Theorem op2nd 7997

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 7991	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nda 6217	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
5	1, 4	eqtri 2758	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  {csn 4601  ⟨cop 4607  ∪ cuni 4883  ran crn 5655  ‘cfv 6531  2^nd c2nd 7987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-2nd 7989

This theorem is referenced by:  op2ndd  7999  op2ndg  8001  2ndval2  8006  fo2ndres  8015  opreuopreu  8033  eloprabi  8062  fo2ndf  8120  f1o2ndf1  8121  seqomlem1  8464  seqomlem2  8465  xpmapenlem  9158  fseqenlem2  10039  axdc4lem  10469  iunfo  10553  archnq  10994  om2uzrdg  13974  uzrdgsuci  13978  fsum2dlem  15786  fprod2dlem  15996  ruclem8  16255  ruclem11  16258  eucalglt  16604  idfu2nd  17890  idfucl  17894  cofu2nd  17898  cofucl  17901  xpccatid  18200  prf2nd  18217  curf2ndf  18259  yonedalem22  18290  gaid  19282  2ndcctbss  23393  upxp  23561  uptx  23563  txkgen  23590  cnheiborlem  24904  ovollb2lem  25441  ovolctb  25443  ovoliunlem2  25456  ovolshftlem1  25462  ovolscalem1  25466  ovolicc1  25469  addsqnreup  27406  2sqreuop  27425  2sqreuopnn  27426  2sqreuoplt  27427  2sqreuopltb  27428  2sqreuopnnlt  27429  2sqreuopnnltb  27430  precsexlem2  28162  precsexlem5  28165  om2noseqrdg  28250  noseqrdgsuc  28254  wlkswwlksf1o  29861  clwlkclwwlkfo  29990  ex-2nd  30426  cnnvs  30661  cnnvnm  30662  h2hsm  30956  h2hnm  30957  hhsssm  31239  hhssnm  31240  2ndimaxp  32624  2ndresdju  32627  aciunf1lem  32640  gsumpart  33051  rlocf1  33268  fracfld  33302  eulerpartlemgvv  34408  eulerpartlemgh  34410  satfv0fvfmla0  35435  sategoelfvb  35441  prv1n  35453  msubff1  35578  msubvrs  35582  poimirlem17  37661  heiborlem7  37841  heiborlem8  37842  dvhvaddass  41116  dvhlveclem  41127  diblss  41189  aks6d1c3  42136  pellexlem5  42856  pellex  42858  dvnprodlem1  45975  hoicvr  46577  hoicvrrex  46585  ovn0lem  46594  ovnhoilem1  46630  ovnlecvr2  46639  ovolval5lem2  46682  gpg3kgrtriex  48091  eloprab1st2nd  48843  swapf2fvala  49181  swapf2f1oaALT  49195  swapfcoa  49198  fuco21  49247  fucof21  49258  prcof2a  49299  prcof2  49300