Theorem osumcllem8N 40622

Description: Lemma for osumclN 40626. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem8N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)

Proof of Theorem osumcllem8N

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4314	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀))
2		osumcllem.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		osumcllem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		osumcllem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		osumcllem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6		osumcllem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7		osumcllem.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
8		osumcllem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9		osumcllem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	osumcllem7N 40621	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
11	10	3expia 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
12	11	exlimdv 1960	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
13	1, 12	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → ((𝑌 ∩ 𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
14	13	necon1bd 2982	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅))
15	14	3impia 1133	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4591  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  lecple 17313  joincjn 18363  Atomscatm 39922  HLchlt 40009  +_𝑃cpadd 40454  ⊥_𝑃cpolN 40561  PSubClcpscN 40593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-lub 18396  df-glb 18397  df-join 18398  df-meet 18399  df-p0 18475  df-p1 18476  df-lat 18484  df-clat 18551  df-oposet 39835  df-ol 39837  df-oml 39838  df-covers 39925  df-ats 39926  df-atl 39957  df-cvlat 39981  df-hlat 40010  df-pmap 40163  df-padd 40455  df-polarityN 40562

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  40623