Theorem basellem9 26143

Description: Lemma for basel 26144. Since by basellem8 26142 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 15278. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f	⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h	⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
basel.j	⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
basel.k	⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
basellem9	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12550	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12281	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5		ovex 7288	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑-2) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6857	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8		nnre 11910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nnne0 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10		2z 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		znegcl 12285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
14	8, 9, 13	reexpclzd 13892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
16	15, 4	fmptd 6970	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6943	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
18	7, 17	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10934	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
20	1, 2, 17	serfre 13680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21		basel.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
22	21	feq1i 6575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
23	20, 22	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
24	23	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
25	24	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
26		remulcl 10887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ V
29	28	fconst 6644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30		pire 25520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
31	30	resqcli 13831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π↑2) ∈ ℝ
32		6re 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ∈ ℝ
33		6nn 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 6 ∈ ℕ
34	33	nnne0i 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ≠ 0
35	31, 32, 34	redivcli 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
37	36	snssd 4739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38		fss 6601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
39	29, 37, 38	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40		resubcl 11215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
42		1ex 10902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
45	44	snssd 4739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46		fss 6601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
47	43, 45, 46	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48		2nn 11976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50		nnmulcl 11927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
51	49, 50	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
52	51	peano2nnd 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
53	52	nnrecred 11954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54		basel.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
55	53, 54	fmptd 6970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56		nnex 11909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
58		inidm 4149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
59	41, 47, 55, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺):ℕ⟶ℝ)
60	27, 39, 59, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61		basel.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
62	61	feq1i 6575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
63	60, 62	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64		readdcl 10885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66		negex 11149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -2 ∈ V
67	66	fconst 6644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
68	12	zrei 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -2 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℝ)
70	69	snssd 4739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71		fss 6601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
72	67, 70, 71	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
73	27, 72, 55, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
74	65, 47, 73, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
75	27, 63, 74, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76		basel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
77	76	feq1i 6575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
78	75, 77	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
79	78	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℝ)
80	79	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℂ)
81	25, 80	npcand 11266	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
82	81	mpteq2dva 5170	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
83		ovexd 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) ∈ V)
84	23	feqmptd 6819	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
85	78	feqmptd 6819	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽‘𝑛)))
86	57, 24, 79, 84, 85	offval2 7531	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛))))
87	57, 83, 79, 86, 85	offval2 7531	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))))
88	82, 87, 84	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) = 𝐹)
89	65, 47, 55, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90		recn 10892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91		recn 10892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92		recn 10892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93		subdi 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	90, 91, 92, 93	syl3an 1158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
96	57, 63, 89, 74, 95	caofdi 7550	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))))
97		basel.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
98	97, 76	oveq12i 7267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∘f − 𝐽) = ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))
99	96, 98	eqtr4di 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = (𝐾 ∘f − 𝐽))
100	35	recni 10920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
101	1	eqimss2i 3976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
102	101, 56	climconst2 15185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103	100, 2, 102	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104		ovexd 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ∈ V)
105		ax-resscn 10859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
106		fss 6601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
107	47, 105, 106	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108		fss 6601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
109	55, 105, 108	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110		ofnegsub 11901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
111	56, 107, 109, 110	mp3an2i 1464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
112		neg1cn 12017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
113	54, 112	basellem7 26141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
114	111, 113	eqbrtrrdi 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺) ⇝ 1)
115	39	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116	115	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
117	59	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118	117	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
119	39	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120		fnconstg 6646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
121	2, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
122	55	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
123	121, 122, 57, 57, 58	offn 7524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺) Fn ℕ)
124		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
125		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘))
126	119, 123, 57, 57, 58, 124, 125	ofval 7522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘)))
127	1, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 126	climmul 15270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
128	100	mulid1i 10910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
129	127, 128	breqtrdi 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
130	61, 129	eqbrtrid 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
131		ovexd 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ∈ V)
132		3cn 11984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
133	101, 56	climconst2 15185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
134	132, 2, 133	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
135		ovexd 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
136	54	basellem6 26140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
138		3ex 11985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ V
139	138	fconst 6644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
140		3re 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
142	141	snssd 4739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
143		fss 6601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
144	139, 142, 143	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
145	144	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
146	145	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
147	55	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
148	147	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
149	144	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
150		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
151		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
152	149, 122, 57, 57, 58, 150, 151	ofval 7522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
153	1, 2, 134, 135, 137, 146, 148, 152	climmul 15270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
154	132	mul01i 11095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 0) = 0
155	153, 154	breqtrdi 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
156	63	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
157	156	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
158	27, 144, 55, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
159	158	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
160	159	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
161	63	ffnd 6585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
162	41, 89, 74, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
163	162	ffnd 6585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) Fn ℕ)
164		eqidd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
165	148	mulid2d 10924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
166		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
167		mulneg1 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
168	166, 148, 167	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
169	168	negeqd 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺‘𝑘)) = --(2 · (𝐺‘𝑘)))
170		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
171	166, 148, 170	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
172	171	negnegd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺‘𝑘)) = (2 · (𝐺‘𝑘)))
173	169, 172	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) = -(-2 · (𝐺‘𝑘)))
174	165, 173	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))))
175		remulcl 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
176	68, 147, 175	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
177	176	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
178	148, 177	negsubd 11268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
179	174, 178	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
180		df-3 11967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
181		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
182	166, 181	addcomi 11096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
183	180, 182	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (1 + 2)
184	183	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘))
185		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
186	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
187	185, 186, 148	adddird 10931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
188	184, 187	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
189	185, 148, 177	pnpcand 11299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
190	179, 188, 189	3eqtr4rd 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
191	121, 122, 57, 57, 58	offn 7524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) Fn ℕ)
192	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℤ)
193		fnconstg 6646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
195	194, 122, 57, 57, 58	offn 7524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
196	121, 195, 57, 57, 58	offn 7524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) Fn ℕ)
197	57, 44, 122, 151	ofc1 7537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺‘𝑘)))
198	57, 69, 122, 151	ofc1 7537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺‘𝑘)))
199	57, 44, 195, 198	ofc1 7537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘))))
200	191, 196, 57, 57, 58, 197, 199	ofval 7522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))))
201	57, 141, 122, 151	ofc1 7537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
202	190, 200, 201	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
203	161, 163, 57, 57, 58, 164, 202	ofval 7522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
204	1, 2, 130, 131, 155, 157, 160, 203	climmul 15270	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
205	100	mul01i 11095	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π↑2) / 6) · 0) = 0
206	204, 205	breqtrdi 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ 0)
207	99, 206	eqbrtrrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘f − 𝐽) ⇝ 0)
208		ovexd 7290	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) ∈ V)
209	27, 63, 89, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
210	97	feq1i 6575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
211	209, 210	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
212	41, 211, 78, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘f − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
213	212	ffvelrnda 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
214	41, 23, 78, 57, 57, 58	off 7529	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
215	214	ffvelrnda 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
216	23	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
217	211	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) ∈ ℝ)
218	78	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
219		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
220	54, 21, 61, 76, 97, 219	basellem8 26142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
221	220	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
222	221	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘))
223	216, 217, 218, 222	lesub1dd 11521	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ≤ ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
224	23	ffnd 6585	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
225	78	ffnd 6585	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
226		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
227		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (𝐽‘𝑘))
228	224, 225, 57, 57, 58, 226, 227	ofval 7522	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
229	211	ffnd 6585	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
230		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) = (𝐾‘𝑘))
231	229, 225, 57, 57, 58, 230, 227	ofval 7522	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
232	223, 228, 231	3brtr4d 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
233	221	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
234	216, 218	subge0d 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ↔ (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
235	233, 234	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
236	235, 228	breqtrrd 5098	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
237	1, 2, 207, 208, 213, 215, 232, 236	climsqz2 15279	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) ⇝ 0)
238		ovexd 7290	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) ∈ V)
239		ovexd 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ∈ V)
240	68	recni 10920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -2 ∈ ℂ
241	54, 240	basellem7 26141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
242	241	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1)
243	74	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
244	243	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
245		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘))
246	161, 196, 57, 57, 58, 164, 245	ofval 7522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘)))
247	1, 2, 130, 239, 242, 157, 244, 246	climmul 15270	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
248	247, 128	breqtrdi 5111	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
249	76, 248	eqbrtrid 5105	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
250	215	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
251	218	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℂ)
252	214	ffnd 6585	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) Fn ℕ)
253		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
254	252, 225, 57, 57, 58, 253, 227	ofval 7522	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)))
255	1, 2, 237, 238, 249, 250, 251, 254	climadd 15269	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
256	88, 255	eqbrtrrd 5094	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
257	100	addid2i 11093	. . . 4 ⊢ (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
258	256, 21, 257	3brtr3g 5103	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
259	1, 2, 7, 19, 258	isumclim 15397	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
260	259	mptru 1546	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  6c6 11962  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  seqcseq 13649  ↑cexp 13710   ⇝ cli 15121  Σcsu 15325  πcpi 15704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-tan 15709  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-0p 24739  df-limc 24935  df-dv 24936  df-ply 25254  df-idp 25255  df-coe 25256  df-dgr 25257  df-quot 25356

This theorem is referenced by:  basel  26144