Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngmullt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orngmullt 33072
Description: In an ordered ring, the strict ordering is compatible with the ring multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orngmullt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
orngmullt.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
orngmullt.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
orngmullt.l < = (ltβ€˜π‘…)
orngmullt.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
orngmullt.4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
orngmullt.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
orngmullt.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
orngmullt.x (πœ‘ β†’ 0 < 𝑋)
orngmullt.y (πœ‘ β†’ 0 < π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
orngmullt (πœ‘ β†’ 0 < (𝑋 Β· π‘Œ))

Proof of Theorem orngmullt
StepHypRef Expression
1 orngmullt.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
2 orngmullt.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 orngmullt.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑋)
4 orngring 33063 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 20182 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 orngmullt.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 orngmullt.0 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
86, 7grpidcl 18926 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
91, 4, 5, 84syl 19 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
10 eqid 2725 . . . . . . 7 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
11 orngmullt.l . . . . . . 7 < = (ltβ€˜π‘…)
1210, 11pltval 18323 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜π‘…)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
131, 9, 2, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜π‘…)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
143, 13mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 (leβ€˜π‘…)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋))
1514simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑋)
16 orngmullt.3 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
17 orngmullt.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < π‘Œ)
1810, 11pltval 18323 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < π‘Œ ↔ ( 0 (leβ€˜π‘…)π‘Œ ∧ 0 β‰  π‘Œ)))
191, 9, 16, 18syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 0 < π‘Œ ↔ ( 0 (leβ€˜π‘…)π‘Œ ∧ 0 β‰  π‘Œ)))
2017, 19mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 (leβ€˜π‘…)π‘Œ ∧ 0 β‰  π‘Œ))
2120simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 (leβ€˜π‘…)π‘Œ)
22 orngmullt.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
236, 10, 7, 22orngmul 33066 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 (leβ€˜π‘…)𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 0 (leβ€˜π‘…)π‘Œ)) β†’ 0 (leβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
241, 2, 15, 16, 21, 23syl122anc 1376 . 2 (πœ‘ β†’ 0 (leβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
2514simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 β‰  𝑋)
2625necomd 2986 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
2720simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 β‰  π‘Œ)
2827necomd 2986 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
29 orngmullt.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
306, 7, 22, 29, 2, 16drngmulne0 20658 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) β‰  0 ↔ (𝑋 β‰  0 ∧ π‘Œ β‰  0 )))
3126, 28, 30mpbir2and 711 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) β‰  0 )
3231necomd 2986 . 2 (πœ‘ β†’ 0 β‰  (𝑋 Β· π‘Œ))
331, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
346, 22ringcl 20194 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
3533, 2, 16, 34syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
3610, 11pltval 18323 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < (𝑋 Β· π‘Œ) ↔ ( 0 (leβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ) ∧ 0 β‰  (𝑋 Β· π‘Œ))))
371, 9, 35, 36syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 < (𝑋 Β· π‘Œ) ↔ ( 0 (leβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ) ∧ 0 β‰  (𝑋 Β· π‘Œ))))
3824, 32, 37mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 0 < (𝑋 Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  lecple 17239  0gc0g 17420  ltcplt 18299  Grpcgrp 18894  Ringcrg 20177  DivRingcdr 20628  oRingcorng 33058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-plt 18321  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-orng 33060
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator