Theorem r1funlim 9711

Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 9712 avoids ax-rep 5247.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1funlim	⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Proof of Theorem r1funlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 8367	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2		df-r1 9709	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	funeqi 6527	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 ↔ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
4	1, 3	mpbir 230	. 2 ⊢ Fun 𝑅1
5		rdgdmlim 8368	. . 3 ⊢ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
6	2	dmeqi 5865	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
7		limeq 6334	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
9	5, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ Lim dom 𝑅1
10	4, 9	pm3.2i 471	1 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  Vcvv 3446  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4565   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  Lim wlim 6323  Fun wfun 6495  reccrdg 8360  𝑅₁cr1 9707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-r1 9709

This theorem is referenced by:  r1limg  9716  r1fin  9718  r1tr  9721  r1ordg  9723  r1ord3g  9724  r1pwss  9729  r1val1  9731  rankwflemb  9738  r1elwf  9741  rankr1ai  9743  rankdmr1  9746  rankr1ag  9747  rankr1bg  9748  r1elssi  9750  pwwf  9752  unwf  9755  rankr1clem  9765  rankr1c  9766  rankval3b  9771  rankonidlem  9773  onssr1  9776  rankeq0b  9805  ackbij2  10188  wunom  10665