Theorem op2nd 7984

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 7978	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nda 6228	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
5	1, 4	eqtri 2761	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629  ⟨cop 4635  ∪ cuni 4909  ran crn 5678  ‘cfv 6544  2^nd c2nd 7974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-2nd 7976

This theorem is referenced by:  op2ndd  7986  op2ndg  7988  2ndval2  7993  fo2ndres  8002  opreuopreu  8020  eloprabi  8049  fo2ndf  8107  f1o2ndf1  8108  seqomlem1  8450  seqomlem2  8451  xpmapenlem  9144  fseqenlem2  10020  axdc4lem  10450  iunfo  10534  archnq  10975  om2uzrdg  13921  uzrdgsuci  13925  fsum2dlem  15716  fprod2dlem  15924  ruclem8  16180  ruclem11  16183  eucalglt  16522  idfu2nd  17827  idfucl  17831  cofu2nd  17835  cofucl  17838  xpccatid  18140  prf2nd  18157  curf2ndf  18200  yonedalem22  18231  gaid  19163  2ndcctbss  22959  upxp  23127  uptx  23129  txkgen  23156  cnheiborlem  24470  ovollb2lem  25005  ovolctb  25007  ovoliunlem2  25020  ovolshftlem1  25026  ovolscalem1  25030  ovolicc1  25033  addsqnreup  26946  2sqreuop  26965  2sqreuopnn  26966  2sqreuoplt  26967  2sqreuopltb  26968  2sqreuopnnlt  26969  2sqreuopnnltb  26970  precsexlem2  27654  precsexlem5  27657  wlkswwlksf1o  29133  clwlkclwwlkfo  29262  ex-2nd  29698  cnnvs  29933  cnnvnm  29934  h2hsm  30228  h2hnm  30229  hhsssm  30511  hhssnm  30512  2ndimaxp  31872  2ndresdju  31874  aciunf1lem  31887  gsumpart  32207  eulerpartlemgvv  33375  eulerpartlemgh  33377  satfv0fvfmla0  34404  sategoelfvb  34410  prv1n  34422  msubff1  34547  msubvrs  34551  poimirlem17  36505  heiborlem7  36685  heiborlem8  36686  dvhvaddass  39968  dvhlveclem  39979  diblss  40041  pellexlem5  41571  pellex  41573  dvnprodlem1  44662  hoicvr  45264  hoicvrrex  45272  ovn0lem  45281  ovnhoilem1  45317  ovnlecvr2  45326  ovolval5lem2  45369