MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifellem4 19497
Description: Lemma 4 for pmtrdifel 19498. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem pmtrdifellem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 pmtrdifel.r . . . 4 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3 pmtrdifel.0 . . . 4 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
41, 2, 3pmtrdifellem1 19494 . . 3 (𝑄𝑇𝑆𝑅)
5 eqid 2737 . . . 4 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
6 eqid 2737 . . . 4 dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
75, 2, 6pmtrffv 19477 . . 3 ((𝑆𝑅𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
84, 7sylan 580 . 2 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
9 eqid 2737 . . . . . . . 8 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
111, 9, 10symgtrf 19487 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
1211sseli 3979 . . . . . 6 (𝑄𝑇𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
139, 10symgbasf 19393 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
14 ffn 6736 . . . . . . 7 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
15 fndifnfp 7196 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥})
16 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾})
17 ssel2 3978 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}) → 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
18 eldif 3961 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐾𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}))
19 elsng 4640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝑁 → (𝐾 ∈ {𝐾} ↔ 𝐾 = 𝐾))
2019notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} ↔ ¬ 𝐾 = 𝐾))
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = 𝐾
2221pm2.24i 150 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = 𝐾 → ¬ 𝐾𝑁)
2320, 22biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} → ¬ 𝐾𝑁))
2423imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}) → ¬ 𝐾𝑁)
2518, 24sylbi 217 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝐾𝑁)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}) → ¬ 𝐾𝑁)
2716, 26mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → ¬ 𝐾𝑁)
2827con2i 139 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥})
29 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}))
3029notbid 318 . . . . . . . 8 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}))
3128, 30imbitrrid 246 . . . . . . 7 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3214, 15, 313syl 18 . . . . . 6 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3312, 13, 323syl 18 . . . . 5 (𝑄𝑇 → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3433imp 406 . . . 4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ))
351, 2, 3pmtrdifellem2 19495 . . . . . 6 (𝑄𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
3635eleq2d 2827 . . . . 5 (𝑄𝑇 → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3736adantr 480 . . . 4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3834, 37mtbird 325 . . 3 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ))
3938iffalsed 4536 . 2 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾) = 𝐾)
408, 39eqtrd 2777 1 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  cdif 3948  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   cuni 4907   I cid 5577  dom cdm 5685  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19386  pmTrspcpmtr 19459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882  df-symg 19387  df-pmtr 19460
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  19502
  Copyright terms: Public domain W3C validator