Theorem ofldlt1 21141

Description: In an ordered field, the ring unity is strictly positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orng0le1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
orng0le1.2	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
ofld0lt1.3	⊢ < = (lt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ofldlt1	⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )

Proof of Theorem ofldlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 21130	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
2	1	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
3		orng0le1.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
4		orng0le1.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
6	3, 4, 5	orng0le1 21140	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 (le‘𝐹) 1 )
7	2, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 (le‘𝐹) 1 )
8		ofldfld 21138	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
9		isfld 21002	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
10	9	simplbi 502	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
11	3, 4	drngunz 21010	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )
12	8, 10, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 1 ≠ 0 )
13	12	necomd 3010	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 ≠ 1 )
14	3	fvexi 6904	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
15	4	fvexi 6904	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
16		ofld0lt1.3	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐹)
17	5, 16	pltval 18513	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 1 ∧ 0 ≠ 1 )))
18	14, 15, 17	mp3an23 1482	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 1 ∧ 0 ≠ 1 )))
19	7, 13, 18	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  lecple 17444  0_gc0g 17619  ltcplt 18491  1_rcur 20416  CRingccrg 20469  DivRingcdr 20989  Fieldcfield 20990  oRingcorng 21123  oFieldcofld 21124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-tpos 8251  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-0g 17621  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-toset 18598  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-omnd 20344  df-ogrp 20345  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-drng 20991  df-field 20992  df-orng 21125  df-ofld 21126

This theorem is used by:  ofldchr  21891  isarchiofld  33810