MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1funlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1funlim 9804
Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 9805 avoids ax-rep 5285.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1funlim (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Proof of Theorem r1funlim
StepHypRef Expression
1 rdgfun 8455 . . 3 Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2 df-r1 9802 . . . 4 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
32funeqi 6589 . . 3 (Fun 𝑅1 ↔ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
41, 3mpbir 231 . 2 Fun 𝑅1
5 rdgdmlim 8456 . . 3 Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
62dmeqi 5918 . . . 4 dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
7 limeq 6398 . . . 4 (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
95, 8mpbir 231 . 2 Lim dom 𝑅1
104, 9pm3.2i 470 1 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  Vcvv 3478  c0 4339  𝒫 cpw 4605  cmpt 5231  dom cdm 5689  Lim wlim 6387  Fun wfun 6557  reccrdg 8448  𝑅1cr1 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9802
This theorem is referenced by:  r1limg  9809  r1fin  9811  r1tr  9814  r1ordg  9816  r1ord3g  9817  r1pwss  9822  r1val1  9824  rankwflemb  9831  r1elwf  9834  rankr1ai  9836  rankdmr1  9839  rankr1ag  9840  rankr1bg  9841  r1elssi  9843  pwwf  9845  unwf  9848  rankr1clem  9858  rankr1c  9859  rankval3b  9864  rankonidlem  9866  onssr1  9869  rankeq0b  9898  ackbij2  10280  wunom  10758
  Copyright terms: Public domain W3C validator