Theorem r1funlim 9688

Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 9689 avoids ax-rep 5206.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1funlim	⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Proof of Theorem r1funlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 8352	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2		df-r1 9686	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	funeqi 6513	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 ↔ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
4	1, 3	mpbir 232	. 2 ⊢ Fun 𝑅1
5		rdgdmlim 8353	. . 3 ⊢ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
6	2	dmeqi 5853	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
7		limeq 6329	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
9	5, 8	mpbir 232	. 2 ⊢ Lim dom 𝑅1
10	4, 9	pm3.2i 471	1 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  Vcvv 3432  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625  Lim wlim 6318  Fun wfun 6486  reccrdg 8345  𝑅₁cr1 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-r1 9686

This theorem is referenced by:  r1limg  9693  r1fin  9695  r1tr  9698  r1ordg  9700  r1ord3g  9701  r1pwss  9706  r1val1  9708  rankwflemb  9715  r1elwf  9718  rankr1ai  9720  rankdmr1  9723  rankr1ag  9724  rankr1bg  9725  r1elssi  9727  pwwf  9729  unwf  9732  rankr1clem  9742  rankr1c  9743  rankval3b  9748  rankonidlem  9750  onssr1  9753  rankeq0b  9782  ackbij2  10162  wunom  10641  r11  35282  r12  35283  r1filimi  35291  r1filim  35292  r1omfi  35293  r1omhf  35294  r1omfv  35298