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Theorem finminlem 32655
Description: A useful lemma about finite sets. If a property holds for a finite set, it holds for a minimal set. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Dec-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
finminlem.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
finminlem (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem finminlem
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 2195 . . . . 5 𝑥𝑥(𝑥𝑛𝜑)
2 nfcv 2959 . . . . 5 𝑥ω
31, 2nfrab 3323 . . . 4 𝑥{𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)}
4 nfcv 2959 . . . 4 𝑥
53, 4nfne 3089 . . 3 𝑥{𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅
6 isfi 8226 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚)
7 19.8a 2218 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑚𝜑) → ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑))
87anim2i 605 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
983impb 1136 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
10 breq2 4859 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑥𝑚))
1110anbi1d 617 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥𝑛𝜑) ↔ (𝑥𝑚𝜑)))
1211exbidv 2012 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝑛𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
1312elrab 3570 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
149, 13sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → 𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)})
1514ne0d 4134 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
16153exp 1141 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → (𝑥𝑚 → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)))
1716rexlimiv 3226 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚 → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅))
186, 17sylbi 208 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅))
195, 18rexlimi 3223 . 2 (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
20 epweon 7223 . . 3 E We On
21 ssrab2 3895 . . . 4 {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ ω
22 omsson 7309 . . . 4 ω ⊆ On
2321, 22sstri 3818 . . 3 {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ On
24 wefrc 5318 . . 3 (( E We On ∧ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ On ∧ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
2520, 23, 24mp3an12 1568 . 2 ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
26 nfv 2005 . . . . . . 7 𝑥 𝑚 ∈ ω
27 nfcv 2959 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚
283, 27nfin 4028 . . . . . . . 8 𝑥({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚)
2928nfeq1 2973 . . . . . . 7 𝑥({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅
3026, 29nfan 1990 . . . . . 6 𝑥(𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
31 simprr 780 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → 𝜑)
32 sspss 3915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑥 ↔ (𝑦𝑥𝑦 = 𝑥))
33 rspe 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚)
34 pssss 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝑥𝑦𝑥)
35 ssfi 8429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
3634, 35sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
3736ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ Fin → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
386, 37sylbir 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚 → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
3933, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4039adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4140adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
42 isfi 8226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑦𝑘)
43 simprll 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘 ∈ ω)
44 simprlr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑘)
45 simplrr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝜓)
46 vex 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑦 ∈ V
47 breq1 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑘𝑦𝑘))
48 finminlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
4947, 48anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑘𝜑) ↔ (𝑦𝑘𝜓)))
5046, 49spcev 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦𝑘𝜓) → ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑))
5144, 45, 50syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑))
5233, 6sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → 𝑥 ∈ Fin)
5352adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → 𝑥 ∈ Fin)
5453adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → 𝑥 ∈ Fin)
5554adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → 𝑥 ∈ Fin)
56 php3 8395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
5756ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ Fin → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
59 vex 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑘 ∈ V
60 ssdomg 8248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ V → (𝑚𝑘𝑚𝑘))
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚𝑘𝑚𝑘)
62 endomtr 8260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝑚𝑚𝑘) → 𝑥𝑘)
6362ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥𝑚 → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
6463ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
6564ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
66 ensym 8251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦𝑘𝑘𝑦)
67 domentr 8261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝑘𝑘𝑦) → 𝑥𝑦)
6866, 67sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥𝑘𝑦𝑘) → 𝑥𝑦)
6968expcom 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦𝑘 → (𝑥𝑘𝑥𝑦))
7069ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑥𝑘𝑥𝑦))
7165, 70syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑦))
7261, 71syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑦))
73 domnsym 8335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥𝑦 → ¬ 𝑦𝑥)
7473con2i 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑦)
7572, 74nsyli 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥 → ¬ 𝑚𝑘))
7658, 75syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥 → ¬ 𝑚𝑘))
7776impr 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ¬ 𝑚𝑘)
78 nnord 7313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
7978ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → Ord 𝑚)
80 nnord 7313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
8180adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) → Ord 𝑘)
8281ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → Ord 𝑘)
83 ordtri1 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((Ord 𝑚 ∧ Ord 𝑘) → (𝑚𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑚))
8483con2bid 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Ord 𝑚 ∧ Ord 𝑘) → (𝑘𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑘))
8579, 82, 84syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → (𝑘𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑘))
8677, 85mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘𝑚)
8743, 51, 86jca31 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
88 elin 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ↔ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∧ 𝑘𝑚))
89 breq2 4859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛𝑥𝑘))
9089anbi1d 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥𝑛𝜑) ↔ (𝑥𝑘𝜑)))
9190exbidv 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 𝑘 → (∃𝑥(𝑥𝑛𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)))
9291elrab 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)))
9392anbi1i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∧ 𝑘𝑚) ↔ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
9488, 93bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ↔ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
9587, 94sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚))
9695ne0d 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)
9796exp44 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑘 ∈ ω → (𝑦𝑘 → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅))))
9897rexlimdv 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑦𝑘 → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
9942, 98syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
10099com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥 → (𝑦 ∈ Fin → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
10141, 100mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅))
102101necon2bd 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ¬ 𝑦𝑥))
103102ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ω → (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ¬ 𝑦𝑥)))
104103com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ω → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)))
105104imp31 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → ¬ 𝑦𝑥)
106105pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦))
107 equcomi 2114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
109106, 108jaod 877 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → ((𝑦𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
11032, 109syl5bi 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦))
111110expr 446 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝜓 → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦)))
112111com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑦𝑥 → (𝜓𝑥 = 𝑦)))
113112impd 398 . . . . . . . . 9 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → ((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))
114113alrimiv 2018 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))
11531, 114jca 503 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
116115ex 399 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) → ((𝑥𝑚𝜑) → (𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
11730, 116eximd 2253 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) → (∃𝑥(𝑥𝑚𝜑) → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
118117impancom 441 . . . 4 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
11913, 118sylbi 208 . . 3 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
120119rexlimiv 3226 . 2 (∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
12119, 25, 1203syl 18 1 (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100  wal 1635   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2157  wne 2989  wrex 3108  {crab 3111  Vcvv 3402  cin 3779  wss 3780  wpss 3781  c0 4127   class class class wbr 4855   E cep 5236   We wwe 5282  Ord word 5949  Oncon0 5950  ωcom 7305  cen 8199  cdom 8200  csdm 8201  Fincfn 8202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-om 7306  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206
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