Theorem alephdom2 9842

Description: A dominated initial ordinal is included. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
alephdom2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵))

Proof of Theorem alephdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephsdom 9841	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
2	1	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
4		alephon 9824	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
5	4	onordi 6369	. . . 4 ⊢ Ord (ℵ‘𝐴)
6		eloni 6274	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
7		ordtri1 6297	. . . 4 ⊢ ((Ord (ℵ‘𝐴) ∧ Ord 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
9	8	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
10		domtriord 8890	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
11	4, 10	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
12	11	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
13	3, 9, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079  Ord word 6263  Oncon0 6264  ‘cfv 6431   ≼ cdom 8712   ≺ csdm 8713  ℵcale 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-oi 9245  df-har 9292  df-card 9696  df-aleph 9697

This theorem is referenced by: (None)