Theorem oiid 9453

Description: The order type of an ordinal under the ∈ order is itself, and the order isomorphism is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oiid	⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem oiid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordwe 6330	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
2		epse 5607	. . 3 ⊢ E Se 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Se 𝐴)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( E , 𝐴) = OrdIso( E , 𝐴)
5	4	oiiso2 9443	. . . . 5 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴) → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
6	1, 2, 5	sylancl 592	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
7		ordsson 7733	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
8	4	oismo 9452	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
10		isoeq5 7272	. . . . 5 ⊢ (ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
11	9, 10	simpl2im 508	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
12	6, 11	mpbid 233	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴))
13	4	oicl 9441	. . . . . 6 ⊢ Ord dom OrdIso( E , 𝐴)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord dom OrdIso( E , 𝐴))
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord 𝐴)
16		ordiso2 9427	. . . . 5 ⊢ ((OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ∧ Ord dom OrdIso( E , 𝐴) ∧ Ord 𝐴) → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
17	12, 14, 15, 16	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
18		isoeq4 7271	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
20	12, 19	mpbid 233	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴))
21		weniso 7305	. 2 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴 ∧ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)) → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
22	1, 3, 20, 21	syl3anc 1379	1 ⊢ (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ⊆ wss 3890   I cid 5519   E cep 5524   Se wse 5576   We wwe 5577  dom cdm 5625  ran crn 5626   ↾ cres 5627  Ord word 6316  Oncon0 6317   Isom wiso 6493  Smo wsmo 8282  OrdIsocoi 9421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-smo 8283  df-recs 8308  df-oi 9422

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  10350