Theorem r1funlim 9508

Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 9509 avoids ax-rep 5213.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1funlim	⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Proof of Theorem r1funlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 8231	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2		df-r1 9506	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	funeqi 6451	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 ↔ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
4	1, 3	mpbir 230	. 2 ⊢ Fun 𝑅1
5		rdgdmlim 8232	. . 3 ⊢ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
6	2	dmeqi 5810	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
7		limeq 6275	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
9	5, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ Lim dom 𝑅1
10	4, 9	pm3.2i 470	1 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541  Vcvv 3430  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4538   ↦ cmpt 5161  dom cdm 5588  Lim wlim 6264  Fun wfun 6424  reccrdg 8224  𝑅₁cr1 9504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-r1 9506

This theorem is referenced by:  r1limg  9513  r1fin  9515  r1tr  9518  r1ordg  9520  r1ord3g  9521  r1pwss  9526  r1val1  9528  rankwflemb  9535  r1elwf  9538  rankr1ai  9540  rankdmr1  9543  rankr1ag  9544  rankr1bg  9545  r1elssi  9547  pwwf  9549  unwf  9552  rankr1clem  9562  rankr1c  9563  rankval3b  9568  rankonidlem  9570  onssr1  9573  rankeq0b  9602  ackbij2  9983  wunom  10460