MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnaword 8639
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem nnaword
StepHypRef Expression
1 nnaord 8631 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
213com12 1121 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
32notbid 318 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
4 nnord 7870 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
5 nnord 7870 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
6 ordtri1 6396 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
74, 5, 6syl2an 595 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
873adant3 1130 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
9 nnacl 8623 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ ω)
109ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ ω)
11103adant2 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ ω)
12 nnacl 8623 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω)
1312ancoms 458 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω)
14133adant1 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω)
15 nnord 7870 . . . 4 ((𝐶 +o 𝐴) ∈ ω → Ord (𝐶 +o 𝐴))
16 nnord 7870 . . . 4 ((𝐶 +o 𝐵) ∈ ω → Ord (𝐶 +o 𝐵))
17 ordtri1 6396 . . . 4 ((Ord (𝐶 +o 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +o 𝐵)) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
1815, 16, 17syl2an 595 . . 3 (((𝐶 +o 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
1911, 14, 18syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
203, 8, 193bitr4d 311 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ⊆ (𝐶 +o 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1085  wcel 2099  wss 3944  Ord word 6362  (class class class)co 7414  ωcom 7862   +o coa 8475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-oadd 8482
This theorem is referenced by:  nnacan  8640  nnaword1  8641
  Copyright terms: Public domain W3C validator