MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1elwf 9690
Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1elwf (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elwf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9660 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 486 . . . . 5 Lim dom 𝑅1
3 limord 6375 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordsson 7709 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
6 elfvdm 6876 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
75, 6sselid 3940 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ On)
8 r1tr 9670 . . . . . 6 Tr (𝑅1𝐵)
9 trss 5231 . . . . . 6 (Tr (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
11 elpwg 4561 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
1210, 11mpbird 256 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵))
13 r1sucg 9663 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
146, 13syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
1512, 14eleqtrrd 2841 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))
16 suceq 6381 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
1716fveq2d 6843 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1‘suc 𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐵))
1817eleq2d 2823 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
1918rspcev 3579 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
207, 15, 19syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
21 rankwflemb 9687 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
2220, 21sylibr 233 1 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  wss 3908  𝒫 cpw 4558   cuni 4863  Tr wtr 5220  dom cdm 5631  cima 5634  Ord word 6314  Oncon0 6315  Lim wlim 6316  suc csuc 6317  Fun wfun 6487  cfv 6493  𝑅1cr1 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-r1 9658
This theorem is referenced by:  rankr1ai  9692  pwwf  9701  sswf  9702  unwf  9704  uniwf  9713  rankonidlem  9722  r1pw  9739  r1pwcl  9741  rankr1id  9756  tcrank  9778  dfac12lem2  10038  r1limwun  10630  r1wunlim  10631  inatsk  10672
  Copyright terms: Public domain W3C validator