MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifellem3 18737
Description: Lemma 3 for pmtrdifel 18739. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem3 (𝑄𝑇 → ∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄𝑥) = (𝑆𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑄   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifellem3
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . . . . 7 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 pmtrdifel.r . . . . . . 7 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3 pmtrdifel.0 . . . . . . 7 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
41, 2, 3pmtrdifellem2 18736 . . . . . 6 (𝑄𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
54adantr 484 . . . . 5 ((𝑄𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
65eleq2d 2819 . . . 4 ((𝑄𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
74difeq1d 4022 . . . . . 6 (𝑄𝑇 → (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝑥}) = (dom (𝑄 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
87unieqd 4820 . . . . 5 (𝑄𝑇 (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝑥}) = (dom (𝑄 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
98adantr 484 . . . 4 ((𝑄𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝑥}) = (dom (𝑄 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
106, 9ifbieq1d 4448 . . 3 ((𝑄𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑥 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝑥}), 𝑥) = if(𝑥 ∈ dom (𝑄 ∖ I ), (dom (𝑄 ∖ I ) ∖ {𝑥}), 𝑥))
111, 2, 3pmtrdifellem1 18735 . . . 4 (𝑄𝑇𝑆𝑅)
12 eldifi 4027 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑥𝑁)
13 eqid 2739 . . . . 5 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
14 eqid 2739 . . . . 5 dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
1513, 2, 14pmtrffv 18718 . . . 4 ((𝑆𝑅𝑥𝑁) → (𝑆𝑥) = if(𝑥 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝑥}), 𝑥))
1611, 12, 15syl2an 599 . . 3 ((𝑄𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑆𝑥) = if(𝑥 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝑥}), 𝑥))
17 eqid 2739 . . . 4 (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
18 eqid 2739 . . . 4 dom (𝑄 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I )
1917, 1, 18pmtrffv 18718 . . 3 ((𝑄𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑥) = if(𝑥 ∈ dom (𝑄 ∖ I ), (dom (𝑄 ∖ I ) ∖ {𝑥}), 𝑥))
2010, 16, 193eqtr4rd 2785 . 2 ((𝑄𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑥) = (𝑆𝑥))
2120ralrimiva 3097 1 (𝑄𝑇 → ∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑄𝑥) = (𝑆𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  cdif 3850  ifcif 4424  {csn 4526   cuni 4806   I cid 5438  dom cdm 5535  ran crn 5536  cfv 6350  pmTrspcpmtr 18700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7613  df-1o 8144  df-2o 8145  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-pmtr 18701
This theorem is referenced by:  pmtrdifel  18739  pmtrdifwrdellem3  18742
  Copyright terms: Public domain W3C validator