Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poml5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poml5N 37964
Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
poml4.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poml5N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( ‘(( 𝑋) ∩ ( 𝑌))) ∩ ( 𝑌)) = ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem poml5N
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
3 poml4.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 poml4.p . . . . . 6 = (⊥𝑃𝐾)
53, 4polssatN 37918 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
653adant3 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
72, 6sstrd 3936 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋𝐴)
81, 7, 63jca 1127 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑌) ⊆ 𝐴))
93, 43polN 37926 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
1093adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
112, 10jca 512 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌)))
123, 4poml4N 37963 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑌) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌)) → (( ‘(( 𝑋) ∩ ( 𝑌))) ∩ ( 𝑌)) = ( ‘( 𝑋))))
138, 11, 12sylc 65 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( ‘(( 𝑋) ∩ ( 𝑌))) ∩ ( 𝑌)) = ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  cin 3891  wss 3892  cfv 6432  Atomscatm 37273  HLchlt 37360  𝑃cpolN 37912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-riotaBAD 36963
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-undef 8080  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-polarityN 37913
This theorem is referenced by:  osumcllem3N  37968
  Copyright terms: Public domain W3C validator