Theorem dihoml4c 42000

Description: Version of dihoml4 42001 with closed subspaces. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihoml4c.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihoml4c.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihoml4c.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dihoml4c.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihoml4c.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihoml4c.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
dihoml4c.l	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dihoml4c	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dihoml4c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
2		dihoml4c.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihoml4c.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihoml4c.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		inss1 4188	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)
6		dihoml4c.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
7		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
9	2, 7, 3, 8	dihrnss 41902	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10	4, 6, 9	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11		dihoml4c.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12	2, 7, 8, 11	dochssv 41979	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13	4, 10, 12	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
14	5, 13	sstrid 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
15	2, 3, 7, 8, 11	dochcl 41977	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∈ ran 𝐼)
16	4, 14, 15	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∈ ran 𝐼)
17		dihoml4c.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
18	1, 2, 3, 4, 16, 17	dihmeet2 41970	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)))
19		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
20	2, 3, 7, 8, 11	dochcl 41977	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
21	4, 10, 20	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
22	2, 3	dihmeetcl 41969	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
23	4, 21, 17, 22	syl12anc 847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
24	19, 2, 3, 11, 4, 23	dochvalr3 41987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌))) = (◡𝐼‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌))))
25	1, 2, 3, 4, 21, 17	dihmeet2 41970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘( ⊥ ‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)))
26	19, 2, 3, 11, 4, 6	dochvalr3 41987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘( ⊥ ‘𝑋)))
27	26	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)) = ((◡𝐼‘( ⊥ ‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)))
28	25, 27	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)))
29	28	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌))))
30	24, 29	eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌))))
31	30	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)))
32		dihoml4c.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑌)
33		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
34	33, 2, 3, 4, 6, 17	dihcnvord 41898	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
35	32, 34	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌))
36	4	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
37		hloml 39981	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OML)
39		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
40	39, 2, 3	dihcnvcl 41895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
41	4, 6, 40	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
42	39, 2, 3	dihcnvcl 41895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
43	4, 17, 42	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
44	39, 33, 1, 19	omllaw4 39870	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)) = (◡𝐼‘𝑋)))
45	38, 41, 43, 44	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)) = (◡𝐼‘𝑋)))
46	35, 45	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(◡𝐼‘𝑋))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)))(meet‘𝐾)(◡𝐼‘𝑌)) = (◡𝐼‘𝑋))
47	18, 31, 46	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌)) = (◡𝐼‘𝑋))
48	2, 3	dihmeetcl 41969	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
49	4, 16, 17, 48	syl12anc 847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
50	2, 3, 4, 49, 6	dihcnv11 41899	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌)) = (◡𝐼‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋))
51	47, 50	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5646  ran crn 5648  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  lecple 17293  occoc 17294  meetcmee 18344  OMLcoml 39799  HLchlt 39974  LHypclh 40608  DVecHcdvh 41702  DIsoHcdih 41852  ocHcoch 41971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-riotaBAD 39577

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-0g 17470  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-lsm 19676  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-drng 20781  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-lvec 21170  df-lsatoms 39600  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-llines 40122  df-lplanes 40123  df-lvols 40124  df-lines 40125  df-psubsp 40127  df-pmap 40128  df-padd 40420  df-lhyp 40612  df-laut 40613  df-ldil 40728  df-ltrn 40729  df-trl 40783  df-tendo 41379  df-edring 41381  df-disoa 41653  df-dvech 41703  df-dib 41763  df-dic 41797  df-dih 41853  df-doch 41972

This theorem is referenced by:  dihoml4  42001