Theorem orngmullt 20900

Description: In an ordered ring, the strict ordering is compatible with the ring multiplication operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orngmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
orngmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
orngmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
orngmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
orngmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
orngmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
orngmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
orngmullt.x	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
orngmullt.y	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
orngmullt	⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem orngmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orngmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
2		orngmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		orngmullt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
4		orngring 20891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 20267	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6		orngmullt.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		orngmullt.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	grpidcl 18990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
9	1, 4, 5, 8	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
10		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
11		orngmullt.l	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑅)
12	10, 11	pltval 18345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
13	1, 9, 2, 12	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
14	3, 13	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 (le‘𝑅)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋))
15	14	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑋)
16		orngmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17		orngmullt.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
18	10, 11	pltval 18345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌)))
19	1, 9, 16, 18	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌)))
20	17, 19	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 (le‘𝑅)𝑌 ∧ 0 ≠ 𝑌))
21	20	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑌)
22		orngmullt.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	6, 10, 7, 22	orngmul 20894	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝑅)𝑋) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝑅)𝑌)) → 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
24	1, 2, 15, 16, 21, 23	syl122anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
25	14	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑋)
26	25	necomd 3011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
27	20	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑌)
28	27	necomd 3011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
29		orngmullt.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
30	6, 7, 22, 29, 2, 16	drngmulne0 20791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
31	26, 28, 30	mpbir2and 723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
32	31	necomd 3011	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))
33	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
34	6, 22	ringcl 20279	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
35	33, 2, 16, 34	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
36	10, 11	pltval 18345	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 0 < (𝑋 · 𝑌) ↔ ( 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))))
37	1, 9, 35, 36	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 < (𝑋 · 𝑌) ↔ ( 0 (le‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ 0 ≠ (𝑋 · 𝑌))))
38	24, 32, 37	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  lecple 17276  0_gc0g 17451  ltcplt 18323  Grpcgrp 18958  Ringcrg 20262  DivRingcdr 20758  oRingcorng 20886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-plt 18343  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-nzr 20542  df-rlreg 20723  df-domn 20724  df-drng 20760  df-orng 20888

This theorem is referenced by: (None)