MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvscacell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvscacell 21929
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
matplusgcell.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
matvscacell.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
matvscacell.v ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
matvscacell.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
matvscacell ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)๐ฝ) = (๐‘‹ ร— (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)))

Proof of Theorem matvscacell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 matplusgcell.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 matvscacell.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
4 matvscacell.v . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
5 matvscacell.t . . . . 5 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
6 eqid 2732 . . . . 5 (๐‘ ร— ๐‘) = (๐‘ ร— ๐‘)
71, 2, 3, 4, 5, 6matvsca2 21921 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))
87oveqd 7422 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)๐ฝ) = (๐ผ(((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)๐ฝ))
983ad2ant2 1134 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)๐ฝ) = (๐ผ(((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)๐ฝ))
10 df-ov 7408 . . 3 (๐ผ(((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)๐ฝ) = ((((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)โ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ)
1110a1i 11 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)๐ฝ) = ((((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)โ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ))
12 opelxpi 5712 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘) โ†’ โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
13123ad2ant3 1135 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
141, 2matrcl 21903 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1514simpld 495 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1615adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
17163ad2ant2 1134 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
18 xpfi 9313 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
1917, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
20 simp2l 1199 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
212eleq2i 2825 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2221biimpi 215 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2322adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
24233ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
25 simp1 1136 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
26 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
271, 26matbas2 21914 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
2817, 25, 27syl2anc 584 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
2924, 28eleqtrrd 2836 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
30 elmapfn 8855 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ Fn (๐‘ ร— ๐‘))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ Fn (๐‘ ร— ๐‘))
32 df-ov 7408 . . . . . 6 (๐ผ๐‘Œ๐ฝ) = (๐‘Œโ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ)
3332eqcomi 2741 . . . . 5 (๐‘Œโ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ) = (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)
3433a1i 11 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ (๐‘Œโ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ) = (๐ผ๐‘Œ๐ฝ))
3519, 20, 31, 34ofc1 7692 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ((((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)โ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ) = (๐‘‹ ร— (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)))
3613, 35mpdan 685 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)โ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ) = (๐‘‹ ร— (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)))
379, 11, 363eqtrd 2776 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)๐ฝ) = (๐‘‹ ร— (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4627  โŸจcop 4633   ร— cxp 5673   Fn wfn 6535  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7664   โ†‘m cmap 8816  Fincfn 8935  Basecbs 17140  .rcmulr 17194   ยท๐‘  cvsca 17197  Ringcrg 20049   Mat cmat 21898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-mat 21899
This theorem is referenced by:  dmatscmcl  21996  scmatscmide  22000  scmatscm  22006  mat2pmatlin  22228  monmatcollpw  22272  pmatcollpwlem  22273  chpmat1dlem  22328  chpdmatlem2  22332  chpdmatlem3  22333
  Copyright terms: Public domain W3C validator