Theorem basellem9 27421

Description: Lemma for basel 27422. Since by basellem8 27420 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 15813. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑ -2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑ -2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f	⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2)))
basel.h	⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
basel.j	⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))
basel.k	⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
basellem9	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑ -2) = ((π↑2) / 6)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13007	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12730	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑ -2) = (𝑘↑ -2))
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2))
5		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑ -2) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2))‘𝑘) = (𝑘↑ -2))
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2))‘𝑘) = (𝑘↑ -2))
8		nnre 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nnne0 12375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10		2z 12731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		znegcl 12734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
14	8, 9, 13	reexpclzd 14396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑ -2) ∈ ℝ)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑ -2) ∈ ℝ)
16	15, 4	fmptd 7114	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2)):ℕ⟶ℝ)
17	16	ffvelcdmda 7084	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2))‘𝑘) ∈ ℝ)
18	7, 17	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑ -2) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11340	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑ -2) ∈ ℂ)
20	1, 2, 17	serfre 14177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2))):ℕ⟶ℝ)
21		basel.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2)))
22	21	feq1i 6700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2))):ℕ⟶ℝ)
23	20, 22	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
24	23	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
26		remulcl 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ V
29	28	fconst 6768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30		pire 26788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ π ∈ ℝ
31	30	resqcli 14332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π↑2) ∈ ℝ
32		6re 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ∈ ℝ
33		6nn 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 6 ∈ ℕ
34	33	nnne0i 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ≠ 0
35	31, 32, 34	redivcli 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
37	36	snssd 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38		fss 6726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
39	29, 37, 38	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40		resubcl 11625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
42		1ex 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44		1red 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
45	44	snssd 4743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46		fss 6726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
47	43, 45, 46	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48		2nn 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50		nnmulcl 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
51	49, 50	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
52	51	peano2nnd 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
53	52	nnrecred 12392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54		basel.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
55	53, 54	fmptd 7114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56		nnex 12344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
58		inidm 4123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
59	41, 47, 55, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺):ℕ⟶ℝ)
60	27, 39, 59, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61		basel.h	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
62	61	feq1i 6700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
63	60, 62	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64		readdcl 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
65	64	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66		negex 11558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -2 ∈ V
67	66	fconst 6768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × { -2}):ℕ⟶{ -2}
68	12	zrei 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -2 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℝ)
70	69	snssd 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → { -2} ⊆ ℝ)
71		fss 6726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × { -2}):ℕ⟶{ -2} ∧ { -2} ⊆ ℝ) → (ℕ × { -2}):ℕ⟶ℝ)
72	67, 70, 71	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × { -2}):ℕ⟶ℝ)
73	27, 72, 55, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
74	65, 47, 73, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
75	27, 63, 74, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76		basel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))
77	76	feq1i 6700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
78	75, 77	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
79	78	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑛) ∈ ℂ)
81	25, 80	npcand 11676	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
82	81	mpteq2dva 5197	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
83		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) ∈ V)
84	23	feqmptd 6953	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
85	78	feqmptd 6953	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽‘𝑛)))
86	57, 24, 79, 84, 85	offval2 7713	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛))))
87	57, 83, 79, 86, 85	offval2 7713	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹‘𝑛) − (𝐽‘𝑛)) + (𝐽‘𝑛))))
88	82, 87, 84	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) = 𝐹)
89	65, 47, 55, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90		recn 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91		recn 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92		recn 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93		subdi 11752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	90, 91, 92, 93	syl3an 1178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
95	94	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
96	57, 63, 89, 74, 95	caofdi 7735	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))) = ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))))
97		basel.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
98	97, 76	oveq12i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∘f − 𝐽) = ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))))
99	96, 98	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))) = (𝐾 ∘f − 𝐽))
100	35	recni 11326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
101	1	eqimss2i 3969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
102	101, 56	climconst2 15720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103	100, 2, 102	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ∈ V)
105		ax-resscn 11260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
106		fss 6726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
107	47, 105, 106	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108		fss 6726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
109	55, 105, 108	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110		ofnegsub 12321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
111	56, 107, 109, 110	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))
112		neg1cn 12308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
113	54, 112	basellem7 27419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -1}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
114	111, 113	eqbrtrrdi 5144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺) ⇝ 1)
115	39	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116	115	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
117	59	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118	117	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
119	39	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120		fnconstg 6770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
121	2, 120	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
122	55	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
123	121, 122, 57, 57, 58	offn 7706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺) Fn ℕ)
124		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
125		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘))
126	119, 123, 57, 57, 58, 124, 125	ofval 7704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)‘𝑘)))
127	1, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 126	climmul 15805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
128	100	mulridi 11316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
129	127, 128	breqtrdi 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f − 𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
130	61, 129	eqbrtrid 5139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
131		ovexd 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))) ∈ V)
132		3cn 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
133	101, 56	climconst2 15720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
134	132, 2, 133	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
135		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
136	54	basellem6 27418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
138		3ex 12428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ V
139	138	fconst 6768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
140		3re 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
142	141	snssd 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
143		fss 6726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
144	139, 142, 143	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
145	144	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
146	145	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
147	55	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
148	147	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
149	144	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
150		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
151		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
152	149, 122, 57, 57, 58, 150, 151	ofval 7704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
153	1, 2, 134, 135, 137, 146, 148, 152	climmul 15805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
154	132	mul01i 11503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 0) = 0
155	153, 154	breqtrdi 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
156	63	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
157	156	recnd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
158	27, 144, 55, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
159	158	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
160	159	recnd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
161	63	ffnd 6710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
162	41, 89, 74, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
163	162	ffnd 6710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))) Fn ℕ)
164		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
165	148	mullidd 11330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
166		2cn 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
167		mulneg1 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → ( -2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
168	166, 148, 167	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -2 · (𝐺‘𝑘)) = -(2 · (𝐺‘𝑘)))
169	168	negeqd 11554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -( -2 · (𝐺‘𝑘)) = - -(2 · (𝐺‘𝑘)))
170		mulcl 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
171	166, 148, 170	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
172	171	negnegd 11663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → - -(2 · (𝐺‘𝑘)) = (2 · (𝐺‘𝑘)))
173	169, 172	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺‘𝑘)) = -( -2 · (𝐺‘𝑘)))
174	165, 173	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) + -( -2 · (𝐺‘𝑘))))
175		remulcl 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( -2 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → ( -2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
176	68, 147, 175	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
177	176	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -2 · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
178	148, 177	negsubd 11678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + -( -2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − ( -2 · (𝐺‘𝑘))))
179	174, 178	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))) = ((𝐺‘𝑘) − ( -2 · (𝐺‘𝑘))))
180		df-3 12409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
181		ax-1cn 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
182	166, 181	addcomi 11504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = (1 + 2)
183	180, 182	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (1 + 2)
184	183	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘))
185		1cnd 11305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
186	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
187	185, 186, 148	adddird 11337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
188	184, 187	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺‘𝑘)) = ((1 · (𝐺‘𝑘)) + (2 · (𝐺‘𝑘))))
189	185, 148, 177	pnpcand 11709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + ( -2 · (𝐺‘𝑘)))) = ((𝐺‘𝑘) − ( -2 · (𝐺‘𝑘))))
190	179, 188, 189	3eqtr4rd 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + ( -2 · (𝐺‘𝑘)))) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
191	121, 122, 57, 57, 58	offn 7706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) Fn ℕ)
192	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → -2 ∈ ℤ)
193		fnconstg 6770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -2 ∈ ℤ → (ℕ × { -2}) Fn ℕ)
194	192, 193	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℕ × { -2}) Fn ℕ)
195	194, 122, 57, 57, 58	offn 7706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
196	121, 195, 57, 57, 58	offn 7706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)) Fn ℕ)
197	57, 44, 122, 151	ofc1 7721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺‘𝑘)))
198	57, 69, 122, 151	ofc1 7721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = ( -2 · (𝐺‘𝑘)))
199	57, 44, 195, 198	ofc1 7721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (1 + ( -2 · (𝐺‘𝑘))))
200	191, 196, 57, 57, 58, 197, 199	ofval 7704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺‘𝑘)) − (1 + ( -2 · (𝐺‘𝑘)))))
201	57, 141, 122, 151	ofc1 7721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺‘𝑘)))
202	190, 200, 201	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
203	161, 163, 57, 57, 58, 164, 202	ofval 7704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
204	1, 2, 130, 131, 155, 157, 160, 203	climmul 15805	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
205	100	mul01i 11503	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π↑2) / 6) · 0) = 0
206	204, 205	breqtrdi 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ 0)
207	99, 206	eqbrtrrd 5128	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘f − 𝐽) ⇝ 0)
208		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) ∈ V)
209	27, 63, 89, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
210	97	feq1i 6700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
211	209, 210	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
212	41, 211, 78, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∘f − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
213	212	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
214	41, 23, 78, 57, 57, 58	off 7711	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽):ℕ⟶ℝ)
215	214	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
216	23	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
217	211	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) ∈ ℝ)
218	78	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
219		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
220	54, 21, 61, 76, 97, 219	basellem8 27420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
221	220	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘)))
222	221	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐾‘𝑘))
223	216, 217, 218, 222	lesub1dd 11935	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ≤ ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
224	23	ffnd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
225	78	ffnd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
226		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
227		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (𝐽‘𝑘))
228	224, 225, 57, 57, 58, 226, 227	ofval 7704	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
229	211	ffnd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
230		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑘) = (𝐾‘𝑘))
231	229, 225, 57, 57, 58, 230, 227	ofval 7704	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐾‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
232	223, 228, 231	3brtr4d 5136	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
233	221	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
234	216, 218	subge0d 11909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)) ↔ (𝐽‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘)))
235	233, 234	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘) − (𝐽‘𝑘)))
236	235, 228	breqtrrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
237	1, 2, 207, 208, 213, 215, 232, 236	climsqz2 15814	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) ⇝ 0)
238		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) ∈ V)
239		ovexd 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))) ∈ V)
240	68	recni 11326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -2 ∈ ℂ
241	54, 240	basellem7 27419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
242	241	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1)
243	74	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
244	243	recnd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
245		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘))
246	161, 196, 57, 57, 58, 164, 245	ofval 7704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘)))
247	1, 2, 130, 239, 242, 157, 244, 246	climmul 15805	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
248	247, 128	breqtrdi 5145	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐻 ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × { -2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
249	76, 248	eqbrtrid 5139	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
250	215	recnd 11340	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
251	218	recnd 11340	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℂ)
252	214	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐹 ∘f − 𝐽) Fn ℕ)
253		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) = ((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘))
254	252, 225, 57, 57, 58, 253, 227	ofval 7704	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹 ∘f − 𝐽)‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)))
255	1, 2, 237, 238, 249, 250, 251, 254	climadd 15804	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ∘f − 𝐽) ∘f + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
256	88, 255	eqbrtrrd 5128	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
257	100	addlidi 11501	. . . 4 ⊢ (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
258	256, 21, 257	3brtr3g 5137	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑ -2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
259	1, 2, 7, 19, 258	isumclim 15928	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑ -2) = ((π↑2) / 6))
260	259	mptru 1576	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑ -2) = ((π↑2) / 6)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   ≤ cle 11347   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  6c6 12404  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  seqcseq 14147  ↑cexp 14207   ⇝ cli 15656  Σcsu 15858  πcpi 16237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-tan 16242  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-0p 25996  df-limc 26191  df-dv 26192  df-ply 26511  df-idp 26512  df-coe 26513  df-dgr 26514  df-quot 26617

This theorem is used by:  basel  27422