Theorem pmtrdifellem4 19595

Description: Lemma 4 for pmtrdifel 19596. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0	⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem4	⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem pmtrdifellem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		pmtrdifel.0	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
4	1, 2, 3	pmtrdifellem1 19592	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
7	5, 2, 6	pmtrffv 19575	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
8	4, 7	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
9		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
11	1, 9, 10	symgtrf 19585	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
12	11	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
13	9, 10	symgbasf 19492	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
14		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
15		fndifnfp 7180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
16		ssrab2 4035	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾})
17		ssel2 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
18		eldif 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}))
19		elsng 4605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ {𝐾} ↔ 𝐾 = 𝐾))
20	19	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} ↔ ¬ 𝐾 = 𝐾))
21		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 = 𝐾
22	21	pm2.24i 151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐾 = 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
23	20, 22	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁))
24	23	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
25	18, 24	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
26	17, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
27	16, 26	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
28	27	con2i 140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
29		eleq2 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
30	29	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
31	28, 30	imbitrrid 249	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
32	14, 15, 31	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
33	12, 13, 32	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
34	33	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ))
35	1, 2, 3	pmtrdifellem2 19593	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
36	35	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
38	34, 37	mtbird 328	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ))
39	38	iffalsed 4500	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾) = 𝐾)
40	8, 39	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {csn 4591  ∪ cuni 4874   I cid 5557  dom cdm 5663  ran crn 5664   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  Basecbs 17293  SymGrpcsymg 19485  pmTrspcpmtr 19557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-tset 17353  df-efmnd 18967  df-symg 19486  df-pmtr 19558

This theorem is used by:  pmtrdifwrdel2lem1  19600