Theorem r1funlim 9763

Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 9764 avoids ax-rep 5285.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1funlim	⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Proof of Theorem r1funlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 8418	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2		df-r1 9761	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	funeqi 6569	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 ↔ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
4	1, 3	mpbir 230	. 2 ⊢ Fun 𝑅1
5		rdgdmlim 8419	. . 3 ⊢ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
6	2	dmeqi 5904	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
7		limeq 6376	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
9	5, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ Lim dom 𝑅1
10	4, 9	pm3.2i 471	1 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  Vcvv 3474  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  Lim wlim 6365  Fun wfun 6537  reccrdg 8411  𝑅₁cr1 9759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-r1 9761

This theorem is referenced by:  r1limg  9768  r1fin  9770  r1tr  9773  r1ordg  9775  r1ord3g  9776  r1pwss  9781  r1val1  9783  rankwflemb  9790  r1elwf  9793  rankr1ai  9795  rankdmr1  9798  rankr1ag  9799  rankr1bg  9800  r1elssi  9802  pwwf  9804  unwf  9807  rankr1clem  9817  rankr1c  9818  rankval3b  9823  rankonidlem  9825  onssr1  9828  rankeq0b  9857  ackbij2  10240  wunom  10717