Theorem oiid 9610

Description: The order type of an ordinal under the ∈ order is itself, and the order isomorphism is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oiid	⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem oiid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordwe 6408	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
2		epse 5682	. . 3 ⊢ E Se 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Se 𝐴)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( E , 𝐴) = OrdIso( E , 𝐴)
5	4	oiiso2 9600	. . . . 5 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴) → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
6	1, 2, 5	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
7		ordsson 7818	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
8	4	oismo 9609	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
10		isoeq5 7357	. . . . 5 ⊢ (ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
11	9, 10	simpl2im 503	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
12	6, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴))
13	4	oicl 9598	. . . . . 6 ⊢ Ord dom OrdIso( E , 𝐴)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord dom OrdIso( E , 𝐴))
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord 𝐴)
16		ordiso2 9584	. . . . 5 ⊢ ((OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ∧ Ord dom OrdIso( E , 𝐴) ∧ Ord 𝐴) → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
17	12, 14, 15, 16	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
18		isoeq4 7356	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
20	12, 19	mpbid 232	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴))
21		weniso 7390	. 2 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴 ∧ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)) → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
22	1, 3, 20, 21	syl3anc 1371	1 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ⊆ wss 3976   I cid 5592   E cep 5598   Se wse 5650   We wwe 5651  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702  Ord word 6394  Oncon0 6395   Isom wiso 6574  Smo wsmo 8401  OrdIsocoi 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-smo 8402  df-recs 8427  df-oi 9579

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  10499