Theorem ofnegsub 11484

Description: Function analogue of negsub 10782. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofnegsub	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))

Proof of Theorem ofnegsub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simp2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	ffnd 6383	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		ax-1cn 10441	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	4	negcli 10802	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		fnconstg 6435	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (𝐴 × {-1}) Fn 𝐴)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 × {-1}) Fn 𝐴)
8		simp3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
9	8	ffnd 6383	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
10		inidm 4115	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11	7, 9, 1, 1, 10	offn 7278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn 𝐴)
12	3, 9, 1, 1, 10	offn 7278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) Fn 𝐴)
13		eqidd 2796	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
14	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → -1 ∈ ℂ)
15		eqidd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
16	1, 14, 9, 15	ofc1 7290	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = (-1 · (𝐺‘𝑥)))
17	8	ffvelrnda 6716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
18	17	mulm1d 10940	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-1 · (𝐺‘𝑥)) = -(𝐺‘𝑥))
19	16, 18	eqtrd 2831	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = -(𝐺‘𝑥))
20	2	ffvelrnda 6716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
21	20, 17	negsubd 10851	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
22	3, 9, 1, 1, 10, 13, 15	ofval 7276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
23	21, 22	eqtr4d 2834	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥))
24	1, 3, 11, 12, 13, 19, 23	offveq 7288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  {csn 4472   × cxp 5441   Fn wfn 6220  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ∘_𝑓 cof 7265  ℂcc 10381  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   − cmin 10717  -cneg 10718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526  df-sub 10719  df-neg 10720

This theorem is referenced by:  i1fsub  23992  itg1sub  23993  plysub  24492  coesub  24530  dgrsub  24545  basellem9  25348  expgrowth  40224