Theorem ofldlt1 33264

Description: In an ordered field, the ring unity is strictly positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orng0le1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
orng0le1.2	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
ofld0lt1.3	⊢ < = (lt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ofldlt1	⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )

Proof of Theorem ofldlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 33253	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
3		orng0le1.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
4		orng0le1.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
6	3, 4, 5	orng0le1 33263	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 (le‘𝐹) 1 )
7	2, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 (le‘𝐹) 1 )
8		ofldfld 33261	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
9		isfld 20625	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
10	9	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
11	3, 4	drngunz 20632	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )
12	8, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 1 ≠ 0 )
13	12	necomd 2980	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 ≠ 1 )
14	3	fvexi 6854	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
15	4	fvexi 6854	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
16		ofld0lt1.3	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐹)
17	5, 16	pltval 18267	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ oField ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 1 ∧ 0 ≠ 1 )))
18	14, 15, 17	mp3an23 1455	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oField → ( 0 < 1 ↔ ( 0 (le‘𝐹) 1 ∧ 0 ≠ 1 )))
19	7, 13, 18	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐹 ∈ oField → 0 < 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  lecple 17203  0_gc0g 17378  ltcplt 18245  1_rcur 20066  CRingccrg 20119  DivRingcdr 20614  Fieldcfield 20615  oRingcorng 33246  oFieldcofld 33247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-toset 18352  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-drng 20616  df-field 20617  df-omnd 32986  df-ogrp 32987  df-orng 33248  df-ofld 33249

This theorem is referenced by:  ofldchr  33265  isarchiofld  33268