Theorem op2nd 7996

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 7990	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nda 6226	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
5	1, 4	eqtri 2755	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624  ⟨cop 4630  ∪ cuni 4903  ran crn 5673  ‘cfv 6542  2^nd c2nd 7986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-2nd 7988

This theorem is referenced by:  op2ndd  7998  op2ndg  8000  2ndval2  8005  fo2ndres  8014  opreuopreu  8032  eloprabi  8061  fo2ndf  8120  f1o2ndf1  8121  seqomlem1  8464  seqomlem2  8465  xpmapenlem  9160  fseqenlem2  10040  axdc4lem  10470  iunfo  10554  archnq  10995  om2uzrdg  13945  uzrdgsuci  13949  fsum2dlem  15740  fprod2dlem  15948  ruclem8  16205  ruclem11  16208  eucalglt  16547  idfu2nd  17854  idfucl  17858  cofu2nd  17862  cofucl  17865  xpccatid  18170  prf2nd  18187  curf2ndf  18230  yonedalem22  18261  gaid  19241  2ndcctbss  23346  upxp  23514  uptx  23516  txkgen  23543  cnheiborlem  24867  ovollb2lem  25404  ovolctb  25406  ovoliunlem2  25419  ovolshftlem1  25425  ovolscalem1  25429  ovolicc1  25432  addsqnreup  27363  2sqreuop  27382  2sqreuopnn  27383  2sqreuoplt  27384  2sqreuopltb  27385  2sqreuopnnlt  27386  2sqreuopnnltb  27387  precsexlem2  28093  precsexlem5  28096  om2noseqrdg  28164  noseqrdgsuc  28168  wlkswwlksf1o  29677  clwlkclwwlkfo  29806  ex-2nd  30242  cnnvs  30477  cnnvnm  30478  h2hsm  30772  h2hnm  30773  hhsssm  31055  hhssnm  31056  2ndimaxp  32416  2ndresdju  32418  aciunf1lem  32431  gsumpart  32747  eulerpartlemgvv  33932  eulerpartlemgh  33934  satfv0fvfmla0  34959  sategoelfvb  34965  prv1n  34977  msubff1  35102  msubvrs  35106  poimirlem17  37045  heiborlem7  37225  heiborlem8  37226  dvhvaddass  40507  dvhlveclem  40518  diblss  40580  aks6d1c3  41527  pellexlem5  42175  pellex  42177  dvnprodlem1  45257  hoicvr  45859  hoicvrrex  45867  ovn0lem  45876  ovnhoilem1  45912  ovnlecvr2  45921  ovolval5lem2  45964