Theorem alephdom2 10000

Description: A dominated initial ordinal is included. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
alephdom2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵))

Proof of Theorem alephdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephsdom 9999	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
4		alephon 9982	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
5	4	onordi 6424	. . . 4 ⊢ Ord (ℵ‘𝐴)
6		eloni 6321	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
7		ordtri1 6344	. . . 4 ⊢ ((Ord (ℵ‘𝐴) ∧ Ord 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
10		domtriord 9047	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
11	4, 10	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
13	3, 9, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  Ord word 6310  Oncon0 6311  ‘cfv 6486   ≼ cdom 8877   ≺ csdm 8878  ℵcale 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-oi 9421  df-har 9468  df-card 9854  df-aleph 9855

This theorem is referenced by: (None)