MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephgeom 10059
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 10043 . . 3 (ℵ‘∅) = ω
2 0ss 4392 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐴
3 0elon 6407 . . . . 5 ∅ ∈ On
4 alephord3 10055 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
53, 4mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
62, 5mpbii 232 . . 3 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
71, 6eqsstrrid 4027 . 2 (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8 peano1 7861 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
9 ordom 7848 . . . . . . . 8 Ord ω
10 ord0 6406 . . . . . . . 8 Ord ∅
11 ordtri1 6386 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
129, 10, 11mp2an 690 . . . . . . 7 (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
1312con2bii 357 . . . . . 6 (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
148, 13mpbi 229 . . . . 5 ¬ ω ⊆ ∅
15 ndmfv 6913 . . . . . 6 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
1615sseq2d 4010 . . . . 5 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
1714, 16mtbiri 326 . . . 4 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1817con4i 114 . . 3 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19 alephfnon 10042 . . . 4 ℵ Fn On
2019fndmi 6642 . . 3 dom ℵ = On
2118, 20eleqtrdi 2842 . 2 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
227, 21impbii 208 1 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wcel 2106  wss 3944  c0 4318  dom cdm 5669  Ord word 6352  Oncon0 6353  cfv 6532  ωcom 7838  cale 9913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-oi 9487  df-har 9534  df-card 9916  df-aleph 9917
This theorem is referenced by:  alephislim  10060  cardalephex  10067  isinfcard  10069  alephval3  10087  alephval2  10549  alephadd  10554  alephmul  10555  alephexp1  10556  alephsuc3  10557  alephexp2  10558  alephreg  10559  pwcfsdom  10560  cfpwsdom  10561  gchaleph  10648  gchaleph2  10649
  Copyright terms: Public domain W3C validator