrrd 2839 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
1918recnd 11113 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
201, 2, 17serfre 13862 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21 basel.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
2221feq1i 6651 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
2320, 22sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2423ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2524recnd 11113 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
26 remulcl 11066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28 ovex 7379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π↑2) / 6) ∈ V
2928fconst 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30 pire 25725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ∈ ℝ
3130resqcli 14013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π↑2) ∈ ℝ
32 6re 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ∈ ℝ
33 6nn 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 ∈ ℕ
3433nnne0i 12123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ≠ 0
3531, 32, 34redivcli 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
3736snssd 4764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38 fss 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
3929, 37, 38sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40 resubcl 11395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
4140adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
42 1ex 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
4342fconst 6720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44 1red 11086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4544snssd 4764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46 fss 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
4743, 45, 46sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48 2nn 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50 nnmulcl 12107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5149, 50sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5251peano2nnd 12100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5352nnrecred 12134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
5553, 54fmptd 7053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56 nnex 12089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℕ ∈ V)
58 inidm 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
5941, 47, 55, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f𝐺):ℕ⟶ℝ)
6027, 39, 59, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
6261feq1i 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)):ℕ⟶ℝ)
6360, 62sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64 readdcl 11064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
6564adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66 negex 11329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -2 ∈ V
6766fconst 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
6812zrei 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -2 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℝ)
7069snssd 4764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71 fss 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7267, 70, 71sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7327, 72, 55, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
7465, 47, 73, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
7527, 63, 74, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76 basel.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
7776feq1i 6651 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
7875, 77sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
7978ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℝ)
8079recnd 11113 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℂ)
8125, 80npcand 11446 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛)) = (𝐹𝑛))
8281mpteq2dva 5200 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
83 ovexd 7381 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) ∈ V)
8423feqmptd 6902 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
8578feqmptd 6902 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽𝑛)))
8657, 24, 79, 84, 85offval2 7624 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹f𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛))))
8757, 83, 79, 86, 85offval2 7624 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))))
8882, 87, 843eqtr4d 2787 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽) = 𝐹)
8965, 47, 55, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90 recn 11071 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91 recn 11071 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92 recn 11071 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93 subdi 11518 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9490, 91, 92, 93syl3an 1160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9594adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9657, 63, 89, 74, 95caofdi 7643 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = ((𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))))
97 basel.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
9897, 76oveq12i 7358 . . . . . . . . 9 (𝐾f𝐽) = ((𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))
9996, 98eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = (𝐾f𝐽))
10035recni 11099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
1011eqimss2i 3998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
102101, 56climconst2 15361 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103100, 2, 102sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104 ovexd 7381 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)) ∈ V)
105 ax-resscn 11038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
106 fss 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
10747, 105, 106sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108 fss 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
10955, 105, 108sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110 ofnegsub 12081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
11156, 107, 109, 110mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
112 neg1cn 12197 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
11354, 112basellem7 26346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
114111, 113eqbrtrrdi 5140 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f𝐺) ⇝ 1)
11539ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116115recnd 11113 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
11759ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118117recnd 11113 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
11939ffnd 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120 fnconstg 6722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
1212, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
12255ffnd 6661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
123121, 122, 57, 57, 58offn 7617 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f𝐺) Fn ℕ)
124 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
125 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘))
126119, 123, 57, 57, 58, 124, 125ofval 7615 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘)))
1271, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 126climmul 15446 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
128100mulid1i 11089 . . . . . . . . . . . 12 (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
129127, 128breqtrdi 5141 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
13061, 129eqbrtrid 5135 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
131 ovexd 7381 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ∈ V)
132 3cn 12164 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
133101, 56climconst2 15361 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
134132, 2, 133sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
135 ovexd 7381 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
13654basellem6 26345 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 ⇝ 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
138 3ex 12165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ V
139138fconst 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
140 3re 12163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
142141snssd 4764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
143 fss 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
144139, 142, 143sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
145144ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
146145recnd 11113 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
14755ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
148147recnd 11113 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
149144ffnd 6661 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
150 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
151 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
152149, 122, 57, 57, 58, 150, 151ofval 7615 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
1531, 2, 134, 135, 137, 146, 148, 152climmul 15446 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
154132mul01i 11275 . . . . . . . . . . 11 (3 · 0) = 0
155153, 154breqtrdi 5141 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
15663ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
157156recnd 11113 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
15827, 144, 55, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
159158ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
160159recnd 11113 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
16163ffnd 6661 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
16241, 89, 74, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
163162ffnd 6661 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) Fn ℕ)
164 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
165148mulid2d 11103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
166 2cn 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
167 mulneg1 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
168166, 148, 167sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
169168negeqd 11325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺𝑘)) = --(2 · (𝐺𝑘)))
170 mulcl 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
171166, 148, 170sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
172171negnegd 11433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺𝑘)) = (2 · (𝐺𝑘)))
173169, 172eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) = -(-2 · (𝐺𝑘)))
174165, 173oveq12d 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))))
175 remulcl 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
17668, 147, 175sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
177176recnd 11113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
178148, 177negsubd 11448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
179174, 178eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
180 df-3 12147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
181 ax-1cn 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
182166, 181addcomi 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = (1 + 2)
183180, 182eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (1 + 2)
184183oveq1i 7356 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺𝑘))
185 1cnd 11080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
186166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
187185, 186, 148adddird 11110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
188184, 187eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
189185, 148, 177pnpcand 11479 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
190179, 188, 1893eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = (3 · (𝐺𝑘)))
191121, 122, 57, 57, 58offn 7617 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) Fn ℕ)
19212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℤ)
193 fnconstg 6722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
194192, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
195194, 122, 57, 57, 58offn 7617 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
196121, 195, 57, 57, 58offn 7617 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) Fn ℕ)
19757, 44, 122, 151ofc1 7630 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺𝑘)))
19857, 69, 122, 151ofc1 7630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺𝑘)))
19957, 44, 195, 198ofc1 7630 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺𝑘))))
200191, 196, 57, 57, 58, 197, 199ofval 7615 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))))
20157, 141, 122, 151ofc1 7630 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺𝑘)))
202190, 200, 2013eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
203161, 163, 57, 57, 58, 164, 202ofval 7615 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
2041, 2, 130, 131, 155, 157, 160, 203climmul 15446 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
205100mul01i 11275 . . . . . . . . 9 (((π↑2) / 6) · 0) = 0
206204, 205breqtrdi 5141 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ 0)
20799, 206eqbrtrrd 5124 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐾f𝐽) ⇝ 0)
208 ovexd 7381 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹f𝐽) ∈ V)
20927, 63, 89, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
21097feq1i 6651 . . . . . . . . . 10 (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
211209, 210sylibr 233 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
21241, 211, 78, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐾f𝐽):ℕ⟶ℝ)
213212ffvelcdmda 7026 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾f𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
21441, 23, 78, 57, 57, 58off 7622 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐹f𝐽):ℕ⟶ℝ)
215214ffvelcdmda 7026 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
21623ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
217211ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
21878ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
219 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
22054, 21, 61, 76, 97, 219basellem8 26347 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
221220adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
222221simprd 497 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘))
223216, 217, 218, 222lesub1dd 11701 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ≤ ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
22423ffnd 6661 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
22578ffnd 6661 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
226 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
227 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (𝐽𝑘))
228224, 225, 57, 57, 58, 226, 227ofval 7615 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
229211ffnd 6661 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
230 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) = (𝐾𝑘))
231229, 225, 57, 57, 58, 230, 227ofval 7615 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾f𝐽)‘𝑘) = ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
232223, 228, 2313brtr4d 5132 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾f𝐽)‘𝑘))
233221simpld 496 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
234216, 218subge0d 11675 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ↔ (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘)))
235233, 234mpbird 257 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
236235, 228breqtrrd 5128 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹f𝐽)‘𝑘))
2371, 2, 207, 208, 213, 215, 232, 236climsqz2 15455 . . . . . 6 (⊤ → (𝐹f𝐽) ⇝ 0)
238 ovexd 7381 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽) ∈ V)
239 ovexd 7381 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ∈ V)
24068recni 11099 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
24154, 240basellem7 26346 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
242241a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1)
24374ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
244243recnd 11113 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
245 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘))
246161, 196, 57, 57, 58, 164, 245ofval 7615 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘)))
2471, 2, 130, 239, 242, 157, 244, 246climmul 15446 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
248247, 128breqtrdi 5141 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
24976, 248eqbrtrid 5135 . . . . . 6 (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
250215recnd 11113 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
251218recnd 11113 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
252214ffnd 6661 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹f𝐽) Fn ℕ)
253 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) = ((𝐹f𝐽)‘𝑘))
254252, 225, 57, 57, 58, 253, 227ofval 7615 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹f𝐽)‘𝑘) + (𝐽𝑘)))
2551, 2, 237, 238, 249, 250, 251, 254climadd 15445 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
25688, 255eqbrtrrd 5124 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
257100addid2i 11273 . . . 4 (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
258256, 21, 2573brtr3g 5133 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
2591, 2, 7, 19, 258isumclim 15573 . 2 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
260259mptru 1548 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3905  {csn 4581   class class class wbr 5100  cmpt 5183   × cxp 5625   Fn wfn 6483  wf 6484  cfv 6488  (class class class)co 7346  f cof 7602  cc 10979  cr 10980  0cc0 10981  1c1 10982   + caddc 10984   · cmul 10986  cle 11120  cmin 11315  -cneg 11316   / cdiv 11742  cn 12083  2c2 12138  3c3 12139  6c6 12142  cz 12429  cuz 12692  seqcseq 13831  cexp 13892  cli 15297  Σcsu 15501  πcpi 15880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059  ax-addf 11060  ax-mulf 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7604  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-supp 8057  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-2o 8377  df-oadd 8380  df-er 8578  df-map 8697  df-pm 8698  df-ixp 8766  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-fsupp 9236  df-fi 9277  df-sup 9308  df-inf 9309  df-oi 9376  df-dju 9767  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-7 12151  df-8 12152  df-9 12153  df-n0 12344  df-xnn0 12416  df-z 12430  df-dec 12548  df-uz 12693  df-q 12799  df-rp 12841  df-xneg 12958  df-xadd 12959  df-xmul 12960  df-ioo 13193  df-ioc 13194  df-ico 13195  df-icc 13196  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-fl 13622  df-mod 13700  df-seq 13832  df-exp 13893  df-fac 14098  df-bc 14127  df-hash 14155  df-shft 14882  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-limsup 15284  df-clim 15301  df-rlim 15302  df-sum 15502  df-ef 15881  df-sin 15883  df-cos 15884  df-tan 15885  df-pi 15886  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-mulr 17078  df-starv 17079  df-sca 17080  df-vsca 17081  df-ip 17082  df-tset 17083  df-ple 17084  df-ds 17086  df-unif 17087  df-hom 17088  df-cco 17089  df-rest 17235  df-topn 17236  df-0g 17254  df-gsum 17255  df-topgen 17256  df-pt 17257  df-prds 17260  df-xrs 17315  df-qtop 17320  df-imas 17321  df-xps 17323  df-mre 17397  df-mrc 17398  df-acs 17400  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-submnd 18533  df-mulg 18802  df-cntz 19024  df-cmn 19488  df-psmet 20699  df-xmet 20700  df-met 20701  df-bl 20702  df-mopn 20703  df-fbas 20704  df-fg 20705  df-cnfld 20708  df-top 22153  df-topon 22170  df-topsp 22192  df-bases 22206  df-cld 22280  df-ntr 22281  df-cls 22282  df-nei 22359  df-lp 22397  df-perf 22398  df-cn 22488  df-cnp 22489  df-haus 22576  df-tx 22823  df-hmeo 23016  df-fil 23107  df-fm 23199  df-flim 23200  df-flf 23201  df-xms 23583  df-ms 23584  df-tms 23585  df-cncf 24151  df-0p 24944  df-limc 25140  df-dv 25141  df-ply 25459  df-idp 25460  df-coe 25461  df-dgr 25462  df-quot 25561
This theorem is referenced by:  basel  26349
  Copyright terms: Public domain W3C validator