MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvscacell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvscacell 22312
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
matplusgcell.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
matvscacell.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
matvscacell.v ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
matvscacell.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
matvscacell ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)๐ฝ) = (๐‘‹ ร— (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)))

Proof of Theorem matvscacell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 matplusgcell.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 matvscacell.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
4 matvscacell.v . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
5 matvscacell.t . . . . 5 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
6 eqid 2727 . . . . 5 (๐‘ ร— ๐‘) = (๐‘ ร— ๐‘)
71, 2, 3, 4, 5, 6matvsca2 22304 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))
87oveqd 7431 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)๐ฝ) = (๐ผ(((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)๐ฝ))
983ad2ant2 1132 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)๐ฝ) = (๐ผ(((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)๐ฝ))
10 df-ov 7417 . . 3 (๐ผ(((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)๐ฝ) = ((((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)โ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ)
1110a1i 11 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)๐ฝ) = ((((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)โ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ))
12 opelxpi 5709 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘) โ†’ โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
13123ad2ant3 1133 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
141, 2matrcl 22286 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1514simpld 494 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
17163ad2ant2 1132 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
18 xpfi 9331 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
1917, 17, 18syl2anc 583 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
20 simp2l 1197 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
212eleq2i 2820 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2221biimpi 215 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2322adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
24233ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
25 simp1 1134 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
26 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
271, 26matbas2 22297 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
2817, 25, 27syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
2924, 28eleqtrrd 2831 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
30 elmapfn 8873 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ Fn (๐‘ ร— ๐‘))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ Fn (๐‘ ร— ๐‘))
32 df-ov 7417 . . . . . 6 (๐ผ๐‘Œ๐ฝ) = (๐‘Œโ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ)
3332eqcomi 2736 . . . . 5 (๐‘Œโ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ) = (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)
3433a1i 11 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ (๐‘Œโ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ) = (๐ผ๐‘Œ๐ฝ))
3519, 20, 31, 34ofc1 7703 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ((((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)โ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ) = (๐‘‹ ร— (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)))
3613, 35mpdan 686 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)โ€˜โŸจ๐ผ, ๐ฝโŸฉ) = (๐‘‹ ร— (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)))
379, 11, 363eqtrd 2771 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)๐ฝ) = (๐‘‹ ร— (๐ผ๐‘Œ๐ฝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624  โŸจcop 4630   ร— cxp 5670   Fn wfn 6537  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆ˜f cof 7675   โ†‘m cmap 8834  Fincfn 8953  Basecbs 17165  .rcmulr 17219   ยท๐‘  cvsca 17222  Ringcrg 20157   Mat cmat 22281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-prds 17414  df-pws 17416  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-mat 22282
This theorem is referenced by:  dmatscmcl  22379  scmatscmide  22383  scmatscm  22389  mat2pmatlin  22611  monmatcollpw  22655  pmatcollpwlem  22656  chpmat1dlem  22711  chpdmatlem2  22715  chpdmatlem3  22716
  Copyright terms: Public domain W3C validator