Theorem op2nd 8039

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 8033	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nda 6259	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
5	1, 4	eqtri 2768	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648  ⟨cop 4654  ∪ cuni 4931  ran crn 5701  ‘cfv 6573  2^nd c2nd 8029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-2nd 8031

This theorem is referenced by:  op2ndd  8041  op2ndg  8043  2ndval2  8048  fo2ndres  8057  opreuopreu  8075  eloprabi  8104  fo2ndf  8162  f1o2ndf1  8163  seqomlem1  8506  seqomlem2  8507  xpmapenlem  9210  fseqenlem2  10094  axdc4lem  10524  iunfo  10608  archnq  11049  om2uzrdg  14007  uzrdgsuci  14011  fsum2dlem  15818  fprod2dlem  16028  ruclem8  16285  ruclem11  16288  eucalglt  16632  idfu2nd  17941  idfucl  17945  cofu2nd  17949  cofucl  17952  xpccatid  18257  prf2nd  18274  curf2ndf  18317  yonedalem22  18348  gaid  19339  2ndcctbss  23484  upxp  23652  uptx  23654  txkgen  23681  cnheiborlem  25005  ovollb2lem  25542  ovolctb  25544  ovoliunlem2  25557  ovolshftlem1  25563  ovolscalem1  25567  ovolicc1  25570  addsqnreup  27505  2sqreuop  27524  2sqreuopnn  27525  2sqreuoplt  27526  2sqreuopltb  27527  2sqreuopnnlt  27528  2sqreuopnnltb  27529  precsexlem2  28250  precsexlem5  28253  om2noseqrdg  28328  noseqrdgsuc  28332  wlkswwlksf1o  29912  clwlkclwwlkfo  30041  ex-2nd  30477  cnnvs  30712  cnnvnm  30713  h2hsm  31007  h2hnm  31008  hhsssm  31290  hhssnm  31291  2ndimaxp  32665  2ndresdju  32667  aciunf1lem  32680  gsumpart  33038  rlocf1  33245  fracfld  33275  eulerpartlemgvv  34341  eulerpartlemgh  34343  satfv0fvfmla0  35381  sategoelfvb  35387  prv1n  35399  msubff1  35524  msubvrs  35528  poimirlem17  37597  heiborlem7  37777  heiborlem8  37778  dvhvaddass  41054  dvhlveclem  41065  diblss  41127  aks6d1c3  42080  pellexlem5  42789  pellex  42791  dvnprodlem1  45867  hoicvr  46469  hoicvrrex  46477  ovn0lem  46486  ovnhoilem1  46522  ovnlecvr2  46531  ovolval5lem2  46574