MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc2i 13339
Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elicc2i.1 𝐴 ∈ ℝ
elicc2i.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
elicc2i (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))

Proof of Theorem elicc2i
StepHypRef Expression
1 elicc2i.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 elicc2i.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 elicc2 13338 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
41, 2, 3mp2an 691 1 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cr 11058  cle 11198  [,]cicc 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-icc 13280
This theorem is referenced by:  elicc01  13392  sinbnd2  16072  cosbnd2  16073  iihalf1  24317  iihalf2  24319  elii1  24321  elii2  24322  xrhmeo  24332  oprpiece1res2  24338  pco0  24400  pcoval2  24402  pcoass  24410  vitalilem2  24996  vitali  25000  coseq00topi  25882  coseq0negpitopi  25883  sinq12ge0  25888  cosq14ge0  25891  cosordlem  25909  cosord  25910  cos11  25912  sinord  25913  recosf1o  25914  resinf1o  25915  efif1olem3  25923  argregt0  25988  argrege0  25989  argimgt0  25990  logimul  25992  cxpsqrtlem  26080  acosbnd  26273  log2ub  26322  emcllem7  26374  emgt0  26379  harmonicbnd3  26380  harmoniclbnd  26381  harmonicubnd  26382  harmonicbnd4  26383  logdivbnd  26927  pntpbnd2  26958  sin2h  36118  cos2h  36119  lhe4.4ex1a  42701  fourierdlem40  44478  fourierdlem62  44499  fourierdlem78  44515  fourierdlem111  44548  sqwvfoura  44559  sqwvfourb  44560
  Copyright terms: Public domain W3C validator