Theorem alephdom2 10009

Description: A dominated initial ordinal is included. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
alephdom2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵))

Proof of Theorem alephdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephsdom 10008	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
4		alephon 9991	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
5	4	onordi 6437	. . . 4 ⊢ Ord (ℵ‘𝐴)
6		eloni 6334	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
7		ordtri1 6357	. . . 4 ⊢ ((Ord (ℵ‘𝐴) ∧ Ord 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
10		domtriord 9061	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
11	4, 10	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
13	3, 9, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  Ord word 6323  Oncon0 6324  ‘cfv 6499   ≼ cdom 8891   ≺ csdm 8892  ℵcale 9860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-oi 9425  df-har 9472  df-card 9863  df-aleph 9864

This theorem is referenced by: (None)