MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephgeom 10081
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 10065 . . 3 (ℵ‘∅) = ω
2 0ss 4396 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐴
3 0elon 6418 . . . . 5 ∅ ∈ On
4 alephord3 10077 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
53, 4mpan 687 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
62, 5mpbii 232 . . 3 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
71, 6eqsstrrid 4031 . 2 (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8 peano1 7883 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
9 ordom 7869 . . . . . . . 8 Ord ω
10 ord0 6417 . . . . . . . 8 Ord ∅
11 ordtri1 6397 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
129, 10, 11mp2an 689 . . . . . . 7 (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
1312con2bii 357 . . . . . 6 (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
148, 13mpbi 229 . . . . 5 ¬ ω ⊆ ∅
15 ndmfv 6926 . . . . . 6 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
1615sseq2d 4014 . . . . 5 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
1714, 16mtbiri 327 . . . 4 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1817con4i 114 . . 3 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19 alephfnon 10064 . . . 4 ℵ Fn On
2019fndmi 6653 . . 3 dom ℵ = On
2118, 20eleqtrdi 2842 . 2 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
227, 21impbii 208 1 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wcel 2105  wss 3948  c0 4322  dom cdm 5676  Ord word 6363  Oncon0 6364  cfv 6543  ωcom 7859  cale 9935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9509  df-har 9556  df-card 9938  df-aleph 9939
This theorem is referenced by:  alephislim  10082  cardalephex  10089  isinfcard  10091  alephval3  10109  alephval2  10571  alephadd  10576  alephmul  10577  alephexp1  10578  alephsuc3  10579  alephexp2  10580  alephreg  10581  pwcfsdom  10582  cfpwsdom  10583  gchaleph  10670  gchaleph2  10671
  Copyright terms: Public domain W3C validator