Theorem r1omfv 35270

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at ω. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1omfv	⊢ (𝑅1‘ω) = ∪ (𝑅1 “ ω)

Proof of Theorem r1omfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9555	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		limom 7826	. . 3 ⊢ Lim ω
3		r1lim 9687	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ Lim ω) → (𝑅1‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥))
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝑅1‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥)
5		r1funlim 9681	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
6	5	simpli 483	. . 3 ⊢ Fun 𝑅1
7		funiunfv 7196	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) = ∪ (𝑅1 “ ω))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) = ∪ (𝑅1 “ ω)
9	4, 8	eqtri 2760	1 ⊢ (𝑅1‘ω) = ∪ (𝑅1 “ ω)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∪ cuni 4851  ∪ ciun 4934  dom cdm 5624   “ cima 5627  Lim wlim 6318  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  ωcom 7810  𝑅₁cr1 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-r1 9679

This theorem is referenced by: (None)