Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrffv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrffv 18582
 Description: Mapping of a point under a transposition function. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
pmtrfrn.p 𝑃 = dom (𝐹 ∖ I )
Assertion
Ref Expression
pmtrffv ((𝐹𝑅𝑍𝐷) → (𝐹𝑍) = if(𝑍𝑃, (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))

Proof of Theorem pmtrffv
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . 6 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . 6 𝑅 = ran 𝑇
3 pmtrfrn.p . . . . . 6 𝑃 = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 18581 . . . . 5 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇𝑃)))
54simprd 499 . . . 4 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇𝑃))
65fveq1d 6651 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝐹𝑍) = ((𝑇𝑃)‘𝑍))
76adantr 484 . 2 ((𝐹𝑅𝑍𝐷) → (𝐹𝑍) = ((𝑇𝑃)‘𝑍))
84simpld 498 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o))
91pmtrfv 18575 . . 3 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑍𝐷) → ((𝑇𝑃)‘𝑍) = if(𝑍𝑃, (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))
108, 9sylan 583 . 2 ((𝐹𝑅𝑍𝐷) → ((𝑇𝑃)‘𝑍) = if(𝑍𝑃, (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))
117, 10eqtrd 2836 1 ((𝐹𝑅𝑍𝐷) → (𝐹𝑍) = if(𝑍𝑃, (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528  ∪ cuni 4803   class class class wbr 5033   I cid 5427  dom cdm 5523  ran crn 5524  ‘cfv 6328  2oc2o 8083   ≈ cen 8493  pmTrspcpmtr 18564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500  df-pmtr 18565 This theorem is referenced by:  pmtrfinv  18584  pmtrdifellem3  18601  pmtrdifellem4  18602  psgnunilem1  18616
 Copyright terms: Public domain W3C validator