Theorem nnaword 8616

Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaword	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem nnaword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaord 8608	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
2	1	3com12 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
4		nnord 7873	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
5		nnord 7873	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
6		ordtri1 6398	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9		nnacl 8600	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ ω)
10	9	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ ω)
11	10	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ ω)
12		nnacl 8600	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω)
13	12	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω)
14	13	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω)
15		nnord 7873	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +o 𝐴) ∈ ω → Ord (𝐶 +o 𝐴))
16		nnord 7873	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +o 𝐵) ∈ ω → Ord (𝐶 +o 𝐵))
17		ordtri1 6398	. . . 4 ⊢ ((Ord (𝐶 +o 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +o 𝐵)) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
18	15, 16, 17	syl2an 607	. . 3 ⊢ (((𝐶 +o 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
19	11, 14, 18	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
20	3, 8, 19	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2150   ⊆ wss 3913  Ord word 6363  (class class class)co 7414  ωcom 7865   +_o coa 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-oadd 8460

This theorem is referenced by:  nnacan  8617  nnaword1  8618