Theorem r1elwf 9741

Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1elwf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elwf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9711	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 486	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6382	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordsson 7722	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ On
6		elfvdm 6884	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7	5, 6	sselid 3945	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
8		r1tr 9721	. . . . . 6 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐵)
9		trss 5238	. . . . . 6 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
11		elpwg 4568	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
12	10, 11	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
13		r1sucg 9714	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
15	12, 14	eleqtrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))
16		suceq 6388	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
17	16	fveq2d 6851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1‘suc 𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐵))
18	17	eleq2d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
19	18	rspcev 3582	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
20	7, 15, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
21		rankwflemb 9738	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
22	20, 21	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4565  ∪ cuni 4870  Tr wtr 5227  dom cdm 5638   “ cima 5641  Ord word 6321  Oncon0 6322  Lim wlim 6323  suc csuc 6324  Fun wfun 6495  ‘cfv 6501  𝑅₁cr1 9707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-r1 9709

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9743  pwwf  9752  sswf  9753  unwf  9755  uniwf  9764  rankonidlem  9773  r1pw  9790  r1pwcl  9792  rankr1id  9807  tcrank  9829  dfac12lem2  10089  r1limwun  10681  r1wunlim  10682  inatsk  10723