Theorem osumcllem8N 40844

Description: Lemma for osumclN 40848. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem8N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)

Proof of Theorem osumcllem8N

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4303	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀))
2		osumcllem.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		osumcllem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		osumcllem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		osumcllem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6		osumcllem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7		osumcllem.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
8		osumcllem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9		osumcllem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	osumcllem7N 40843	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
11	10	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
12	11	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
13	1, 12	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → ((𝑌 ∩ 𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
14	13	necon1bd 2975	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅))
15	14	3impia 1135	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  lecple 17355  joincjn 18405  Atomscatm 40144  HLchlt 40231  +_𝑃cpadd 40676  ⊥_𝑃cpolN 40783  PSubClcpscN 40815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-p0 18517  df-p1 18518  df-lat 18526  df-clat 18593  df-oposet 40057  df-ol 40059  df-oml 40060  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179  df-cvlat 40203  df-hlat 40232  df-pmap 40385  df-padd 40677  df-polarityN 40784

This theorem is used by:  osumcllem9N  40845