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Theorem finminlem 34790
Description: A useful lemma about finite sets. If a property holds for a finite set, it holds for a minimal set. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Dec-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
finminlem.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
finminlem (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem finminlem
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 2147 . . . . 5 𝑥𝑥(𝑥𝑛𝜑)
2 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥ω
31, 2nfrabw 3440 . . . 4 𝑥{𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)}
4 nfcv 2907 . . . 4 𝑥
53, 4nfne 3045 . . 3 𝑥{𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅
6 isfi 8916 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚)
7 19.8a 2174 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑚𝜑) → ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑))
87anim2i 617 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
983impb 1115 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
10 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑥𝑚))
1110anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥𝑛𝜑) ↔ (𝑥𝑚𝜑)))
1211exbidv 1924 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝑛𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
1312elrab 3645 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
149, 13sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → 𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)})
1514ne0d 4295 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
16153exp 1119 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → (𝑥𝑚 → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)))
1716rexlimiv 3145 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚 → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅))
186, 17sylbi 216 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅))
195, 18rexlimi 3242 . 2 (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
20 epweon 7709 . . 3 E We On
21 ssrab2 4037 . . . 4 {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ ω
22 omsson 7806 . . . 4 ω ⊆ On
2321, 22sstri 3953 . . 3 {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ On
24 wefrc 5627 . . 3 (( E We On ∧ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ On ∧ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
2520, 23, 24mp3an12 1451 . 2 ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
26 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑥 𝑚 ∈ ω
27 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚
283, 27nfin 4176 . . . . . . . 8 𝑥({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚)
2928nfeq1 2922 . . . . . . 7 𝑥({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅
3026, 29nfan 1902 . . . . . 6 𝑥(𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
31 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → 𝜑)
32 sspss 4059 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑥 ↔ (𝑦𝑥𝑦 = 𝑥))
33 rspe 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚)
34 pssss 4055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝑥𝑦𝑥)
35 ssfi 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
3634, 35sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
3736ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ Fin → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
386, 37sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚 → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
3933, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4039adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4140adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
42 isfi 8916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑦𝑘)
43 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘 ∈ ω)
44 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑘)
45 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝜓)
46 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑦 ∈ V
47 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑘𝑦𝑘))
48 finminlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
4947, 48anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑘𝜑) ↔ (𝑦𝑘𝜓)))
5046, 49spcev 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦𝑘𝜓) → ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑))
5144, 45, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑))
5233, 6sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → 𝑥 ∈ Fin)
5352adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → 𝑥 ∈ Fin)
5453adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → 𝑥 ∈ Fin)
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → 𝑥 ∈ Fin)
56 php3 9156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
5756ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ Fin → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
59 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑘 ∈ V
60 ssdomg 8940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ V → (𝑚𝑘𝑚𝑘))
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚𝑘𝑚𝑘)
62 endomtr 8952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝑚𝑚𝑘) → 𝑥𝑘)
6362ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥𝑚 → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
6564ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
66 ensym 8943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦𝑘𝑘𝑦)
67 domentr 8953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝑘𝑘𝑦) → 𝑥𝑦)
6866, 67sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥𝑘𝑦𝑘) → 𝑥𝑦)
6968expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦𝑘 → (𝑥𝑘𝑥𝑦))
7069ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑥𝑘𝑥𝑦))
7165, 70syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑦))
7261, 71syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑦))
73 domnsym 9043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥𝑦 → ¬ 𝑦𝑥)
7473con2i 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑦)
7572, 74nsyli 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥 → ¬ 𝑚𝑘))
7658, 75syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥 → ¬ 𝑚𝑘))
7776impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ¬ 𝑚𝑘)
78 nnord 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
7978ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → Ord 𝑚)
80 nnord 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) → Ord 𝑘)
8281ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → Ord 𝑘)
83 ordtri1 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((Ord 𝑚 ∧ Ord 𝑘) → (𝑚𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑚))
8483con2bid 354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Ord 𝑚 ∧ Ord 𝑘) → (𝑘𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑘))
8579, 82, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → (𝑘𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑘))
8677, 85mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘𝑚)
8743, 51, 86jca31 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
88 elin 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ↔ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∧ 𝑘𝑚))
89 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛𝑥𝑘))
9089anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥𝑛𝜑) ↔ (𝑥𝑘𝜑)))
9190exbidv 1924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 𝑘 → (∃𝑥(𝑥𝑛𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)))
9291elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)))
9392anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∧ 𝑘𝑚) ↔ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
9488, 93bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ↔ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
9587, 94sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚))
9695ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)
9796exp44 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑘 ∈ ω → (𝑦𝑘 → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅))))
9897rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑦𝑘 → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
9942, 98biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
10099com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥 → (𝑦 ∈ Fin → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
10141, 100mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅))
102101necon2bd 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ¬ 𝑦𝑥))
103102ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ω → (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ¬ 𝑦𝑥)))
104103com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ω → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)))
105104imp31 418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → ¬ 𝑦𝑥)
106105pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦))
107 equcomi 2020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
109106, 108jaod 857 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → ((𝑦𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
11032, 109biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦))
111110expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝜓 → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦)))
112111com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑦𝑥 → (𝜓𝑥 = 𝑦)))
113112impd 411 . . . . . . . . 9 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → ((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))
114113alrimiv 1930 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))
11531, 114jca 512 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
116115ex 413 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) → ((𝑥𝑚𝜑) → (𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
11730, 116eximd 2209 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) → (∃𝑥(𝑥𝑚𝜑) → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
118117impancom 452 . . . 4 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
11913, 118sylbi 216 . . 3 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
120119rexlimiv 3145 . 2 (∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
12119, 25, 1203syl 18 1 (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  wpss 3911  c0 4282   class class class wbr 5105   E cep 5536   We wwe 5587  Ord word 6316  Oncon0 6317  ωcom 7802  cen 8880  cdom 8881  csdm 8882  Fincfn 8883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-om 7803  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887
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