Theorem r1lim 8886

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a limit ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 4-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1lim	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem r1lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limelon 6005	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
2		r1fnon 8881	. . . 4 ⊢ 𝑅1 Fn On
3		fndm 6202	. . . 4 ⊢ (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = On
5	1, 4	syl6eleqr 2890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
6		r1limg 8885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
7	5, 6	sylancom 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∪ ciun 4711  dom cdm 5313  Oncon0 5942  Lim wlim 5943   Fn wfn 6097  ‘cfv 6102  𝑅₁cr1 8876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-r1 8878

This theorem is referenced by:  r1sdom  8888  r1om  9355  inar1  9886  inatsk  9889  grur1a  9930