Theorem alephgeom 9993

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 9977	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		0ss 4330	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
3		0elon 6367	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
4		alephord3 9989	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
5	3, 4	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
6	2, 5	mpbii 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
7	1, 6	eqsstrrid 3956	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8		peano1 7829	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
9		ordom 7816	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
10		ord0 6366	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ∅
11		ordtri1 6345	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
12	9, 10, 11	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
13	12	con2bii 357	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
14	8, 13	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ⊆ ∅
15		ndmfv 6861	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
16	15	sseq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
17	14, 16	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	17	con4i 114	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19		alephfnon 9976	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
20	19	fndmi 6591	. . 3 ⊢ dom ℵ = On
21	18, 20	eleqtrdi 2845	. 2 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
22	7, 21	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  ∅c0 4263  dom cdm 5620  Ord word 6311  Oncon0 6312  ‘cfv 6487  ωcom 7806  ℵcale 9849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-oi 9414  df-har 9461  df-card 9852  df-aleph 9853

This theorem is referenced by:  alephislim  9994  cardalephex  10001  isinfcard  10003  alephval3  10021  alephval2  10484  alephadd  10489  alephmul  10490  alephexp1  10491  alephsuc3  10492  alephexp2  10493  alephreg  10494  pwcfsdom  10495  cfpwsdom  10496  gchaleph  10583  gchaleph2  10584