Theorem orngmullt 32930

Description: In an ordered ring, the strict ordering is compatible with the ring multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orngmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
orngmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
orngmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
orngmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
orngmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
orngmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
orngmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
orngmullt.x	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
orngmullt.y	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
orngmullt	⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem orngmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orngmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		orngmullt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
4		orngring 32921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 20143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6		orngmullt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		orngmullt.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	grpidcl 18895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
9	1, 4, 5, 8	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
10		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
11		orngmullt.l	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑅)
12	10, 11	pltval 18297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
13	1, 9, 2, 12	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
14	3, 13	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋))
15	14	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑋)
16		orngmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17		orngmullt.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
18	10, 11	pltval 18297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌)))
19	1, 9, 16, 18	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌)))
20	17, 19	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌))
21	20	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑌)
22		orngmullt.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	6, 10, 7, 22	orngmul 32924	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝑅)𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝑅)𝑌)) → 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
24	1, 2, 15, 16, 21, 23	syl122anc 1376	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
25	14	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑋)
26	25	necomd 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
27	20	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑌)
28	27	necomd 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
29		orngmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
30	6, 7, 22, 29, 2, 16	drngmulne0 20617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
31	26, 28, 30	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
32	31	necomd 2990	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))
33	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	6, 22	ringcl 20155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
35	33, 2, 16, 34	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
36	10, 11	pltval 18297	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 0 < (𝑋 · 𝑌) ↔ ( 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))))
37	1, 9, 35, 36	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 < (𝑋 · 𝑌) ↔ ( 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))))
38	24, 32, 37	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207  lecple 17213  0_gc0g 17394  ltcplt 18273  Grpcgrp 18863  Ringcrg 20138  DivRingcdr 20587  oRingcorng 32916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-plt 18295  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-orng 32918

This theorem is referenced by: (None)