Theorem poml5N 39336

Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
poml4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
poml4.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
poml5N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem poml5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
3		poml4.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		poml4.p	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
5	3, 4	polssatN 39290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
7	2, 6	sstrd 3987	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
8	1, 7, 6	3jca 1125	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴))
9	3, 4	3polN 39298	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
10	9	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌))
11	2, 10	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌)))
12	3, 4	poml4N 39335	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
13	8, 11, 12	sylc 65	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌))) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6536  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  ⊥_𝑃cpolN 39284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-polarityN 39285

This theorem is referenced by:  osumcllem3N  39340