MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem9 27117
Description: Lemma for basel 27118. Since by basellem8 27116 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 15643. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
Assertion
Ref Expression
basellem9 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12917 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12645 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 oveq1 7431 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4 eqid 2726 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5 ovex 7457 . . . . 5 (𝑘↑-2) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 7009 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
76adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8 nnre 12271 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9 nnne0 12298 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10 2z 12646 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
11 znegcl 12649 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
148, 9, 13reexpclzd 14266 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1615, 4fmptd 7128 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
1716ffvelcdmda 7098 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
187, 17eqeltrrd 2827 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
1918recnd 11292 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
201, 2, 17serfre 14051 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21 basel.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
2221feq1i 6719 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
2320, 22sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2423ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2524recnd 11292 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
26 remulcl 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2726adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28 ovex 7457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π↑2) / 6) ∈ V
2928fconst 6788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30 pire 26486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ∈ ℝ
3130resqcli 14204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π↑2) ∈ ℝ
32 6re 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ∈ ℝ
33 6nn 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 ∈ ℕ
3433nnne0i 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ≠ 0
3531, 32, 34redivcli 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
3736snssd 4818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38 fss 6744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
3929, 37, 38sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40 resubcl 11574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
4140adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
42 1ex 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
4342fconst 6788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4544snssd 4818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46 fss 6744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
4743, 45, 46sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50 nnmulcl 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5149, 50sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5251peano2nnd 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5352nnrecred 12315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
5553, 54fmptd 7128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56 nnex 12270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℕ ∈ V)
58 inidm 4220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
5941, 47, 55, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f𝐺):ℕ⟶ℝ)
6027, 39, 59, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
6261feq1i 6719 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)):ℕ⟶ℝ)
6360, 62sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64 readdcl 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
6564adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66 negex 11508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -2 ∈ V
6766fconst 6788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
6812zrei 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -2 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℝ)
7069snssd 4818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71 fss 6744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7267, 70, 71sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7327, 72, 55, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
7465, 47, 73, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
7527, 63, 74, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76 basel.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))
7776feq1i 6719 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
7875, 77sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
7978ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℝ)
8079recnd 11292 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℂ)
8125, 80npcand 11625 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛)) = (𝐹𝑛))
8281mpteq2dva 5253 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
83 ovexd 7459 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) ∈ V)
8423feqmptd 6971 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
8578feqmptd 6971 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽𝑛)))
8657, 24, 79, 84, 85offval2 7710 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹f𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛))))
8757, 83, 79, 86, 85offval2 7710 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))))
8882, 87, 843eqtr4d 2776 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽) = 𝐹)
8965, 47, 55, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90 recn 11248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91 recn 11248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92 recn 11248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93 subdi 11697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9490, 91, 92, 93syl3an 1157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9594adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9657, 63, 89, 74, 95caofdi 7730 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = ((𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))))
97 basel.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺))
9897, 76oveq12i 7436 . . . . . . . . 9 (𝐾f𝐽) = ((𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)) ∘f − (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))
9996, 98eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) = (𝐾f𝐽))
10035recni 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
1011eqimss2i 4041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
102101, 56climconst2 15550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103100, 2, 102sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104 ovexd 7459 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)) ∈ V)
105 ax-resscn 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
106 fss 6744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
10747, 105, 106sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108 fss 6744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
10955, 105, 108sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110 ofnegsub 12262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
11156, 107, 109, 110mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))
112 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
11354, 112basellem7 27115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
114111, 113eqbrtrrdi 5193 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f𝐺) ⇝ 1)
11539ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116115recnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
11759ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118117recnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
11939ffnd 6729 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
120 fnconstg 6790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
1212, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
12255ffnd 6729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
123121, 122, 57, 57, 58offn 7703 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f𝐺) Fn ℕ)
124 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
125 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘))
126119, 123, 57, 57, 58, 124, 125ofval 7701 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f𝐺)‘𝑘)))
1271, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 126climmul 15635 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
128100mulridi 11268 . . . . . . . . . . . 12 (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
129127, 128breqtrdi 5194 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘f · ((ℕ × {1}) ∘f𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
13061, 129eqbrtrid 5188 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
131 ovexd 7459 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ∈ V)
132 3cn 12345 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
133101, 56climconst2 15550 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
134132, 2, 133sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
135 ovexd 7459 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
13654basellem6 27114 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 ⇝ 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
138 3ex 12346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ V
139138fconst 6788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
140 3re 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
142141snssd 4818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
143 fss 6744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
144139, 142, 143sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
145144ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
146145recnd 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
14755ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
148147recnd 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
149144ffnd 6729 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
150 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
151 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
152149, 122, 57, 57, 58, 150, 151ofval 7701 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
1531, 2, 134, 135, 137, 146, 148, 152climmul 15635 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
154132mul01i 11454 . . . . . . . . . . 11 (3 · 0) = 0
155153, 154breqtrdi 5194 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
15663ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
157156recnd 11292 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
15827, 144, 55, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
159158ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
160159recnd 11292 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
16163ffnd 6729 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
16241, 89, 74, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
163162ffnd 6729 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) Fn ℕ)
164 eqidd 2727 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
165148mullidd 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
166 2cn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
167 mulneg1 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
168166, 148, 167sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
169168negeqd 11504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺𝑘)) = --(2 · (𝐺𝑘)))
170 mulcl 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
171166, 148, 170sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
172171negnegd 11612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺𝑘)) = (2 · (𝐺𝑘)))
173169, 172eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) = -(-2 · (𝐺𝑘)))
174165, 173oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))))
175 remulcl 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
17668, 147, 175sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
177176recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
178148, 177negsubd 11627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
179174, 178eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
180 df-3 12328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
181 ax-1cn 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
182166, 181addcomi 11455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = (1 + 2)
183180, 182eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (1 + 2)
184183oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺𝑘))
185 1cnd 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
186166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
187185, 186, 148adddird 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
188184, 187eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
189185, 148, 177pnpcand 11658 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
190179, 188, 1893eqtr4rd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = (3 · (𝐺𝑘)))
191121, 122, 57, 57, 58offn 7703 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) Fn ℕ)
19212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℤ)
193 fnconstg 6790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
194192, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
195194, 122, 57, 57, 58offn 7703 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
196121, 195, 57, 57, 58offn 7703 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) Fn ℕ)
19757, 44, 122, 151ofc1 7717 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺𝑘)))
19857, 69, 122, 151ofc1 7717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺𝑘)))
19957, 44, 195, 198ofc1 7717 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺𝑘))))
200191, 196, 57, 57, 58, 197, 199ofval 7701 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))))
20157, 141, 122, 151ofc1 7717 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺𝑘)))
202190, 200, 2013eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
203161, 163, 57, 57, 58, 164, 202ofval 7701 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
2041, 2, 130, 131, 155, 157, 160, 203climmul 15635 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
205100mul01i 11454 . . . . . . . . 9 (((π↑2) / 6) · 0) = 0
206204, 205breqtrdi 5194 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻f · (((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺) ∘f − ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))) ⇝ 0)
20799, 206eqbrtrrd 5177 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐾f𝐽) ⇝ 0)
208 ovexd 7459 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹f𝐽) ∈ V)
20927, 63, 89, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
21097feq1i 6719 . . . . . . . . . 10 (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
211209, 210sylibr 233 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
21241, 211, 78, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐾f𝐽):ℕ⟶ℝ)
213212ffvelcdmda 7098 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾f𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
21441, 23, 78, 57, 57, 58off 7708 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐹f𝐽):ℕ⟶ℝ)
215214ffvelcdmda 7098 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
21623ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
217211ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
21878ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
219 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
22054, 21, 61, 76, 97, 219basellem8 27116 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
221220adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
222221simprd 494 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘))
223216, 217, 218, 222lesub1dd 11880 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ≤ ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
22423ffnd 6729 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
22578ffnd 6729 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
226 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
227 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (𝐽𝑘))
228224, 225, 57, 57, 58, 226, 227ofval 7701 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
229211ffnd 6729 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
230 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) = (𝐾𝑘))
231229, 225, 57, 57, 58, 230, 227ofval 7701 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾f𝐽)‘𝑘) = ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
232223, 228, 2313brtr4d 5185 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾f𝐽)‘𝑘))
233221simpld 493 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
234216, 218subge0d 11854 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ↔ (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘)))
235233, 234mpbird 256 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
236235, 228breqtrrd 5181 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹f𝐽)‘𝑘))
2371, 2, 207, 208, 213, 215, 232, 236climsqz2 15644 . . . . . 6 (⊤ → (𝐹f𝐽) ⇝ 0)
238 ovexd 7459 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽) ∈ V)
239 ovexd 7459 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ∈ V)
24068recni 11278 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
24154, 240basellem7 27115 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
242241a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1)
24374ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
244243recnd 11292 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
245 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘))
246161, 196, 57, 57, 58, 164, 245ofval 7701 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))‘𝑘)))
2471, 2, 130, 239, 242, 157, 244, 246climmul 15635 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
248247, 128breqtrdi 5194 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻f · ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {-2}) ∘f · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
24976, 248eqbrtrid 5188 . . . . . 6 (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
250215recnd 11292 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
251218recnd 11292 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
252214ffnd 6729 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹f𝐽) Fn ℕ)
253 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹f𝐽)‘𝑘) = ((𝐹f𝐽)‘𝑘))
254252, 225, 57, 57, 58, 253, 227ofval 7701 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹f𝐽)‘𝑘) + (𝐽𝑘)))
2551, 2, 237, 238, 249, 250, 251, 254climadd 15634 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹f𝐽) ∘f + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
25688, 255eqbrtrrd 5177 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
257100addlidi 11452 . . . 4 (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
258256, 21, 2573brtr3g 5186 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
2591, 2, 7, 19, 258isumclim 15761 . 2 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
260259mptru 1541 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3947  {csn 4633   class class class wbr 5153  cmpt 5236   × cxp 5680   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  f cof 7688  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  cle 11299  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  6c6 12323  cz 12610  cuz 12874  seqcseq 14021  cexp 14081  cli 15486  Σcsu 15690  πcpi 16068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-tan 16073  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-0p 25690  df-limc 25886  df-dv 25887  df-ply 26215  df-idp 26216  df-coe 26217  df-dgr 26218  df-quot 26319
This theorem is referenced by:  basel  27118
  Copyright terms: Public domain W3C validator