Theorem op2nd 7840

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 7834	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nda 6131	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
5	1, 4	eqtri 2766	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561  ⟨cop 4567  ∪ cuni 4839  ran crn 5590  ‘cfv 6433  2^nd c2nd 7830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-2nd 7832

This theorem is referenced by:  op2ndd  7842  op2ndg  7844  2ndval2  7849  fo2ndres  7858  opreuopreu  7876  eloprabi  7903  fo2ndf  7962  f1o2ndf1  7963  seqomlem1  8281  seqomlem2  8282  xpmapenlem  8931  fseqenlem2  9781  axdc4lem  10211  iunfo  10295  archnq  10736  om2uzrdg  13676  uzrdgsuci  13680  fsum2dlem  15482  fprod2dlem  15690  ruclem8  15946  ruclem11  15949  eucalglt  16290  idfu2nd  17592  idfucl  17596  cofu2nd  17600  cofucl  17603  xpccatid  17905  prf2nd  17922  curf2ndf  17965  yonedalem22  17996  gaid  18905  2ndcctbss  22606  upxp  22774  uptx  22776  txkgen  22803  cnheiborlem  24117  ovollb2lem  24652  ovolctb  24654  ovoliunlem2  24667  ovolshftlem1  24673  ovolscalem1  24677  ovolicc1  24680  addsqnreup  26591  2sqreuop  26610  2sqreuopnn  26611  2sqreuoplt  26612  2sqreuopltb  26613  2sqreuopnnlt  26614  2sqreuopnnltb  26615  wlkswwlksf1o  28244  clwlkclwwlkfo  28373  ex-2nd  28809  cnnvs  29042  cnnvnm  29043  h2hsm  29337  h2hnm  29338  hhsssm  29620  hhssnm  29621  2ndimaxp  30984  2ndresdju  30986  aciunf1lem  30999  gsumpart  31315  eulerpartlemgvv  32343  eulerpartlemgh  32345  satfv0fvfmla0  33375  sategoelfvb  33381  prv1n  33393  msubff1  33518  msubvrs  33522  ot22ndd  33681  poimirlem17  35794  heiborlem7  35975  heiborlem8  35976  dvhvaddass  39111  dvhlveclem  39122  diblss  39184  pellexlem5  40655  pellex  40657  dvnprodlem1  43487  hoicvr  44086  hoicvrrex  44094  ovn0lem  44103  ovnhoilem1  44139  ovnlecvr2  44148  ovolval5lem2  44191