Theorem r1elwf 9782

Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1elwf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elwf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9752	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 491	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6423	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordsson 7786	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ On
6		elfvdm 6916	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7	5, 6	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
8		r1tr 9762	. . . . . 6 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐵)
9		trss 5226	. . . . . 6 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
11		elpwg 4563	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
12	10, 11	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
13		r1sucg 9755	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
14	6, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
15	12, 14	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))
16		suceq 6430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
17	16	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1‘suc 𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐵))
18	17	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
19	18	rspcev 3579	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
20	7, 15, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
21		rankwflemb 9779	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
22	20, 21	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  Tr wtr 5216  dom cdm 5659   “ cima 5662  Ord word 6360  Oncon0 6361  Lim wlim 6362  suc csuc 6363  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-r1 9750

This theorem is used by:  rankr1ai  9784  pwwf  9793  sswf  9794  unwf  9796  uniwf  9805  rankonidlem  9814  r1pw  9831  r1pwcl  9833  rankr1id  9848  tcrank  9870  dfac12lem2  10151  r1limwun  10749  r1wunlim  10750  inatsk  10791  r1wf  35611  r1elcl  35613  ttcwf  37151