Theorem pmtrdifellem4 18599

Description: Lemma 4 for pmtrdifel 18600. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0	⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem4	⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem pmtrdifellem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		pmtrdifel.0	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
4	1, 2, 3	pmtrdifellem1 18596	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)
5		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
6		eqid 2798	. . . 4 ⊢ dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
7	5, 2, 6	pmtrffv 18579	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
8	4, 7	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
9		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
11	1, 9, 10	symgtrf 18589	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
12	11	sseli 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
13	9, 10	symgbasf 18496	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
14		ffn 6487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
15		fndifnfp 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
16		ssrab2 4007	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾})
17		ssel2 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
18		eldif 3891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}))
19		elsng 4539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ {𝐾} ↔ 𝐾 = 𝐾))
20	19	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} ↔ ¬ 𝐾 = 𝐾))
21		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 = 𝐾
22	21	pm2.24i 153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐾 = 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
23	20, 22	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁))
24	23	imp 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
25	18, 24	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
26	17, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
27	16, 26	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
28	27	con2i 141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
29		eleq2 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
30	29	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
31	28, 30	syl5ibr 249	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
32	14, 15, 31	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
33	12, 13, 32	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
34	33	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ))
35	1, 2, 3	pmtrdifellem2 18597	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
36	35	eleq2d 2875	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
37	36	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
38	34, 37	mtbird 328	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ))
39	38	iffalsed 4436	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾) = 𝐾)
40	8, 39	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  {csn 4525  ∪ cuni 4800   I cid 5424  dom cdm 5519  ran crn 5520   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  SymGrpcsymg 18487  pmTrspcpmtr 18561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-tset 16576  df-efmnd 18026  df-symg 18488  df-pmtr 18562

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  18604