Theorem alephgeom 9965

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 9949	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		0ss 4348	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
3		0elon 6357	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
4		alephord3 9961	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
5	3, 4	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
6	2, 5	mpbii 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
7	1, 6	eqsstrrid 3972	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8		peano1 7814	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
9		ordom 7801	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
10		ord0 6356	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ∅
11		ordtri1 6335	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
13	12	con2bii 357	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
14	8, 13	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ⊆ ∅
15		ndmfv 6849	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
16	15	sseq2d 3965	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
17	14, 16	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	17	con4i 114	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19		alephfnon 9948	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
20	19	fndmi 6581	. . 3 ⊢ dom ℵ = On
21	18, 20	eleqtrdi 2839	. 2 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
22	7, 21	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  dom cdm 5614  Ord word 6301  Oncon0 6302  ‘cfv 6477  ωcom 7791  ℵcale 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-oi 9391  df-har 9438  df-card 9824  df-aleph 9825

This theorem is referenced by:  alephislim  9966  cardalephex  9973  isinfcard  9975  alephval3  9993  alephval2  10455  alephadd  10460  alephmul  10461  alephexp1  10462  alephsuc3  10463  alephexp2  10464  alephreg  10465  pwcfsdom  10466  cfpwsdom  10467  gchaleph  10554  gchaleph2  10555