Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldlt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofldlt1 32162
Description: In an ordered field, the ring unity is strictly positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orng0le1.1 0 = (0gβ€˜πΉ)
orng0le1.2 1 = (1rβ€˜πΉ)
ofld0lt1.3 < = (ltβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ofldlt1 (𝐹 ∈ oField β†’ 0 < 1 )

Proof of Theorem ofldlt1
StepHypRef Expression
1 isofld 32151 . . . 4 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
21simprbi 498 . . 3 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ oRing)
3 orng0le1.1 . . . 4 0 = (0gβ€˜πΉ)
4 orng0le1.2 . . . 4 1 = (1rβ€˜πΉ)
5 eqid 2733 . . . 4 (leβ€˜πΉ) = (leβ€˜πΉ)
63, 4, 5orng0le1 32161 . . 3 (𝐹 ∈ oRing β†’ 0 (leβ€˜πΉ) 1 )
72, 6syl 17 . 2 (𝐹 ∈ oField β†’ 0 (leβ€˜πΉ) 1 )
8 ofldfld 32159 . . . 4 (𝐹 ∈ oField β†’ 𝐹 ∈ Field)
9 isfld 20230 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
109simplbi 499 . . . 4 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
113, 4drngunz 20237 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 1 β‰  0 )
128, 10, 113syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField β†’ 1 β‰  0 )
1312necomd 2996 . 2 (𝐹 ∈ oField β†’ 0 β‰  1 )
143fvexi 6860 . . 3 0 ∈ V
154fvexi 6860 . . 3 1 ∈ V
16 ofld0lt1.3 . . . 4 < = (ltβ€˜πΉ)
175, 16pltval 18229 . . 3 ((𝐹 ∈ oField ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) β†’ ( 0 < 1 ↔ ( 0 (leβ€˜πΉ) 1 ∧ 0 β‰  1 )))
1814, 15, 17mp3an23 1454 . 2 (𝐹 ∈ oField β†’ ( 0 < 1 ↔ ( 0 (leβ€˜πΉ) 1 ∧ 0 β‰  1 )))
197, 13, 18mpbir2and 712 1 (𝐹 ∈ oField β†’ 0 < 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  lecple 17148  0gc0g 17329  ltcplt 18205  1rcur 19921  CRingccrg 19973  DivRingcdr 20219  Fieldcfield 20220  oRingcorng 32144  oFieldcofld 32145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-toset 18314  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-drng 20221  df-field 20222  df-omnd 31963  df-ogrp 31964  df-orng 32146  df-ofld 32147
This theorem is referenced by:  ofldchr  32163  isarchiofld  32166
  Copyright terms: Public domain W3C validator