Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephgeom 9493
 Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 9477 . . 3 (ℵ‘∅) = ω
2 0ss 4304 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐴
3 0elon 6212 . . . . 5 ∅ ∈ On
4 alephord3 9489 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
53, 4mpan 689 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
62, 5mpbii 236 . . 3 (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
71, 6eqsstrrid 3964 . 2 (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8 peano1 7581 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
9 ordom 7569 . . . . . . . 8 Ord ω
10 ord0 6211 . . . . . . . 8 Ord ∅
11 ordtri1 6192 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
129, 10, 11mp2an 691 . . . . . . 7 (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
1312con2bii 361 . . . . . 6 (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
148, 13mpbi 233 . . . . 5 ¬ ω ⊆ ∅
15 ndmfv 6675 . . . . . 6 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
1615sseq2d 3947 . . . . 5 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
1714, 16mtbiri 330 . . . 4 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
1817con4i 114 . . 3 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19 alephfnon 9476 . . . 4 ℵ Fn On
2019fndmi 6426 . . 3 dom ℵ = On
2118, 20eleqtrdi 2900 . 2 (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
227, 21impbii 212 1 (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  dom cdm 5519  Ord word 6158  Oncon0 6159  ‘cfv 6324  ωcom 7560  ℵcale 9349 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-har 9005  df-card 9352  df-aleph 9353 This theorem is referenced by:  alephislim  9494  cardalephex  9501  isinfcard  9503  alephval3  9521  alephval2  9983  alephadd  9988  alephmul  9989  alephexp1  9990  alephsuc3  9991  alephexp2  9992  alephreg  9993  pwcfsdom  9994  cfpwsdom  9995  gchaleph  10082  gchaleph2  10083
 Copyright terms: Public domain W3C validator