Theorem orngmullt 33072

Description: In an ordered ring, the strict ordering is compatible with the ring multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orngmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
orngmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
orngmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
orngmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
orngmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
orngmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
orngmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
orngmullt.x	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
orngmullt.y	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
orngmullt	⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem orngmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orngmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		orngmullt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
4		orngring 33063	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 20182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6		orngmullt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		orngmullt.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	grpidcl 18926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
9	1, 4, 5, 8	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
10		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
11		orngmullt.l	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑅)
12	10, 11	pltval 18323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
13	1, 9, 2, 12	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
14	3, 13	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋))
15	14	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑋)
16		orngmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17		orngmullt.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
18	10, 11	pltval 18323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌)))
19	1, 9, 16, 18	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌)))
20	17, 19	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌))
21	20	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑌)
22		orngmullt.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	6, 10, 7, 22	orngmul 33066	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝑅)𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝑅)𝑌)) → 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
24	1, 2, 15, 16, 21, 23	syl122anc 1376	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
25	14	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑋)
26	25	necomd 2986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
27	20	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑌)
28	27	necomd 2986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
29		orngmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
30	6, 7, 22, 29, 2, 16	drngmulne0 20658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
31	26, 28, 30	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
32	31	necomd 2986	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))
33	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	6, 22	ringcl 20194	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
35	33, 2, 16, 34	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
36	10, 11	pltval 18323	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 0 < (𝑋 · 𝑌) ↔ ( 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))))
37	1, 9, 35, 36	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 < (𝑋 · 𝑌) ↔ ( 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))))
38	24, 32, 37	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  lecple 17239  0_gc0g 17420  ltcplt 18299  Grpcgrp 18894  Ringcrg 20177  DivRingcdr 20628  oRingcorng 33058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-plt 18321  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-orng 33060

This theorem is referenced by: (None)