Theorem op2nd 7813

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 7807	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nda 6120	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
5	1, 4	eqtri 2766	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {csn 4558  ⟨cop 4564  ∪ cuni 4836  ran crn 5581  ‘cfv 6418  2^nd c2nd 7803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-2nd 7805

This theorem is referenced by:  op2ndd  7815  op2ndg  7817  2ndval2  7822  fo2ndres  7831  opreuopreu  7849  eloprabi  7876  fo2ndf  7933  f1o2ndf1  7934  seqomlem1  8251  seqomlem2  8252  xpmapenlem  8880  fseqenlem2  9712  axdc4lem  10142  iunfo  10226  archnq  10667  om2uzrdg  13604  uzrdgsuci  13608  fsum2dlem  15410  fprod2dlem  15618  ruclem8  15874  ruclem11  15877  eucalglt  16218  idfu2nd  17508  idfucl  17512  cofu2nd  17516  cofucl  17519  xpccatid  17821  prf2nd  17838  curf2ndf  17881  yonedalem22  17912  gaid  18820  2ndcctbss  22514  upxp  22682  uptx  22684  txkgen  22711  cnheiborlem  24023  ovollb2lem  24557  ovolctb  24559  ovoliunlem2  24572  ovolshftlem1  24578  ovolscalem1  24582  ovolicc1  24585  addsqnreup  26496  2sqreuop  26515  2sqreuopnn  26516  2sqreuoplt  26517  2sqreuopltb  26518  2sqreuopnnlt  26519  2sqreuopnnltb  26520  wlkswwlksf1o  28145  clwlkclwwlkfo  28274  ex-2nd  28710  cnnvs  28943  cnnvnm  28944  h2hsm  29238  h2hnm  29239  hhsssm  29521  hhssnm  29522  2ndimaxp  30885  2ndresdju  30887  aciunf1lem  30901  gsumpart  31217  eulerpartlemgvv  32243  eulerpartlemgh  32245  satfv0fvfmla0  33275  sategoelfvb  33281  prv1n  33293  msubff1  33418  msubvrs  33422  ot22ndd  33584  poimirlem17  35721  heiborlem7  35902  heiborlem8  35903  dvhvaddass  39038  dvhlveclem  39049  diblss  39111  pellexlem5  40571  pellex  40573  dvnprodlem1  43377  hoicvr  43976  hoicvrrex  43984  ovn0lem  43993  ovnhoilem1  44029  ovnlecvr2  44038  ovolval5lem2  44081