Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihoml4c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihoml4c 39010
Description: Version of dihoml4 39011 with closed subspaces. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihoml4c.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihoml4c.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihoml4c.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dihoml4c.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihoml4c.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihoml4c.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
dihoml4c.l (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
dihoml4c (𝜑 → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dihoml4c
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
2 dihoml4c.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dihoml4c.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4 dihoml4c.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 inss1 4120 . . . . . 6 (( 𝑋) ∩ 𝑌) ⊆ ( 𝑋)
6 dihoml4c.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
7 eqid 2738 . . . . . . . . 9 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
92, 7, 3, 8dihrnss 38912 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
104, 6, 9syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11 dihoml4c.o . . . . . . . 8 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
122, 7, 8, 11dochssv 38989 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
134, 10, 12syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
145, 13sstrid 3889 . . . . 5 (𝜑 → (( 𝑋) ∩ 𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
152, 3, 7, 8, 11dochcl 38987 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( 𝑋) ∩ 𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∈ ran 𝐼)
164, 14, 15syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∈ ran 𝐼)
17 dihoml4c.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
181, 2, 3, 4, 16, 17dihmeet2 38980 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌)) = ((𝐼‘( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)))
19 eqid 2738 . . . . . 6 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
202, 3, 7, 8, 11dochcl 38987 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
214, 10, 20syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
222, 3dihmeetcl 38979 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( 𝑋) ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (( 𝑋) ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
234, 21, 17, 22syl12anc 836 . . . . . 6 (𝜑 → (( 𝑋) ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
2419, 2, 3, 11, 4, 23dochvalr3 38997 . . . . 5 (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(𝐼‘(( 𝑋) ∩ 𝑌))) = (𝐼‘( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌))))
251, 2, 3, 4, 21, 17dihmeet2 38980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = ((𝐼‘( 𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)))
2619, 2, 3, 11, 4, 6dochvalr3 38997 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘( 𝑋)))
2726oveq1d 7186 . . . . . . 7 (𝜑 → (((oc‘𝐾)‘(𝐼𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)) = ((𝐼‘( 𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)))
2825, 27eqtr4d 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝐼𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)))
2928fveq2d 6679 . . . . 5 (𝜑 → ((oc‘𝐾)‘(𝐼‘(( 𝑋) ∩ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝐼𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌))))
3024, 29eqtr3d 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝐼𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌))))
3130oveq1d 7186 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝐼𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)))
32 dihoml4c.l . . . . 5 (𝜑𝑋𝑌)
33 eqid 2738 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3433, 2, 3, 4, 6, 17dihcnvord 38908 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼𝑋)(le‘𝐾)(𝐼𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
3532, 34mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑋)(le‘𝐾)(𝐼𝑌))
364simpld 498 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
37 hloml 36991 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OML)
3836, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ OML)
39 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4039, 2, 3dihcnvcl 38905 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
414, 6, 40syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
4239, 2, 3dihcnvcl 38905 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
434, 17, 42syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
4439, 33, 1, 19omllaw4 36880 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼𝑋)(le‘𝐾)(𝐼𝑌) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝐼𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)) = (𝐼𝑋)))
4538, 41, 43, 44syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼𝑋)(le‘𝐾)(𝐼𝑌) → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝐼𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)) = (𝐼𝑋)))
4635, 45mpd 15 . . 3 (𝜑 → (((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘(𝐼𝑋))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)))(meet‘𝐾)(𝐼𝑌)) = (𝐼𝑋))
4718, 31, 463eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌)) = (𝐼𝑋))
482, 3dihmeetcl 38979 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
494, 16, 17, 48syl12anc 836 . . 3 (𝜑 → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
502, 3, 4, 49, 6dihcnv11 38909 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘(( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌)) = (𝐼𝑋) ↔ (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋))
5147, 50mpbid 235 1 (𝜑 → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  cin 3843  wss 3844   class class class wbr 5031  ccnv 5525  ran crn 5527  cfv 6340  (class class class)co 7171  Basecbs 16587  lecple 16676  occoc 16677  meetcmee 17672  OMLcoml 36809  HLchlt 36984  LHypclh 37618  DVecHcdvh 38712  DIsoHcdih 38862  ocHcoch 38981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-riotaBAD 36587
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-tpos 7922  df-undef 7969  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-fz 12983  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-0g 16819  df-proset 17655  df-poset 17673  df-plt 17685  df-lub 17701  df-glb 17702  df-join 17703  df-meet 17704  df-p0 17766  df-p1 17767  df-lat 17773  df-clat 17835  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-submnd 18074  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-sbg 18225  df-subg 18395  df-cntz 18566  df-lsm 18880  df-cmn 19027  df-abl 19028  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-oppr 19496  df-dvdsr 19514  df-unit 19515  df-invr 19545  df-dvr 19556  df-drng 19624  df-lmod 19756  df-lss 19824  df-lsp 19864  df-lvec 19995  df-lsatoms 36610  df-oposet 36810  df-ol 36812  df-oml 36813  df-covers 36900  df-ats 36901  df-atl 36932  df-cvlat 36956  df-hlat 36985  df-llines 37132  df-lplanes 37133  df-lvols 37134  df-lines 37135  df-psubsp 37137  df-pmap 37138  df-padd 37430  df-lhyp 37622  df-laut 37623  df-ldil 37738  df-ltrn 37739  df-trl 37793  df-tendo 38389  df-edring 38391  df-disoa 38663  df-dvech 38713  df-dib 38773  df-dic 38807  df-dih 38863  df-doch 38982
This theorem is referenced by:  dihoml4  39011
  Copyright terms: Public domain W3C validator