Theorem pmtrdifellem4 19391

Description: Lemma 4 for pmtrdifel 19392. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0	⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem4	⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem pmtrdifellem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		pmtrdifel.0	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
4	1, 2, 3	pmtrdifellem1 19388	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
7	5, 2, 6	pmtrffv 19371	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
8	4, 7	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
9		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
11	1, 9, 10	symgtrf 19381	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
12	11	sseli 3925	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
13	9, 10	symgbasf 19288	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
14		ffn 6651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
15		fndifnfp 7110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
16		ssrab2 4027	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾})
17		ssel2 3924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
18		eldif 3907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}))
19		elsng 4587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ {𝐾} ↔ 𝐾 = 𝐾))
20	19	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} ↔ ¬ 𝐾 = 𝐾))
21		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 = 𝐾
22	21	pm2.24i 150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐾 = 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
23	20, 22	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁))
24	23	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
25	18, 24	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
26	17, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
27	16, 26	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
28	27	con2i 139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
29		eleq2 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
30	29	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
31	28, 30	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
32	14, 15, 31	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
33	12, 13, 32	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
34	33	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ))
35	1, 2, 3	pmtrdifellem2 19389	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
36	35	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
38	34, 37	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ))
39	38	iffalsed 4483	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾) = 𝐾)
40	8, 39	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ifcif 4472  {csn 4573  ∪ cuni 4856   I cid 5508  dom cdm 5614  ran crn 5615   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  SymGrpcsymg 19281  pmTrspcpmtr 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-efmnd 18777  df-symg 19282  df-pmtr 19354

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  19396