Theorem elicc2i 13359

Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicc2i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elicc2i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
elicc2i	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem elicc2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2i.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elicc2i.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		elicc2 13358	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031   ≤ cle 11174  [,]cicc 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-icc 13299

This theorem is referenced by:  elicc01  13413  sinbnd2  16143  cosbnd2  16144  iihalf1  24911  iihalf2  24913  elii1  24915  elii2  24916  xrhmeo  24926  oprpiece1res2  24932  pco0  24994  pcoval2  24996  pcoass  25004  vitalilem2  25589  vitali  25593  coseq00topi  26482  coseq0negpitopi  26483  sinq12ge0  26488  cosq14ge0  26491  cosordlem  26510  cosord  26511  cos11  26513  sinord  26514  recosf1o  26515  resinf1o  26516  efif1olem3  26524  argregt0  26590  argrege0  26591  argimgt0  26592  logimul  26594  cxpsqrtlem  26682  acosbnd  26880  log2ub  26929  emcllem7  26982  emgt0  26987  harmonicbnd3  26988  harmoniclbnd  26989  harmonicubnd  26990  harmonicbnd4  26991  logdivbnd  27536  pntpbnd2  27567  sin2h  37948  cos2h  37949  asin1half  42806  lhe4.4ex1a  44777  fourierdlem40  46596  fourierdlem62  46617  fourierdlem78  46633  fourierdlem111  46666  sqwvfoura  46677  sqwvfourb  46678