MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifellem4 19346
Description: Lemma 4 for pmtrdifel 19347. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem pmtrdifellem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 pmtrdifel.r . . . 4 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3 pmtrdifel.0 . . . 4 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
41, 2, 3pmtrdifellem1 19343 . . 3 (𝑄𝑇𝑆𝑅)
5 eqid 2732 . . . 4 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
6 eqid 2732 . . . 4 dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
75, 2, 6pmtrffv 19326 . . 3 ((𝑆𝑅𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
84, 7sylan 580 . 2 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
9 eqid 2732 . . . . . . . 8 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
111, 9, 10symgtrf 19336 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
1211sseli 3978 . . . . . 6 (𝑄𝑇𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
139, 10symgbasf 19242 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
14 ffn 6717 . . . . . . 7 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
15 fndifnfp 7173 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥})
16 ssrab2 4077 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾})
17 ssel2 3977 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}) → 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
18 eldif 3958 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐾𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}))
19 elsng 4642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝑁 → (𝐾 ∈ {𝐾} ↔ 𝐾 = 𝐾))
2019notbid 317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} ↔ ¬ 𝐾 = 𝐾))
21 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = 𝐾
2221pm2.24i 150 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = 𝐾 → ¬ 𝐾𝑁)
2320, 22syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} → ¬ 𝐾𝑁))
2423imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}) → ¬ 𝐾𝑁)
2518, 24sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝐾𝑁)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}) → ¬ 𝐾𝑁)
2716, 26mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → ¬ 𝐾𝑁)
2827con2i 139 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥})
29 eleq2 2822 . . . . . . . . 9 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}))
3029notbid 317 . . . . . . . 8 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}))
3128, 30imbitrrid 245 . . . . . . 7 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3214, 15, 313syl 18 . . . . . 6 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3312, 13, 323syl 18 . . . . 5 (𝑄𝑇 → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3433imp 407 . . . 4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ))
351, 2, 3pmtrdifellem2 19344 . . . . . 6 (𝑄𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
3635eleq2d 2819 . . . . 5 (𝑄𝑇 → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3736adantr 481 . . . 4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3834, 37mtbird 324 . . 3 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ))
3938iffalsed 4539 . 2 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾) = 𝐾)
408, 39eqtrd 2772 1 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  {crab 3432  cdif 3945  wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   cuni 4908   I cid 5573  dom cdm 5676  ran crn 5677   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  Basecbs 17143  SymGrpcsymg 19233  pmTrspcpmtr 19308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18749  df-symg 19234  df-pmtr 19309
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  19351
  Copyright terms: Public domain W3C validator