Theorem osumcllem8N 39945

Description: Lemma for osumclN 39949. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem8N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)

Proof of Theorem osumcllem8N

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4358	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀))
2		osumcllem.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		osumcllem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		osumcllem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		osumcllem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6		osumcllem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7		osumcllem.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
8		osumcllem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9		osumcllem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	osumcllem7N 39944	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
11	10	3expia 1120	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
12	11	exlimdv 1930	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
13	1, 12	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → ((𝑌 ∩ 𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
14	13	necon1bd 2955	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅))
15	14	3impia 1116	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  {csn 4630  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  lecple 17304  joincjn 18368  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  +_𝑃cpadd 39777  ⊥_𝑃cpolN 39884  PSubClcpscN 39916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-polarityN 39885

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  39946