Theorem matvscacell 22321

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvscacell.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvscacell.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
matvscacell.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matvscacell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matvscacell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusgcell.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		matvscacell.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		matvscacell.v	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		matvscacell.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	matvsca2 22313	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
8	7	oveqd 7366	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)𝐽))
9	8	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)𝐽))
10		df-ov 7352	. . 3 ⊢ (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩))
12		opelxpi 5656	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
13	12	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
14	1, 2	matrcl 22297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
15	14	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
17	16	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
18		xpfi 9209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
19	17, 17, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
21	2	eleq2i 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
25		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
26		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27	1, 26	matbas2 22306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
28	17, 25, 27	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
29	24, 28	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
30		elmapfn 8792	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
32		df-ov 7352	. . . . . 6 ⊢ (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
33	32	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
35	19, 20, 31, 34	ofc1 7641	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
36	13, 35	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
37	9, 11, 36	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  {csn 4577  ⟨cop 4583   × cxp 5617   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   ·_𝑠 cvsca 17165  Ringcrg 20118   Mat cmat 22292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-mat 22293

This theorem is referenced by:  dmatscmcl  22388  scmatscmide  22392  scmatscm  22398  mat2pmatlin  22620  monmatcollpw  22664  pmatcollpwlem  22665  chpmat1dlem  22720  chpdmatlem2  22724  chpdmatlem3  22725