Theorem alephdom2 10001

Description: A dominated initial ordinal is included. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
alephdom2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵))

Proof of Theorem alephdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephsdom 10000	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
4		alephon 9983	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
5	4	onordi 6431	. . . 4 ⊢ Ord (ℵ‘𝐴)
6		eloni 6328	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
7		ordtri1 6351	. . . 4 ⊢ ((Ord (ℵ‘𝐴) ∧ Ord 𝐵) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (ℵ‘𝐴)))
10		domtriord 9055	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
11	4, 10	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ (ℵ‘𝐴)))
13	3, 9, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  Ord word 6317  Oncon0 6318  ‘cfv 6493   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886  ℵcale 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-oi 9419  df-har 9466  df-card 9855  df-aleph 9856

This theorem is referenced by: (None)