Theorem elicc2i 13453

Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicc2i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elicc2i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
elicc2i	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem elicc2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2i.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elicc2i.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		elicc2 13452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   ≤ cle 11296  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-icc 13394

This theorem is referenced by:  elicc01  13506  sinbnd2  16218  cosbnd2  16219  iihalf1  24958  iihalf2  24961  elii1  24964  elii2  24965  xrhmeo  24977  oprpiece1res2  24983  pco0  25047  pcoval2  25049  pcoass  25057  vitalilem2  25644  vitali  25648  coseq00topi  26544  coseq0negpitopi  26545  sinq12ge0  26550  cosq14ge0  26553  cosordlem  26572  cosord  26573  cos11  26575  sinord  26576  recosf1o  26577  resinf1o  26578  efif1olem3  26586  argregt0  26652  argrege0  26653  argimgt0  26654  logimul  26656  cxpsqrtlem  26744  acosbnd  26943  log2ub  26992  emcllem7  27045  emgt0  27050  harmonicbnd3  27051  harmoniclbnd  27052  harmonicubnd  27053  harmonicbnd4  27054  logdivbnd  27600  pntpbnd2  27631  sin2h  37617  cos2h  37618  asin1half  42387  lhe4.4ex1a  44348  fourierdlem40  46162  fourierdlem62  46183  fourierdlem78  46199  fourierdlem111  46232  sqwvfoura  46243  sqwvfourb  46244