Theorem r1omfv 35247

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at ω. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1omfv	⊢ (𝑅1‘ω) = ∪ (𝑅1 “ ω)

Proof of Theorem r1omfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9556	. . 3 ⊢ ω ∈ V
2		limom 7826	. . 3 ⊢ Lim ω
3		r1lim 9688	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ Lim ω) → (𝑅1‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥))
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝑅1‘ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥)
5		r1funlim 9682	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
6	5	simpli 483	. . 3 ⊢ Fun 𝑅1
7		funiunfv 7196	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) = ∪ (𝑅1 “ ω))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) = ∪ (𝑅1 “ ω)
9	4, 8	eqtri 2760	1 ⊢ (𝑅1‘ω) = ∪ (𝑅1 “ ω)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ∪ cuni 4864  ∪ ciun 4947  dom cdm 5625   “ cima 5628  Lim wlim 6319  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493  ωcom 7810  𝑅₁cr1 9678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-r1 9680

This theorem is referenced by: (None)