MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnaword 7861
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵)))

Proof of Theorem nnaword
StepHypRef Expression
1 nnaord 7853 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
213com12 1117 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
32notbid 307 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
4 nnord 7220 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
5 nnord 7220 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
6 ordtri1 5899 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
74, 5, 6syl2an 583 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
873adant3 1126 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
9 nnacl 7845 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω)
109ancoms 455 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω)
11103adant2 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω)
12 nnacl 7845 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
1312ancoms 455 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
14133adant1 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
15 nnord 7220 . . . 4 ((𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω → Ord (𝐶 +𝑜 𝐴))
16 nnord 7220 . . . 4 ((𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω → Ord (𝐶 +𝑜 𝐵))
17 ordtri1 5899 . . . 4 ((Ord (𝐶 +𝑜 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +𝑜 𝐵)) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
1815, 16, 17syl2an 583 . . 3 (((𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
1911, 14, 18syl2anc 573 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
203, 8, 193bitr4d 300 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  w3a 1071  wcel 2145  wss 3723  Ord word 5865  (class class class)co 6793  ωcom 7212   +𝑜 coa 7710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-oadd 7717
This theorem is referenced by:  nnacan  7862  nnaword1  7863
  Copyright terms: Public domain W3C validator