Theorem poml5N 40652

Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
poml4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
poml4.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
poml5N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem poml5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
3		poml4.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		poml4.p	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
5	3, 4	polssatN 40606	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
7	2, 6	sstrd 3955	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
8	1, 7, 6	3jca 1144	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴))
9	3, 4	3polN 40614	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
10	9	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
11	2, 10	jca 520	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌)))
12	3, 4	poml4N 40651	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
13	8, 11, 12	sylc 66	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  Atomscatm 39961  HLchlt 40048  ⊥_𝑃cpolN 40600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-oposet 39874  df-ol 39876  df-oml 39877  df-covers 39964  df-ats 39965  df-atl 39996  df-cvlat 40020  df-hlat 40049  df-psubsp 40201  df-pmap 40202  df-polarityN 40601

This theorem is referenced by:  osumcllem3N  40656