Theorem pmtrffv 19530

Description: Mapping of a point under a transposition function. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇
pmtrfrn.p	⊢ 𝑃 = dom (𝐹 ∖ I )

Assertion

Ref	Expression
pmtrffv	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑍) = if(𝑍 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))

Proof of Theorem pmtrffv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		pmtrfrn.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19529	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘𝑃)))
5	4	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹 = (𝑇‘𝑃))
6	5	fveq1d 6885	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐹‘𝑍) = ((𝑇‘𝑃)‘𝑍))
7	6	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑍) = ((𝑇‘𝑃)‘𝑍))
8	4	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o))
9	1	pmtrfv 19523	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → ((𝑇‘𝑃)‘𝑍) = if(𝑍 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))
10	8, 9	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → ((𝑇‘𝑃)‘𝑍) = if(𝑍 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))
11	7, 10	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑍) = if(𝑍 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4488  {csn 4590  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110   I cid 5557  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6538  2_oc2o 8448   ≈ cen 8941  pmTrspcpmtr 19512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7864  df-1o 8454  df-2o 8455  df-en 8945  df-pmtr 19513

This theorem is referenced by:  pmtrfinv  19532  pmtrdifellem3  19549  pmtrdifellem4  19550  psgnunilem1  19564