Theorem r1elwf 9767

Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1elwf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elwf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9737	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 490	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6423	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordsson 7781	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ On
6		elfvdm 6916	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7	5, 6	sselid 3943	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
8		r1tr 9747	. . . . . 6 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐵)
9		trss 5232	. . . . . 6 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
11		elpwg 4570	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
12	10, 11	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
13		r1sucg 9740	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
14	6, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
15	12, 14	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))
16		suceq 6430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
17	16	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1‘suc 𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐵))
18	17	eleq2d 2855	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
19	18	rspcev 3590	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
20	7, 15, 19	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
21		rankwflemb 9764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
22	20, 21	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  ∪ cuni 4876  Tr wtr 5222  dom cdm 5662   “ cima 5665  Ord word 6360  Oncon0 6361  Lim wlim 6362  suc csuc 6363  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-r1 9735

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9769  pwwf  9778  sswf  9779  unwf  9781  uniwf  9790  rankonidlem  9799  r1pw  9816  r1pwcl  9818  rankr1id  9833  tcrank  9855  dfac12lem2  10127  r1limwun  10720  r1wunlim  10721  inatsk  10762  r1wf  35431  r1elcl  35433  ttcwf  36923