Theorem osumcllem8N 40770

Description: Lemma for osumclN 40774. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem8N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)

Proof of Theorem osumcllem8N

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4307	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀))
2		osumcllem.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		osumcllem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		osumcllem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		osumcllem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6		osumcllem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7		osumcllem.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
8		osumcllem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9		osumcllem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	osumcllem7N 40769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
11	10	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
12	11	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
13	1, 12	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → ((𝑌 ∩ 𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
14	13	necon1bd 2978	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅))
15	14	3impia 1135	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  lecple 17334  joincjn 18384  Atomscatm 40070  HLchlt 40157  +_𝑃cpadd 40602  ⊥_𝑃cpolN 40709  PSubClcpscN 40741

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-proset 18367  df-poset 18386  df-plt 18401  df-lub 18417  df-glb 18418  df-join 18419  df-meet 18420  df-p0 18496  df-p1 18497  df-lat 18505  df-clat 18572  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-polarityN 40710

This theorem is used by:  osumcllem9N  40771