Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldlt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofldlt1 31038
 Description: In an ordered field, the ring unit is strictly positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orng0le1.1 0 = (0g𝐹)
orng0le1.2 1 = (1r𝐹)
ofld0lt1.3 < = (lt‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ofldlt1 (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )

Proof of Theorem ofldlt1
StepHypRef Expression
1 isofld 31027 . . . 4 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
21simprbi 500 . . 3 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
3 orng0le1.1 . . . 4 0 = (0g𝐹)
4 orng0le1.2 . . . 4 1 = (1r𝐹)
5 eqid 2758 . . . 4 (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
63, 4, 5orng0le1 31037 . . 3 (𝐹 ∈ oRing → 0 (le‘𝐹) 1 )
72, 6syl 17 . 2 (𝐹 ∈ oField → 0 (le‘𝐹) 1 )
8 ofldfld 31035 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
9 isfld 19579 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
109simplbi 501 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
113, 4drngunz 19585 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing → 10 )
128, 10, 113syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField → 10 )
1312necomd 3006 . 2 (𝐹 ∈ oField → 01 )
143fvexi 6672 . . 3 0 ∈ V
154fvexi 6672 . . 3 1 ∈ V
16 ofld0lt1.3 . . . 4 < = (lt‘𝐹)
175, 16pltval 17636 . . 3 ((𝐹 ∈ oField ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 101 )))
1814, 15, 17mp3an23 1450 . 2 (𝐹 ∈ oField → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 101 )))
197, 13, 18mpbir2and 712 1 (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  lecple 16630  0gc0g 16771  ltcplt 17617  1rcur 19319  CRingccrg 19366  DivRingcdr 19570  Fieldcfield 19571  oRingcorng 31020  oFieldcofld 31021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-0g 16773  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-toset 17710  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-drng 19572  df-field 19573  df-omnd 30851  df-ogrp 30852  df-orng 31022  df-ofld 31023 This theorem is referenced by:  ofldchr  31039  isarchiofld  31042
 Copyright terms: Public domain W3C validator