MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  precsexlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem precsexlem2 28246
Description: Lemma for surreal reciprocals. Calculate the value of the recursive right function at zero. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
precsexlem.1 ๐น = rec((๐‘ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘) / ๐‘™โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘) / ๐‘ŸโฆŒโŸจ(๐‘™ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐‘…)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)})), (๐‘Ÿ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐‘…)}))โŸฉ), โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ)
precsexlem.2 ๐ฟ = (1st โˆ˜ ๐น)
precsexlem.3 ๐‘… = (2nd โˆ˜ ๐น)
Assertion
Ref Expression
precsexlem2 (๐‘…โ€˜โˆ…) = โˆ…

Proof of Theorem precsexlem2
StepHypRef Expression
1 precsexlem.3 . . 3 ๐‘… = (2nd โˆ˜ ๐น)
21fveq1i 6907 . 2 (๐‘…โ€˜โˆ…) = ((2nd โˆ˜ ๐น)โ€˜โˆ…)
3 rdgfnon 8456 . . . 4 rec((๐‘ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘) / ๐‘™โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘) / ๐‘ŸโฆŒโŸจ(๐‘™ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐‘…)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)})), (๐‘Ÿ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐‘…)}))โŸฉ), โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ) Fn On
4 precsexlem.1 . . . . 5 ๐น = rec((๐‘ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘) / ๐‘™โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘) / ๐‘ŸโฆŒโŸจ(๐‘™ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐‘…)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)})), (๐‘Ÿ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐‘…)}))โŸฉ), โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ)
54fneq1i 6665 . . . 4 (๐น Fn On โ†” rec((๐‘ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘) / ๐‘™โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘) / ๐‘ŸโฆŒโŸจ(๐‘™ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐‘…)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)})), (๐‘Ÿ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐‘…)}))โŸฉ), โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ) Fn On)
63, 5mpbir 231 . . 3 ๐น Fn On
7 0elon 6439 . . 3 โˆ… โˆˆ On
8 fvco2 7005 . . 3 ((๐น Fn On โˆง โˆ… โˆˆ On) โ†’ ((2nd โˆ˜ ๐น)โ€˜โˆ…) = (2nd โ€˜(๐นโ€˜โˆ…)))
96, 7, 8mp2an 692 . 2 ((2nd โˆ˜ ๐น)โ€˜โˆ…) = (2nd โ€˜(๐นโ€˜โˆ…))
104fveq1i 6907 . . . . 5 (๐นโ€˜โˆ…) = (rec((๐‘ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘) / ๐‘™โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘) / ๐‘ŸโฆŒโŸจ(๐‘™ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐‘…)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)})), (๐‘Ÿ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐‘…)}))โŸฉ), โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ)โ€˜โˆ…)
11 opex 5474 . . . . . 6 โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ โˆˆ V
1211rdg0 8459 . . . . 5 (rec((๐‘ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘) / ๐‘™โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘) / ๐‘ŸโฆŒโŸจ(๐‘™ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐‘…)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)})), (๐‘Ÿ โˆช ({๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐ฟ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆฃ 0s <s ๐‘ฅ}โˆƒ๐‘ฆ๐ฟ โˆˆ ๐‘™ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐ฟ -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐ฟ)) /su ๐‘ฅ๐ฟ)} โˆช {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ๐‘… โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ๐‘… โˆˆ ๐‘Ÿ ๐‘Ž = (( 1s +s ((๐‘ฅ๐‘… -s ๐ด) ยทs ๐‘ฆ๐‘…)) /su ๐‘ฅ๐‘…)}))โŸฉ), โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ)โ€˜โˆ…) = โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ
1310, 12eqtri 2762 . . . 4 (๐นโ€˜โˆ…) = โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ
1413fveq2i 6909 . . 3 (2nd โ€˜(๐นโ€˜โˆ…)) = (2nd โ€˜โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ)
15 snex 5441 . . . 4 { 0s } โˆˆ V
16 0ex 5312 . . . 4 โˆ… โˆˆ V
1715, 16op2nd 8021 . . 3 (2nd โ€˜โŸจ{ 0s }, โˆ…โŸฉ) = โˆ…
1814, 17eqtri 2762 . 2 (2nd โ€˜(๐นโ€˜โˆ…)) = โˆ…
192, 9, 183eqtri 2766 1 (๐‘…โ€˜โˆ…) = โˆ…
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536   โˆˆ wcel 2105  {cab 2711  โˆƒwrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  โฆ‹csb 3907   โˆช cun 3960  โˆ…c0 4338  {csn 4630  โŸจcop 4636   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   โˆ˜ ccom 5692  Oncon0 6385   Fn wfn 6557  โ€˜cfv 6562  (class class class)co 7430  1st c1st 8010  2nd c2nd 8011  reccrdg 8447   <s cslt 27699   0s c0s 27881   1s c1s 27882   L cleft 27898   R cright 27899   +s cadds 28006   -s csubs 28066   ยทs cmuls 28146   /su cdivs 28227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448
This theorem is referenced by:  precsexlem8  28252  precsexlem9  28253
  Copyright terms: Public domain W3C validator