Theorem psrvscaval 21982

Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrvsca.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
psrvsca.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psrvscaval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(ℎ)   ∙ (ℎ)   · (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑋(ℎ)   𝑌(ℎ)

Proof of Theorem psrvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvsca.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrvsca.n	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
3		psrvsca.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		psrvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrvsca.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		psrvsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrvsca.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		psrvsca.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	psrvsca 21981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
10	9	fveq1d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌))
11		psrvscaval.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
12		ovex 7425	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
13	6, 12	rabex2 5296	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
15	1, 3, 6, 4, 8	psrelbas 21967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
16	15	ffnd 6688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
17		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
18	14, 7, 16, 17	ofc1 7684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))
19	11, 18	mpdan 697	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))
20	10, 19	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐹)‘𝑌) = (𝑋 · (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453  {csn 4581   × cxp 5643  ^◡ccnv 5644   “ cima 5648  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∘_f cof 7654   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8923  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270   ·_𝑠 cvsca 17273   mPwSer cmps 21936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-tset 17288  df-psr 21941

This theorem is referenced by:  psrass23l  21998  psrass23  22000  mpllsslem  22031  psdvsca  22209