MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prwf 9224
Description: An unordered pair is well-founded if its elements are. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
prwf ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem prwf
StepHypRef Expression
1 df-pr 4528 . 2 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2 snwf 9222 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → {𝐴} ∈ (𝑅1 “ On))
3 snwf 9222 . . 3 (𝐵 (𝑅1 “ On) → {𝐵} ∈ (𝑅1 “ On))
4 unwf 9223 . . . 4 (({𝐴} ∈ (𝑅1 “ On) ∧ {𝐵} ∈ (𝑅1 “ On)) ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ (𝑅1 “ On))
54biimpi 219 . . 3 (({𝐴} ∈ (𝑅1 “ On) ∧ {𝐵} ∈ (𝑅1 “ On)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ (𝑅1 “ On))
62, 3, 5syl2an 598 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ (𝑅1 “ On))
71, 6eqeltrid 2894 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝑅1 “ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2111  cun 3879  {csn 4525  {cpr 4527   cuni 4800  cima 5522  Oncon0 6159  𝑅1cr1 9175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-r1 9177  df-rank 9178
This theorem is referenced by:  opwf  9225  rankopb  9265  r1limwun  10147  wfgru  10227  rankaltopb  33550
  Copyright terms: Public domain W3C validator