Theorem matvscacell 20764

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvscacell.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvscacell.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
matvscacell.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matvscacell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matvscacell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusgcell.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		matvscacell.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		matvscacell.v	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		matvscacell.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑅)
6		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	matvsca2 20756	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
8	7	oveqd 6991	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽))
9	8	3ad2ant2 1115	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽))
10		df-ov 6977	. . 3 ⊢ (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩))
12		opelxpi 5440	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
13	12	3ad2ant3 1116	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
14	1, 2	matrcl 20740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
15	14	simpld 487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
16	15	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
17	16	3ad2ant2 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
18		xpfi 8582	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
19	17, 17, 18	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20		simp2l 1180	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
21	2	eleq2i 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	biimpi 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	3ad2ant2 1115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
25		simp1 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
26		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27	1, 26	matbas2 20749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
28	17, 25, 27	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
29	24, 28	eleqtrrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
30		elmapfn 8227	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
32		df-ov 6977	. . . . . 6 ⊢ (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
33	32	eqcomi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
35	19, 20, 31, 34	ofc1 7248	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
36	13, 35	mpdan 675	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
37	9, 11, 36	3eqtrd 2811	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  Vcvv 3408  {csn 4435  ⟨cop 4441   × cxp 5401   Fn wfn 6180  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   ∘_𝑓 cof 7223   ↑_𝑚 cmap 8204  Fincfn 8304  Basecbs 16337  ._rcmulr 16420   ·_𝑠 cvsca 16423  Ringcrg 19032   Mat cmat 20735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-ot 4444  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-sup 8699  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-hom 16443  df-cco 16444  df-0g 16569  df-prds 16575  df-pws 16577  df-sra 19678  df-rgmod 19679  df-dsmm 20593  df-frlm 20608  df-mat 20736

This theorem is referenced by:  dmatscmcl  20831  scmatscmide  20835  scmatscm  20841  mat2pmatlin  21062  monmatcollpw  21106  pmatcollpwlem  21107  chpmat1dlem  21162  chpdmatlem2  21166  chpdmatlem3  21167