Theorem op2nd 7983

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 7977	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nda 6219	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
5	1, 4	eqtri 2788	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  {csn 4585  ⟨cop 4591  ∪ cuni 4868  ran crn 5653  ‘cfv 6525  2^nd c2nd 7973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-2nd 7975

This theorem is referenced by:  op2ndd  7985  op2ndg  7987  2ndval2  7992  fo2ndres  8001  opreuopreu  8019  eloprabi  8048  fo2ndf  8104  f1o2ndf1  8105  seqomlem1  8425  seqomlem2  8426  xpmapenlem  9120  fseqenlem2  9997  axdc4lem  10427  iunfo  10511  archnq  10953  om2uzrdg  13983  uzrdgsuci  13987  fsum2dlem  15811  fprod2dlem  16024  ruclem8  16283  ruclem11  16286  eucalglt  16633  idfu2nd  17924  idfucl  17928  cofu2nd  17932  cofucl  17935  xpccatid  18234  prf2nd  18251  curf2ndf  18293  yonedalem22  18324  gaid  19360  2ndcctbss  23573  upxp  23741  uptx  23743  txkgen  23770  cnheiborlem  25074  ovollb2lem  25608  ovolctb  25610  ovoliunlem2  25623  ovolshftlem1  25629  ovolscalem1  25633  ovolicc1  25636  addsqnreup  27565  2sqreuop  27584  2sqreuopnn  27585  2sqreuoplt  27586  2sqreuopltb  27587  2sqreuopnnlt  27588  2sqreuopnnltb  27589  precsexlem2  28359  precsexlem5  28362  om2noseqrdg  28455  noseqrdgsuc  28459  wlkswwlksf1o  30137  clwlkclwwlkfo  30269  ex-2nd  30705  cnnvs  30941  cnnvnm  30942  h2hsm  31236  h2hnm  31237  hhsssm  31519  hhssnm  31520  2ndimaxp  32903  2ndresdju  32906  aciunf1lem  32919  gsumpart  33296  rlocf1  33507  fracfld  33544  eulerpartlemgvv  34683  eulerpartlemgh  34685  satfv0fvfmla0  35776  sategoelfvb  35782  prv1n  35794  msubff1  35919  msubvrs  35923  poimirlem17  38148  heiborlem7  38328  heiborlem8  38329  dvhvaddass  41733  dvhlveclem  41744  diblss  41806  aks6d1c3  42752  pellexlem5  43422  pellex  43424  dvnprodlem1  46518  hoicvr  47120  hoicvrrex  47128  ovn0lem  47137  ovnhoilem1  47173  ovnlecvr2  47182  ovolval5lem2  47225  gpg3kgrtriex  48709  pgnioedg1  48728  pgnioedg2  48729  pgnioedg3  48730  pgnioedg4  48731  pgnioedg5  48732  pgnbgreunbgrlem2lem1  48734  pgnbgreunbgrlem2lem2  48735  pgnbgreunbgrlem2lem3  48736  pgnbgreunbgrlem5lem1  48740  pgnbgreunbgrlem5lem2  48741  pgnbgreunbgrlem5lem3  48742  eloprab1st2nd  49497  swapf2fvala  49893  swapf2f1oaALT  49907  swapfcoa  49910  fuco21  49965  fucof21  49976  prcof2a  50018  prcof2  50019