MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifellem4 19511
Description: Lemma 4 for pmtrdifel 19512. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem pmtrdifellem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrdifel.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 pmtrdifel.r . . . 4 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3 pmtrdifel.0 . . . 4 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
41, 2, 3pmtrdifellem1 19508 . . 3 (𝑄𝑇𝑆𝑅)
5 eqid 2734 . . . 4 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
6 eqid 2734 . . . 4 dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
75, 2, 6pmtrffv 19491 . . 3 ((𝑆𝑅𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
84, 7sylan 580 . 2 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
9 eqid 2734 . . . . . . . 8 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10 eqid 2734 . . . . . . . 8 (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
111, 9, 10symgtrf 19501 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
1211sseli 3990 . . . . . 6 (𝑄𝑇𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
139, 10symgbasf 19407 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
14 ffn 6736 . . . . . . 7 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
15 fndifnfp 7195 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥})
16 ssrab2 4089 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾})
17 ssel2 3989 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}) → 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
18 eldif 3972 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐾𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}))
19 elsng 4644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝑁 → (𝐾 ∈ {𝐾} ↔ 𝐾 = 𝐾))
2019notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} ↔ ¬ 𝐾 = 𝐾))
21 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = 𝐾
2221pm2.24i 150 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = 𝐾 → ¬ 𝐾𝑁)
2320, 22biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} → ¬ 𝐾𝑁))
2423imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}) → ¬ 𝐾𝑁)
2518, 24sylbi 217 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝐾𝑁)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}) → ¬ 𝐾𝑁)
2716, 26mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → ¬ 𝐾𝑁)
2827con2i 139 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥})
29 eleq2 2827 . . . . . . . . 9 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}))
3029notbid 318 . . . . . . . 8 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥}))
3128, 30imbitrrid 246 . . . . . . 7 (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3214, 15, 313syl 18 . . . . . 6 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3312, 13, 323syl 18 . . . . 5 (𝑄𝑇 → (𝐾𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3433imp 406 . . . 4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ))
351, 2, 3pmtrdifellem2 19509 . . . . . 6 (𝑄𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
3635eleq2d 2824 . . . . 5 (𝑄𝑇 → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3736adantr 480 . . . 4 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
3834, 37mtbird 325 . . 3 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ))
3938iffalsed 4541 . 2 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾) = 𝐾)
408, 39eqtrd 2774 1 ((𝑄𝑇𝐾𝑁) → (𝑆𝐾) = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  {crab 3432  cdif 3959  wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630   cuni 4911   I cid 5581  dom cdm 5688  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  Basecbs 17244  SymGrpcsymg 19400  pmTrspcpmtr 19473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18894  df-symg 19401  df-pmtr 19474
This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  19516
  Copyright terms: Public domain W3C validator