Theorem pmtrdifellem4 19549

Description: Lemma 4 for pmtrdifel 19550. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0	⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem4	⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem pmtrdifellem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		pmtrdifel.0	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
4	1, 2, 3	pmtrdifellem1 19546	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
7	5, 2, 6	pmtrffv 19529	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
8	4, 7	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
9		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
11	1, 9, 10	symgtrf 19539	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
12	11	sseli 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
13	9, 10	symgbasf 19446	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
14		ffn 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
15		fndifnfp 7175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
16		ssrab2 4042	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾})
17		ssel2 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
18		eldif 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}))
19		elsng 4608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ {𝐾} ↔ 𝐾 = 𝐾))
20	19	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} ↔ ¬ 𝐾 = 𝐾))
21		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 = 𝐾
22	21	pm2.24i 151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐾 = 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
23	20, 22	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁))
24	23	imp 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
25	18, 24	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
26	17, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
27	16, 26	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
28	27	con2i 140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
29		eleq2 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
30	29	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
31	28, 30	imbitrrid 249	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
32	14, 15, 31	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
33	12, 13, 32	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
34	33	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ))
35	1, 2, 3	pmtrdifellem2 19547	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
36	35	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
37	36	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
38	34, 37	mtbird 328	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ))
39	38	iffalsed 4503	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾) = 𝐾)
40	8, 39	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ifcif 4492  {csn 4594  ∪ cuni 4876   I cid 5556  dom cdm 5662  ran crn 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  SymGrpcsymg 19439  pmTrspcpmtr 19511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-tset 17329  df-efmnd 18928  df-symg 19440  df-pmtr 19512

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  19554