Theorem ofldlt1 20806

Description: In an ordered field, the ring unity is strictly positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orng0le1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
orng0le1.2	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
ofld0lt1.3	⊢ < = (lt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ofldlt1	⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )

Proof of Theorem ofldlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 20795	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
3		orng0le1.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
4		orng0le1.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
6	3, 4, 5	orng0le1 20805	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 (le‘𝐹) 1 )
7	2, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 (le‘𝐹) 1 )
8		ofldfld 20803	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
9		isfld 20671	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
10	9	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
11	3, 4	drngunz 20678	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )
12	8, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 1 ≠ 0 )
13	12	necomd 2985	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 ≠ 1 )
14	3	fvexi 6846	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
15	4	fvexi 6846	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
16		ofld0lt1.3	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐹)
17	5, 16	pltval 18251	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 1 ∧ 0 ≠ 1 )))
18	14, 15, 17	mp3an23 1455	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 1 ∧ 0 ≠ 1 )))
19	7, 13, 18	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  lecple 17182  0_gc0g 17357  ltcplt 18229  1_rcur 20114  CRingccrg 20167  DivRingcdr 20660  Fieldcfield 20661  oRingcorng 20788  oFieldcofld 20789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-0g 17359  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-toset 18336  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-omnd 20048  df-ogrp 20049  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-drng 20662  df-field 20663  df-orng 20790  df-ofld 20791

This theorem is referenced by:  ofldchr  21529  isarchiofld  33230