Theorem r1elwf 9793

Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1elwf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elwf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9763	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 484	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6423	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordsson 7772	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ On
6		elfvdm 6927	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7	5, 6	sselid 3979	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
8		r1tr 9773	. . . . . 6 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐵)
9		trss 5275	. . . . . 6 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
11		elpwg 4604	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
12	10, 11	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
13		r1sucg 9766	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
15	12, 14	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))
16		suceq 6429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
17	16	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1‘suc 𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐵))
18	17	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
19	18	rspcev 3611	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
20	7, 15, 19	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
21		rankwflemb 9790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
22	20, 21	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601  ∪ cuni 4907  Tr wtr 5264  dom cdm 5675   “ cima 5678  Ord word 6362  Oncon0 6363  Lim wlim 6364  suc csuc 6365  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542  𝑅₁cr1 9759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-r1 9761

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9795  pwwf  9804  sswf  9805  unwf  9807  uniwf  9816  rankonidlem  9825  r1pw  9842  r1pwcl  9844  rankr1id  9859  tcrank  9881  dfac12lem2  10141  r1limwun  10733  r1wunlim  10734  inatsk  10775