MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prwf 9744
Description: An unordered pair is well-founded if its elements are. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
prwf ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem prwf
StepHypRef Expression
1 df-pr 4588 . 2 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2 snwf 9742 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → {𝐴} ∈ (𝑅1 “ On))
3 snwf 9742 . . 3 (𝐵 (𝑅1 “ On) → {𝐵} ∈ (𝑅1 “ On))
4 unwf 9743 . . . 4 (({𝐴} ∈ (𝑅1 “ On) ∧ {𝐵} ∈ (𝑅1 “ On)) ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ (𝑅1 “ On))
54biimpi 215 . . 3 (({𝐴} ∈ (𝑅1 “ On) ∧ {𝐵} ∈ (𝑅1 “ On)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ (𝑅1 “ On))
62, 3, 5syl2an 596 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ (𝑅1 “ On))
71, 6eqeltrid 2842 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝑅1 “ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  cun 3907  {csn 4585  {cpr 4587   cuni 4864  cima 5635  Oncon0 6316  𝑅1cr1 9695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7357  df-om 7800  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-r1 9697  df-rank 9698
This theorem is referenced by:  opwf  9745  rankopb  9785  r1limwun  10669  wfgru  10749  rankaltopb  34553
  Copyright terms: Public domain W3C validator