MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscaval 21376
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
psrvsca.n โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
psrvsca.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
psrvsca.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
psrvsca.m ยท = (.rโ€˜๐‘…)
psrvsca.d ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
psrvsca.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
psrvsca.y (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
psrvscaval.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ท)
Assertion
Ref Expression
psrvscaval (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ™ ๐น)โ€˜๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท (๐นโ€˜๐‘Œ)))
Distinct variable group:   โ„Ž,๐ผ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(โ„Ž)   ๐ต(โ„Ž)   ๐ท(โ„Ž)   ๐‘…(โ„Ž)   ๐‘†(โ„Ž)   โˆ™ (โ„Ž)   ยท (โ„Ž)   ๐น(โ„Ž)   ๐พ(โ„Ž)   ๐‘‹(โ„Ž)   ๐‘Œ(โ„Ž)

Proof of Theorem psrvscaval
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . 4 ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
2 psrvsca.n . . . 4 โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
3 psrvsca.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
4 psrvsca.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
5 psrvsca.m . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 psrvsca.d . . . 4 ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
7 psrvsca.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
8 psrvsca.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psrvsca 21375 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ™ ๐น) = ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐น))
109fveq1d 6845 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ™ ๐น)โ€˜๐‘Œ) = (((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐น)โ€˜๐‘Œ))
11 psrvscaval.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ท)
12 ovex 7391 . . . . . 6 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
136, 12rabex2 5292 . . . . 5 ๐ท โˆˆ V
1413a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
151, 3, 6, 4, 8psrelbas 21363 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ทโŸถ๐พ)
1615ffnd 6670 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐ท)
17 eqidd 2734 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Œ) = (๐นโ€˜๐‘Œ))
1814, 7, 16, 17ofc1 7644 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท) โ†’ (((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐น)โ€˜๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท (๐นโ€˜๐‘Œ)))
1911, 18mpdan 686 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐น)โ€˜๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท (๐นโ€˜๐‘Œ)))
2010, 19eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ™ ๐น)โ€˜๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท (๐นโ€˜๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444  {csn 4587   ร— cxp 5632  โ—กccnv 5633   โ€œ cima 5637  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆ˜f cof 7616   โ†‘m cmap 8768  Fincfn 8886  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  Basecbs 17088  .rcmulr 17139   ยท๐‘  cvsca 17142   mPwSer cmps 21322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-tset 17157  df-psr 21327
This theorem is referenced by:  psrass23l  21393  psrass23  21395  mpllsslem  21422
  Copyright terms: Public domain W3C validator