MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1funlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1funlim 9187
Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 9188 avoids ax-rep 5181.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1funlim (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)

Proof of Theorem r1funlim
StepHypRef Expression
1 rdgfun 8044 . . 3 Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2 df-r1 9185 . . . 4 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
32funeqi 6369 . . 3 (Fun 𝑅1 ↔ Fun rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
41, 3mpbir 233 . 2 Fun 𝑅1
5 rdgdmlim 8045 . . 3 Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
62dmeqi 5766 . . . 4 dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
7 limeq 6196 . . . 4 (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
95, 8mpbir 233 . 2 Lim dom 𝑅1
104, 9pm3.2i 473 1 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398   = wceq 1531  Vcvv 3493  c0 4289  𝒫 cpw 4537  cmpt 5137  dom cdm 5548  Lim wlim 6185  Fun wfun 6342  reccrdg 8037  𝑅1cr1 9183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-r1 9185
This theorem is referenced by:  r1limg  9192  r1fin  9194  r1tr  9197  r1ordg  9199  r1ord3g  9200  r1pwss  9205  r1val1  9207  rankwflemb  9214  r1elwf  9217  rankr1ai  9219  rankdmr1  9222  rankr1ag  9223  rankr1bg  9224  r1elssi  9226  pwwf  9228  unwf  9231  rankr1clem  9241  rankr1c  9242  rankval3b  9247  rankonidlem  9249  onssr1  9252  rankeq0b  9281  ackbij2  9657  wunom  10134
  Copyright terms: Public domain W3C validator