Theorem snwf 9232

Description: A singleton is well-founded if its element is. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
snwf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → {𝐴} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem snwf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwwf 9230	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		snsspw 4769	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		sswf 9231	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴) → {𝐴} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4	2, 3	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → {𝐴} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	1, 4	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → {𝐴} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  {csn 4561  ∪ cuni 4832   “ cima 5553  Oncon0 6186  𝑅₁cr1 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-r1 9187  df-rank 9188

This theorem is referenced by:  prwf  9234  opwf  9235  ranksnb  9250  rankprb  9274  rankopb  9275  rankcf  10193  rankaltopb  33435