Theorem r1funlim 8905

Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 8906 avoids ax-rep 4993.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1funlim	⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Proof of Theorem r1funlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 7777	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2		df-r1 8903	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	funeqi 6143	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 ↔ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
4	1, 3	mpbir 223	. 2 ⊢ Fun 𝑅1
5		rdgdmlim 7778	. . 3 ⊢ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
6	2	dmeqi 5556	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
7		limeq 5974	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
9	5, 8	mpbir 223	. 2 ⊢ Lim dom 𝑅1
10	4, 9	pm3.2i 464	1 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658  Vcvv 3413  ∅c0 4143  𝒫 cpw 4377   ↦ cmpt 4951  dom cdm 5341  Lim wlim 5963  Fun wfun 6116  reccrdg 7770  𝑅₁cr1 8901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-r1 8903

This theorem is referenced by:  r1limg  8910  r1fin  8912  r1tr  8915  r1ordg  8917  r1ord3g  8918  r1pwss  8923  r1val1  8925  rankwflemb  8932  r1elwf  8935  rankr1ai  8937  rankdmr1  8940  rankr1ag  8941  rankr1bg  8942  r1elssi  8944  pwwf  8946  unwf  8949  rankr1clem  8959  rankr1c  8960  rankval3b  8965  rankonidlem  8967  onssr1  8970  rankeq0b  8999  ackbij2  9379  wunom  9856