Theorem oiid 9230

Description: The order type of an ordinal under the ∈ order is itself, and the order isomorphism is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oiid	⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem oiid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordwe 6264	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
2		epse 5563	. . 3 ⊢ E Se 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Se 𝐴)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( E , 𝐴) = OrdIso( E , 𝐴)
5	4	oiiso2 9220	. . . . 5 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴) → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
6	1, 2, 5	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
7		ordsson 7610	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
8	4	oismo 9229	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
10		isoeq5 7172	. . . . 5 ⊢ (ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
11	9, 10	simpl2im 503	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
12	6, 11	mpbid 231	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴))
13	4	oicl 9218	. . . . . 6 ⊢ Ord dom OrdIso( E , 𝐴)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord dom OrdIso( E , 𝐴))
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord 𝐴)
16		ordiso2 9204	. . . . 5 ⊢ ((OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ∧ Ord dom OrdIso( E , 𝐴) ∧ Ord 𝐴) → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
17	12, 14, 15, 16	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
18		isoeq4 7171	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
20	12, 19	mpbid 231	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴))
21		weniso 7205	. 2 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴 ∧ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)) → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
22	1, 3, 20, 21	syl3anc 1369	1 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ⊆ wss 3883   I cid 5479   E cep 5485   Se wse 5533   We wwe 5534  dom cdm 5580  ran crn 5581   ↾ cres 5582  Ord word 6250  Oncon0 6251   Isom wiso 6419  Smo wsmo 8147  OrdIsocoi 9198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-smo 8148  df-recs 8173  df-oi 9199

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  10117