Theorem trssfir1om 35532

Description: If every element in a transitive class is finite, then every element is also hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 24-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
trssfir1om	⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ ω))

Proof of Theorem trssfir1om

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
2	1	3anbi1d 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin)))
3		eleq1w 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
4	2, 3	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))))
5		ssel2 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
6	5	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ Fin))
9		trel 5231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
10	9	expcomd 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
11	10	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
12	11	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
13		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Tr 𝐴)
14	13	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → Tr 𝐴))
15		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
16	15	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐴 ⊆ Fin))
17	12, 14, 16	3jcad 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin)))
18	17	ralrimiv 3159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin))
19		ralim 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
20	18, 19	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
21	8, 20	jcad 522	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))))
22		r1omhf 35525	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
23	21, 22	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
24	4, 23	setinds2 9730	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
25	24	3expib 1140	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
26	25	com12 33	. 2 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
27	26	ssrdv 3946	1 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  ∪ cuni 4877  Tr wtr 5223   “ cima 5669  ωcom 7871  Fincfn 8952  𝑅₁cr1 9744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-reg 9564  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-en 8953  df-dom 8954  df-fin 8956  df-r1 9746  df-rank 9747

This theorem is used by:  r1omhfb  35533