Theorem ofldlt1 30888

Description: In an ordered field, the ring unit is strictly positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orng0le1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
orng0le1.2	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
ofld0lt1.3	⊢ < = (lt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ofldlt1	⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )

Proof of Theorem ofldlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 30877	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
2	1	simprbi 499	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
3		orng0le1.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
4		orng0le1.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
6	3, 4, 5	orng0le1 30887	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 (le‘𝐹) 1 )
7	2, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 (le‘𝐹) 1 )
8		ofldfld 30885	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
9		isfld 19513	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
10	9	simplbi 500	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
11	3, 4	drngunz 19519	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )
12	8, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 1 ≠ 0 )
13	12	necomd 3073	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 ≠ 1 )
14	3	fvexi 6686	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
15	4	fvexi 6686	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
16		ofld0lt1.3	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐹)
17	5, 16	pltval 17572	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 1 ∧ 0 ≠ 1 )))
18	14, 15, 17	mp3an23 1449	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 1 ∧ 0 ≠ 1 )))
19	7, 13, 18	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  lecple 16574  0_gc0g 16715  ltcplt 17553  1_rcur 19253  CRingccrg 19300  DivRingcdr 19504  Fieldcfield 19505  oRingcorng 30870  oFieldcofld 30871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-toset 17646  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-drng 19506  df-field 19507  df-omnd 30702  df-ogrp 30703  df-orng 30872  df-ofld 30873

This theorem is referenced by:  ofldchr  30889  isarchiofld  30892