MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephgeom 9302
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 9286 . . 3 (ℵ‘∅) = ω
2 0ss 4236 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐴
3 0elon 6082 . . . . 5 ∅ ∈ On
4 alephord3 9298 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
53, 4mpan 677 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
62, 5mpbii 225 . . 3 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
71, 6syl5eqssr 3907 . 2 (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8 peano1 7416 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
9 ordom 7405 . . . . . . . 8 Ord ω
10 ord0 6081 . . . . . . . 8 Ord ∅
11 ordtri1 6062 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
129, 10, 11mp2an 679 . . . . . . 7 (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
1312con2bii 350 . . . . . 6 (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
148, 13mpbi 222 . . . . 5 ¬ ω ⊆ ∅
15 ndmfv 6529 . . . . . 6 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
1615sseq2d 3890 . . . . 5 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
1714, 16mtbiri 319 . . . 4 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1817con4i 114 . . 3 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19 alephfnon 9285 . . . 4 ℵ Fn On
20 fndm 6288 . . . 4 (ℵ Fn On → dom ℵ = On)
2119, 20ax-mp 5 . . 3 dom ℵ = On
2218, 21syl6eleq 2877 . 2 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
237, 22impbii 201 1 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198   = wceq 1507  wcel 2050  wss 3830  c0 4179  dom cdm 5407  Ord word 6028  Oncon0 6029   Fn wfn 6183  cfv 6188  ωcom 7396  cale 9159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-oi 8769  df-har 8817  df-card 9162  df-aleph 9163
This theorem is referenced by:  alephislim  9303  cardalephex  9310  isinfcard  9312  alephval3  9330  alephval2  9792  alephadd  9797  alephmul  9798  alephexp1  9799  alephsuc3  9800  alephexp2  9801  alephreg  9802  pwcfsdom  9803  cfpwsdom  9804  gchaleph  9891  gchaleph2  9892
  Copyright terms: Public domain W3C validator