Theorem orngmullt 20850

Description: In an ordered ring, the strict ordering is compatible with the ring multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orngmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
orngmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
orngmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
orngmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
orngmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
orngmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
orngmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
orngmullt.x	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
orngmullt.y	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
orngmullt	⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem orngmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orngmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		orngmullt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
4		orngring 20841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 20217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6		orngmullt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		orngmullt.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	grpidcl 18939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
9	1, 4, 5, 8	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
10		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
11		orngmullt.l	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑅)
12	10, 11	pltval 18294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
13	1, 9, 2, 12	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
14	3, 13	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋))
15	14	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑋)
16		orngmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17		orngmullt.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
18	10, 11	pltval 18294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌)))
19	1, 9, 16, 18	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌)))
20	17, 19	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌))
21	20	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑌)
22		orngmullt.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	6, 10, 7, 22	orngmul 20844	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝑅)𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝑅)𝑌)) → 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
24	1, 2, 15, 16, 21, 23	syl122anc 1387	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
25	14	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑋)
26	25	necomd 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
27	20	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑌)
28	27	necomd 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
29		orngmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
30	6, 7, 22, 29, 2, 16	drngmulne0 20741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
31	26, 28, 30	mpbir2and 719	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
32	31	necomd 2990	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))
33	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	6, 22	ringcl 20229	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
35	33, 2, 16, 34	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
36	10, 11	pltval 18294	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 0 < (𝑋 · 𝑌) ↔ ( 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))))
37	1, 9, 35, 36	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 < (𝑋 · 𝑌) ↔ ( 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))))
38	24, 32, 37	mpbir2and 719	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  lecple 17225  0_gc0g 17400  ltcplt 18272  Grpcgrp 18907  Ringcrg 20212  DivRingcdr 20708  oRingcorng 20836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-plt 18292  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-nzr 20492  df-rlreg 20673  df-domn 20674  df-drng 20710  df-orng 20838

This theorem is referenced by: (None)