Theorem oiid 9536

Description: The order type of an ordinal under the ∈ order is itself, and the order isomorphism is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oiid	⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem oiid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordwe 6378	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
2		epse 5660	. . 3 ⊢ E Se 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Se 𝐴)
4		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( E , 𝐴) = OrdIso( E , 𝐴)
5	4	oiiso2 9526	. . . . 5 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴) → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
6	1, 2, 5	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
7		ordsson 7770	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
8	4	oismo 9535	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
10		isoeq5 7318	. . . . 5 ⊢ (ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
11	9, 10	simpl2im 505	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
12	6, 11	mpbid 231	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴))
13	4	oicl 9524	. . . . . 6 ⊢ Ord dom OrdIso( E , 𝐴)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord dom OrdIso( E , 𝐴))
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord 𝐴)
16		ordiso2 9510	. . . . 5 ⊢ ((OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ∧ Ord dom OrdIso( E , 𝐴) ∧ Ord 𝐴) → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
17	12, 14, 15, 16	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
18		isoeq4 7317	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
20	12, 19	mpbid 231	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴))
21		weniso 7351	. 2 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴 ∧ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)) → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
22	1, 3, 20, 21	syl3anc 1372	1 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ⊆ wss 3949   I cid 5574   E cep 5580   Se wse 5630   We wwe 5631  dom cdm 5677  ran crn 5678   ↾ cres 5679  Ord word 6364  Oncon0 6365   Isom wiso 6545  Smo wsmo 8345  OrdIsocoi 9504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-smo 8346  df-recs 8371  df-oi 9505

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  10425