Theorem oiid 9157

Description: The order type of an ordinal under the ∈ order is itself, and the order isomorphism is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oiid	⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem oiid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordwe 6226	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
2		epse 5534	. . 3 ⊢ E Se 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Se 𝐴)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( E , 𝐴) = OrdIso( E , 𝐴)
5	4	oiiso2 9147	. . . . 5 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴) → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
6	1, 2, 5	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
7		ordsson 7567	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
8	4	oismo 9156	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
10		isoeq5 7130	. . . . 5 ⊢ (ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
11	9, 10	simpl2im 507	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
12	6, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴))
13	4	oicl 9145	. . . . . 6 ⊢ Ord dom OrdIso( E , 𝐴)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord dom OrdIso( E , 𝐴))
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord 𝐴)
16		ordiso2 9131	. . . . 5 ⊢ ((OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ∧ Ord dom OrdIso( E , 𝐴) ∧ Ord 𝐴) → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
17	12, 14, 15, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
18		isoeq4 7129	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
20	12, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴))
21		weniso 7163	. 2 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴 ∧ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)) → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
22	1, 3, 20, 21	syl3anc 1373	1 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ⊆ wss 3866   I cid 5454   E cep 5459   Se wse 5507   We wwe 5508  dom cdm 5551  ran crn 5552   ↾ cres 5553  Ord word 6212  Oncon0 6213   Isom wiso 6381  Smo wsmo 8082  OrdIsocoi 9125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-wrecs 8047  df-smo 8083  df-recs 8108  df-oi 9126

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  10044