MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiid 9532
Description: The order type of an ordinal under the order is itself, and the order isomorphism is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
oiid (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem oiid
StepHypRef Expression
1 ordwe 6374 . 2 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
2 epse 5658 . . 3 E Se 𝐴
32a1i 11 . 2 (Ord 𝐴 → E Se 𝐴)
4 eqid 2732 . . . . . 6 OrdIso( E , 𝐴) = OrdIso( E , 𝐴)
54oiiso2 9522 . . . . 5 (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴) → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
61, 2, 5sylancl 586 . . . 4 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
7 ordsson 7766 . . . . . 6 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
84oismo 9531 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ On → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
97, 8syl 17 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
10 isoeq5 7314 . . . . 5 (ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
119, 10simpl2im 504 . . . 4 (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
126, 11mpbid 231 . . 3 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴))
134oicl 9520 . . . . . 6 Ord dom OrdIso( E , 𝐴)
1413a1i 11 . . . . 5 (Ord 𝐴 → Ord dom OrdIso( E , 𝐴))
15 id 22 . . . . 5 (Ord 𝐴 → Ord 𝐴)
16 ordiso2 9506 . . . . 5 ((OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ∧ Ord dom OrdIso( E , 𝐴) ∧ Ord 𝐴) → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
1712, 14, 15, 16syl3anc 1371 . . . 4 (Ord 𝐴 → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
18 isoeq4 7313 . . . 4 (dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
1917, 18syl 17 . . 3 (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
2012, 19mpbid 231 . 2 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴))
21 weniso 7347 . 2 (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴 ∧ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)) → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
221, 3, 20, 21syl3anc 1371 1 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wss 3947   I cid 5572   E cep 5578   Se wse 5628   We wwe 5629  dom cdm 5675  ran crn 5676  cres 5677  Ord word 6360  Oncon0 6361   Isom wiso 6541  Smo wsmo 8341  OrdIsocoi 9500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-smo 8342  df-recs 8367  df-oi 9501
This theorem is referenced by:  hsmexlem5  10421
  Copyright terms: Public domain W3C validator