MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephgeom 10119
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 10103 . . 3 (ℵ‘∅) = ω
2 0ss 4405 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐴
3 0elon 6439 . . . . 5 ∅ ∈ On
4 alephord3 10115 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
53, 4mpan 690 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
62, 5mpbii 233 . . 3 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
71, 6eqsstrrid 4044 . 2 (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8 peano1 7910 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
9 ordom 7896 . . . . . . . 8 Ord ω
10 ord0 6438 . . . . . . . 8 Ord ∅
11 ordtri1 6418 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
129, 10, 11mp2an 692 . . . . . . 7 (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
1312con2bii 357 . . . . . 6 (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
148, 13mpbi 230 . . . . 5 ¬ ω ⊆ ∅
15 ndmfv 6941 . . . . . 6 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
1615sseq2d 4027 . . . . 5 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
1714, 16mtbiri 327 . . . 4 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1817con4i 114 . . 3 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19 alephfnon 10102 . . . 4 ℵ Fn On
2019fndmi 6672 . . 3 dom ℵ = On
2118, 20eleqtrdi 2848 . 2 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
227, 21impbii 209 1 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wcel 2105  wss 3962  c0 4338  dom cdm 5688  Ord word 6384  Oncon0 6385  cfv 6562  ωcom 7886  cale 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-oi 9547  df-har 9594  df-card 9976  df-aleph 9977
This theorem is referenced by:  alephislim  10120  cardalephex  10127  isinfcard  10129  alephval3  10147  alephval2  10609  alephadd  10614  alephmul  10615  alephexp1  10616  alephsuc3  10617  alephexp2  10618  alephreg  10619  pwcfsdom  10620  cfpwsdom  10621  gchaleph  10708  gchaleph2  10709
  Copyright terms: Public domain W3C validator