Theorem op2nd 8010

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 8004	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nda 6229	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
5	1, 4	eqtri 2783	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ cuni 4866  ran crn 5651  ‘cfv 6538  2^nd c2nd 8000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-2nd 8002

This theorem is used by:  op2ndd  8012  op2ndg  8014  2ndval2  8019  fo2ndres  8028  opreuopreu  8046  eloprabi  8074  fo2ndf  8134  f1o2ndf1  8135  seqomlem1  8463  seqomlem2  8464  xpmapenlem  9166  fseqenlem2  10107  axdc4lem  10536  iunfo  10626  archnq  11068  om2uzrdg  14102  uzrdgsuci  14106  fsum2dlem  15941  fprod2dlem  16152  ruclem8  16410  ruclem11  16413  eucalglt  16765  idfu2nd  18057  idfucl  18061  cofu2nd  18065  cofucl  18068  xpccatid  18367  prf2nd  18384  curf2ndf  18426  yonedalem22  18457  gaid  19518  2ndcctbss  23779  upxp  23947  uptx  23949  txkgen  23976  cnheiborlem  25280  ovollb2lem  25814  ovolctb  25816  ovoliunlem2  25829  ovolshftlem1  25835  ovolscalem1  25839  ovolicc1  25842  addsqnreup  27775  2sqreuop  27794  2sqreuopnn  27795  2sqreuoplt  27796  2sqreuopltb  27797  2sqreuopnnlt  27798  2sqreuopnnltb  27799  precsexlem2  28599  precsexlem5  28602  om2noseqrdg  28695  noseqrdgsuc  28699  wlkswwlksf1o  30473  clwlkclwwlkfo  30605  ex-2nd  31051  cnnvs  31287  cnnvnm  31288  h2hsm  31582  h2hnm  31583  hhsssm  31865  hhssnm  31866  2ndimaxp  33287  2ndresdju  33290  aciunf1lem  33303  gsumpart  33670  rlocf1  33881  fracfld  33916  eulerpartlemgvv  35054  eulerpartlemgh  35056  satfv0fvfmla0  36264  sategoelfvb  36270  prv1n  36282  msubff1  36407  msubvrs  36411  poimirlem17  38648  heiborlem7  38844  heiborlem8  38845  dvhvaddass  42247  dvhlveclem  42258  diblss  42320  aks6d1c3  43266  pellexlem5  43933  pellex  43935  dvnprodlem1  47049  hoicvr  47651  hoicvrrex  47659  ovn0lem  47668  ovnhoilem1  47704  ovnlecvr2  47713  ovolval5lem2  47756  gpg3kgrtriex  49280  pgnioedg1  49299  pgnioedg2  49300  pgnioedg3  49301  pgnioedg4  49302  pgnioedg5  49303  pgnbgreunbgrlem2lem1  49305  pgnbgreunbgrlem2lem2  49306  pgnbgreunbgrlem2lem3  49307  pgnbgreunbgrlem5lem1  49311  pgnbgreunbgrlem5lem2  49312  pgnbgreunbgrlem5lem3  49313  eloprab1st2nd  50072  swapf2fvala  50479  swapf2f1oaALT  50493  swapfcoa  50496  fuco21  50551  fucof21  50562  prcof2a  50617  prcof2  50618