Theorem pmtrffv 19501

Description: Mapping of a point under a transposition function. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇
pmtrfrn.p	⊢ 𝑃 = dom (𝐹 ∖ I )

Assertion

Ref	Expression
pmtrffv	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑍) = if(𝑍 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))

Proof of Theorem pmtrffv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		pmtrfrn.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19500	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘𝑃)))
5	4	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹 = (𝑇‘𝑃))
6	5	fveq1d 6922	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐹‘𝑍) = ((𝑇‘𝑃)‘𝑍))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑍) = ((𝑇‘𝑃)‘𝑍))
8	4	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o))
9	1	pmtrfv 19494	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → ((𝑇‘𝑃)‘𝑍) = if(𝑍 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))
10	8, 9	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → ((𝑇‘𝑃)‘𝑍) = if(𝑍 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))
11	7, 10	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑅 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑍) = if(𝑍 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑍}), 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   I cid 5592  dom cdm 5700  ran crn 5701  ‘cfv 6573  2_oc2o 8516   ≈ cen 9000  pmTrspcpmtr 19483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-2o 8523  df-en 9004  df-pmtr 19484

This theorem is referenced by:  pmtrfinv  19503  pmtrdifellem3  19520  pmtrdifellem4  19521  psgnunilem1  19535