Theorem basellem9 25035

Description: Lemma for basel 25036. Since by basellem8 25034 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 14578. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f	⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h	⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))
basel.j	⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
basel.k	⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
basellem9	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11929	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11614	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 6802	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5		ovex 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑-2) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6426	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
7	6	adantl 467	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8		nnre 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nnne0 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10		2z 11615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		znegcl 11618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
14	8, 9, 13	reexpclzd 13240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
15	14	adantl 467	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
16	15, 4	fmptd 6529	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6504	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
18	7, 17	eqeltrrd 2851	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10273	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
20	1, 2, 17	serfre 13036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21		basel.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
22	21	feq1i 6175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
23	20, 22	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
24	23	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
25	24	recnd 10273	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
26		remulcl 10226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27	26	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28		ovex 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ V
29	28	fconst 6232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30		pire 24430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
31	30	resqcli 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π↑2) ∈ ℝ
32		6re 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ∈ ℝ
33		6nn 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 6 ∈ ℕ
34	33	nnne0i 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ≠ 0
35	31, 32, 34	redivcli 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
37	36	snssd 4476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38		fss 6197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
39	29, 37, 38	sylancr 575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40		resubcl 10550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
41	40	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
42		1ex 10240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44		1red 10260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
45	44	snssd 4476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46		fss 6197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
47	43, 45, 46	sylancr 575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48		2nn 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50		nnmulcl 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
51	49, 50	sylan 569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
52	51	peano2nnd 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
53	52	nnrecred 11271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54		basel.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
55	53, 54	fmptd 6529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56		nnex 11231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
58		inidm 3971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
59	41, 47, 55, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺):ℕ⟶ℝ)
60	27, 39, 59, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61		basel.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))
62	61	feq1i 6175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
63	60, 62	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64		readdcl 10224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
65	64	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66		negex 10484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -2 ∈ V
67	66	fconst 6232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
68	12	zrei 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -2 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℝ)
70	69	snssd 4476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71		fss 6197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
72	67, 70, 71	sylancr 575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
73	27, 72, 55, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
74	65, 47, 73, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
75	27, 63, 74, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76		basel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
77	76	feq1i 6175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
78	75, 77	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
79	78	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℝ)
80	79	recnd 10273	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℂ)
81	25, 80	npcand 10601	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
82	81	mpteq2dva 4879	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
83		ovexd 6828	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) ∈ V)
84	23	feqmptd 6393	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
85	78	feqmptd 6393	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽‘𝑛)))
86	57, 24, 79, 84, 85	offval2 7064	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛))))
87	57, 83, 79, 86, 85	offval2 7064	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))))
88	82, 87, 84	3eqtr4d 2815	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = 𝐹)
89	65, 47, 55, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90		recn 10231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91		recn 10231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92		recn 10231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93		subdi 10668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	90, 91, 92, 93	syl3an 1163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
95	94	adantl 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
96	57, 63, 89, 74, 95	caofdi 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = ((𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))))
97		basel.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
98	97, 76	oveq12i 6807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∘𝑓 − 𝐽) = ((𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))
99	96, 98	syl6eqr 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = (𝐾 ∘𝑓 − 𝐽))
100	35	recni 10257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
101	1	eqimss2i 3809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
102	101, 56	climconst2 14486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103	100, 2, 102	sylancr 575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104		ovexd 6828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)) ∈ V)
105		ax-resscn 10198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
106		fss 6197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
107	47, 105, 106	sylancl 574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108		fss 6197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
109	55, 105, 108	sylancl 574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110		ofnegsub 11223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))
111	57, 107, 109, 110	syl3anc 1476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))
112		neg1cn 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
113	54, 112	basellem7 25033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
114	111, 113	syl6eqbrr 4827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺) ⇝ 1)
115	39	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116	115	recnd 10273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
117	59	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118	117	recnd 10273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
119	39	ffnd 6185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120		fnconstg 6234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
121	2, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
122	55	ffnd 6185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
123	121, 122, 57, 57, 58	offn 7058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺) Fn ℕ)
124		eqidd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
125		eqidd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘))
126	119, 123, 57, 57, 58, 124, 125	ofval 7056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑘)))
127	1, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 126	climmul 14570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
128	100	mulid1i 10247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
129	127, 128	syl6breq 4828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 − 𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
130	61, 129	syl5eqbr 4822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
131		ovexd 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ∈ V)
132		3cn 11300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
133	101, 56	climconst2 14486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
134	132, 2, 133	sylancr 575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
135		ovexd 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
136	54	basellem6 25032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
138		3ex 11301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ V
139	138	fconst 6232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
140		3re 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
142	141	snssd 4476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
143		fss 6197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
144	139, 142, 143	sylancr 575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
145	144	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
146	145	recnd 10273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
147	55	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
148	147	recnd 10273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
149	144	ffnd 6185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
150		eqidd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
151		eqidd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
152	149, 122, 57, 57, 58, 150, 151	ofval 7056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
153	1, 2, 134, 135, 137, 146, 148, 152	climmul 14570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
154	132	mul01i 10431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 0) = 0
155	153, 154	syl6breq 4828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
156	63	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
157	156	recnd 10273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
158	27, 144, 55, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
159	158	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
160	159	recnd 10273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
161	63	ffnd 6185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
162	41, 89, 74, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
163	162	ffnd 6185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ℕ)
164		eqidd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
165	148	mulid2d 10263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
166		2cn 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
167		mulneg1 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
168	166, 148, 167	sylancr 575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
169	168	negeqd 10480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺‘𝑘)) = --(2 · (𝐺‘𝑘)))
170		mulcl 10225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
171	166, 148, 170	sylancr 575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
172	171	negnegd 10588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺‘𝑘)) = (2 · (𝐺‘𝑘)))
173	169, 172	eqtr2d 2806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) = -(-2 · (𝐺‘𝑘)))
174	165, 173	oveq12d 6813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))))
175		remulcl 10226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
176	68, 147, 175	sylancr 575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
177	176	recnd 10273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
178	148, 177	negsubd 10603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + -(-2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
179	174, 178	eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
180		df-3 11285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
181		ax-1cn 10199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
182	166, 181	addcomi 10432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
183	180, 182	eqtri 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (1 + 2)
184	183	oveq1i 6805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘))
185		1cnd 10261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
186	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
187	185, 186, 148	adddird 10270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
188	184, 187	syl5eq 2817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
189	185, 148, 177	pnpcand 10634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = ((𝐺‘𝑘) − (-2 · (𝐺‘𝑘))))
190	179, 188, 189	3eqtr4rd 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
191	121, 122, 57, 57, 58	offn 7058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) Fn ℕ)
192	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℤ)
193		fnconstg 6234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
195	194, 122, 57, 57, 58	offn 7058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
196	121, 195, 57, 57, 58	offn 7058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ)
197	57, 44, 122, 151	ofc1 7070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺‘𝑘)))
198	57, 69, 122, 151	ofc1 7070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺‘𝑘)))
199	57, 44, 195, 198	ofc1 7070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘))))
200	191, 196, 57, 57, 58, 197, 199	ofval 7056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺‘𝑘)))))
201	57, 141, 122, 151	ofc1 7070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
202	190, 200, 201	3eqtr4d 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
203	161, 163, 57, 57, 58, 164, 202	ofval 7056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
204	1, 2, 130, 131, 155, 157, 160, 203	climmul 14570	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
205	100	mul01i 10431	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π↑2) / 6) · 0) = 0
206	204, 205	syl6breq 4828	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ 0)
207	99, 206	eqbrtrrd 4811	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘𝑓 − 𝐽) ⇝ 0)
208		ovexd 6828	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∈ V)
209	27, 63, 89, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
210	97	feq1i 6175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
211	209, 210	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
212	41, 211, 78, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘𝑓 − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
213	212	ffvelrnda 6504	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
214	41, 23, 78, 57, 57, 58	off 7062	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
215	214	ffvelrnda 6504	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
216	23	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
217	211	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) ∈ ℝ)
218	78	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
219		eqid 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
220	54, 21, 61, 76, 97, 219	basellem8 25034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
221	220	adantl 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
222	221	simprd 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘))
223	216, 217, 218, 222	lesub1dd 10848	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ≤ ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
224	23	ffnd 6185	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
225	78	ffnd 6185	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
226		eqidd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
227		eqidd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (𝐽‘𝑘))
228	224, 225, 57, 57, 58, 226, 227	ofval 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
229	211	ffnd 6185	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
230		eqidd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) = (𝐾‘𝑘))
231	229, 225, 57, 57, 58, 230, 227	ofval 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
232	223, 228, 231	3brtr4d 4819	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘))
233	221	simpld 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
234	216, 218	subge0d 10822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ↔ (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
235	233, 234	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
236	235, 228	breqtrrd 4815	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘))
237	1, 2, 207, 208, 213, 215, 232, 236	climsqz2 14579	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ⇝ 0)
238		ovexd 6828	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ∈ V)
239		ovexd 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ V)
240	68	recni 10257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -2 ∈ ℂ
241	54, 240	basellem7 25033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
242	241	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1)
243	74	ffvelrnda 6504	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
244	243	recnd 10273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
245		eqidd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘))
246	161, 196, 57, 57, 58, 164, 245	ofval 7056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘)))
247	1, 2, 130, 239, 242, 157, 244, 246	climmul 14570	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
248	247, 128	syl6breq 4828	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
249	76, 248	syl5eqbr 4822	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
250	215	recnd 10273	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
251	218	recnd 10273	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℂ)
252	214	ffnd 6185	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) Fn ℕ)
253		eqidd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘))
254	252, 225, 57, 57, 58, 253, 227	ofval 7056	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽)‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)))
255	1, 2, 237, 238, 249, 250, 251, 254	climadd 14569	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
256	88, 255	eqbrtrrd 4811	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
257	100	addid2i 10429	. . . 4 ⊢ (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
258	256, 21, 257	3brtr3g 4820	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
259	1, 2, 7, 19, 258	isumclim 14695	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
260	259	trud 1641	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)

Syntax hints:   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631  ⊤wtru 1632   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  {csn 4317   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864   × cxp 5248   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6795   ∘_𝑓 cof 7045  ℂcc 10139  ℝcr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146   ≤ cle 10280   − cmin 10471  -cneg 10472   / cdiv 10889  ℕcn 11225  2c2 11275  3c3 11276  6c6 11279  ℤcz 11583  ℤ_≥cuz 11892  seqcseq 13007  ↑cexp 13066   ⇝ cli 14422  Σcsu 14623  πcpi 15002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-xnn0 11570  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-tan 15007  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850  df-ply 24163  df-idp 24164  df-coe 24165  df-dgr 24166  df-quot 24265

This theorem is referenced by:  basel  25036