Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1elwf 9251
 Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1elwf (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elwf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9221 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 490 . . . . 5 Lim dom 𝑅1
3 limord 6229 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordsson 7504 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
6 elfvdm 6691 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
75, 6sseldi 3891 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ On)
8 r1tr 9231 . . . . . 6 Tr (𝑅1𝐵)
9 trss 5148 . . . . . 6 (Tr (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
11 elpwg 4498 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
1210, 11mpbird 260 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵))
13 r1sucg 9224 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
146, 13syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
1512, 14eleqtrrd 2856 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))
16 suceq 6235 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
1716fveq2d 6663 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1‘suc 𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐵))
1817eleq2d 2838 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
1918rspcev 3542 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
207, 15, 19syl2anc 588 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
21 rankwflemb 9248 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
2220, 21sylibr 237 1 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072   ⊆ wss 3859  𝒫 cpw 4495  ∪ cuni 4799  Tr wtr 5139  dom cdm 5525   “ cima 5528  Ord word 6169  Oncon0 6170  Lim wlim 6171  suc csuc 6172  Fun wfun 6330  ‘cfv 6336  𝑅1cr1 9217 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-om 7581  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-r1 9219 This theorem is referenced by:  rankr1ai  9253  pwwf  9262  sswf  9263  unwf  9265  uniwf  9274  rankonidlem  9283  r1pw  9300  r1pwcl  9302  rankr1id  9317  tcrank  9339  dfac12lem2  9597  r1limwun  10189  r1wunlim  10190  inatsk  10231
 Copyright terms: Public domain W3C validator