MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prwf 9851
Description: An unordered pair is well-founded if its elements are. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
prwf ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem prwf
StepHypRef Expression
1 df-pr 4629 . 2 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2 snwf 9849 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → {𝐴} ∈ (𝑅1 “ On))
3 snwf 9849 . . 3 (𝐵 (𝑅1 “ On) → {𝐵} ∈ (𝑅1 “ On))
4 unwf 9850 . . . 4 (({𝐴} ∈ (𝑅1 “ On) ∧ {𝐵} ∈ (𝑅1 “ On)) ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ (𝑅1 “ On))
54biimpi 216 . . 3 (({𝐴} ∈ (𝑅1 “ On) ∧ {𝐵} ∈ (𝑅1 “ On)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ (𝑅1 “ On))
62, 3, 5syl2an 596 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ (𝑅1 “ On))
71, 6eqeltrid 2845 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 (𝑅1 “ On)) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝑅1 “ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  cun 3949  {csn 4626  {cpr 4628   cuni 4907  cima 5688  Oncon0 6384  𝑅1cr1 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-r1 9804  df-rank 9805
This theorem is referenced by:  opwf  9852  rankopb  9892  r1limwun  10776  wfgru  10856  rankaltopb  35980  wfaxpr  45015
  Copyright terms: Public domain W3C validator