Theorem psmettri 23454

Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmettri	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem psmettri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		simpr3 1195	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
3		simpr1 1193	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		simpr2 1194	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
5		psmettri2 23452	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
7		psmetsym 23453	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐶))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐶))
9	8	oveq1d 7284	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
10	6, 9	breqtrd 5105	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269   ≤ cle 11003   +_𝑒 cxad 12837  PsMetcpsmet 20571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-er 8473  df-map 8592  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-xadd 12840  df-psmet 20579

This theorem is referenced by:  metustexhalf  23702