Theorem alephgeom 9302

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 9286	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		0ss 4236	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
3		0elon 6082	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
4		alephord3 9298	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
5	3, 4	mpan 677	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
6	2, 5	mpbii 225	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
7	1, 6	syl5eqssr 3907	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8		peano1 7416	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
9		ordom 7405	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
10		ord0 6081	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ∅
11		ordtri1 6062	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
12	9, 10, 11	mp2an 679	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
13	12	con2bii 350	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
14	8, 13	mpbi 222	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ⊆ ∅
15		ndmfv 6529	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
16	15	sseq2d 3890	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
17	14, 16	mtbiri 319	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	17	con4i 114	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19		alephfnon 9285	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
20		fndm 6288	. . . 4 ⊢ (ℵ Fn On → dom ℵ = On)
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom ℵ = On
22	18, 21	syl6eleq 2877	. 2 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
23	7, 22	impbii 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3830  ∅c0 4179  dom cdm 5407  Ord word 6028  Oncon0 6029   Fn wfn 6183  ‘cfv 6188  ωcom 7396  ℵcale 9159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-oi 8769  df-har 8817  df-card 9162  df-aleph 9163

This theorem is referenced by:  alephislim  9303  cardalephex  9310  isinfcard  9312  alephval3  9330  alephval2  9792  alephadd  9797  alephmul  9798  alephexp1  9799  alephsuc3  9800  alephexp2  9801  alephreg  9802  pwcfsdom  9803  cfpwsdom  9804  gchaleph  9891  gchaleph2  9892