MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifellem4 18527
Description: Lemma 4 for pmtrdifel 18528. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem pmtrdifellem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 pmtrdifel.r . . . 4 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3 pmtrdifel.0 . . . 4 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
41, 2, 3pmtrdifellem1 18524 . . 3 (𝑄𝑇𝑆𝑅)
5 eqid 2826 . . . 4 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
6 eqid 2826 . . . 4 dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
75, 2, 6pmtrffv 18507 . . 3 ((𝑆𝑅𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
84, 7sylan 580 . 2 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
9 eqid 2826 . . . . . . . 8 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10 eqid 2826 . . . . . . . 8 (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
111, 9, 10symgtrf 18517 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
1211sseli 3967 . . . . . 6 (𝑄𝑇𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
139, 10symgbasf 18432 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
14 ffn 6511 . . . . . . 7 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
15 fndifnfp 6934 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥})
16 ssrab2 4060 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾})
17 ssel2 3966 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}) → 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
18 eldif 3950 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐾𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}))
19 elsng 4578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝑁 → (𝐾 ∈ {𝐾} ↔ 𝐾 = 𝐾))
2019notbid 319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} ↔ ¬ 𝐾 = 𝐾))
21 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = 𝐾
2221pm2.24i 153 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = 𝐾 → ¬ 𝐾𝑁)
2320, 22syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} → ¬ 𝐾𝑁))
2423imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}) → ¬ 𝐾𝑁)
2518, 24sylbi 218 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝐾𝑁)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}) → ¬ 𝐾𝑁)
2716, 26mpan 686 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → ¬ 𝐾𝑁)
2827con2i 141 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥})
29 eleq2 2906 . . . . . . . . 9 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}))
3029notbid 319 . . . . . . . 8 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}))
3128, 30syl5ibr 247 . . . . . . 7 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3214, 15, 313syl 18 . . . . . 6 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3312, 13, 323syl 18 . . . . 5 (𝑄𝑇 → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3433imp 407 . . . 4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ))
351, 2, 3pmtrdifellem2 18525 . . . . . 6 (𝑄𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
3635eleq2d 2903 . . . . 5 (𝑄𝑇 → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3736adantr 481 . . . 4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3834, 37mtbird 326 . . 3 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ))
3938iffalsed 4481 . 2 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾) = 𝐾)
408, 39eqtrd 2861 1 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  {crab 3147  cdif 3937  wss 3940  ifcif 4470  {csn 4564   cuni 4837   I cid 5458  dom cdm 5554  ran crn 5555   Fn wfn 6347  wf 6348  cfv 6352  Basecbs 16473  SymGrpcsymg 18425  pmTrspcpmtr 18489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-plusg 16568  df-tset 16574  df-symg 18426  df-pmtr 18490
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  18532
  Copyright terms: Public domain W3C validator