Theorem r1omfv 35142

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at ω. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1omfv	⊢ (𝑅1‘ω) = ∪ (𝑅1 “ ω)

Proof of Theorem r1omfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9540	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		limom 7818	. . 3 ⊢ Lim ω
3		r1lim 9672	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ Lim ω) → (𝑅1‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑅1‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥)
5		r1funlim 9666	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
6	5	simpli 483	. . 3 ⊢ Fun 𝑅1
7		funiunfv 7188	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) = ∪ (𝑅1 “ ω))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) = ∪ (𝑅1 “ ω)
9	4, 8	eqtri 2756	1 ⊢ (𝑅1‘ω) = ∪ (𝑅1 “ ω)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ∪ cuni 4858  ∪ ciun 4941  dom cdm 5619   “ cima 5622  Lim wlim 6312  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486  ωcom 7802  𝑅₁cr1 9662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-r1 9664

This theorem is referenced by: (None)