MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1elwf 9834
Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1elwf (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elwf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9804 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 485 . . . . 5 Lim dom 𝑅1
3 limord 6446 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordsson 7802 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
6 elfvdm 6944 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
75, 6sselid 3993 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ On)
8 r1tr 9814 . . . . . 6 Tr (𝑅1𝐵)
9 trss 5276 . . . . . 6 (Tr (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
11 elpwg 4608 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
1210, 11mpbird 257 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵))
13 r1sucg 9807 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
146, 13syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
1512, 14eleqtrrd 2842 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))
16 suceq 6452 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
1716fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1‘suc 𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐵))
1817eleq2d 2825 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
1918rspcev 3622 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
207, 15, 19syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
21 rankwflemb 9831 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
2220, 21sylibr 234 1 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  Tr wtr 5265  dom cdm 5689  cima 5692  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  suc csuc 6388  Fun wfun 6557  cfv 6563  𝑅1cr1 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9802
This theorem is referenced by:  rankr1ai  9836  pwwf  9845  sswf  9846  unwf  9848  uniwf  9857  rankonidlem  9866  r1pw  9883  r1pwcl  9885  rankr1id  9900  tcrank  9922  dfac12lem2  10183  r1limwun  10774  r1wunlim  10775  inatsk  10816
  Copyright terms: Public domain W3C validator