Theorem trssfir1om 35789

Description: If every element in a transitive class is finite, then every element is also hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 24-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
trssfir1om	⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ ω))

Proof of Theorem trssfir1om

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
2	1	3anbi1d 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin)))
3		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
4	2, 3	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))))
5		ssel2 3903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
6	5	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
7	6	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ Fin))
9		trel 5219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
10	9	expcomd 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
11	10	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
12	11	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴))
13		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Tr 𝐴)
14	13	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → Tr 𝐴))
15		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
16	15	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐴 ⊆ Fin))
17	12, 14, 16	3jcad 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin)))
18	17	ralrimiv 3153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin))
19		ralim 3102	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
20	18, 19	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
21	8, 20	jcad 522	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))))
22		r1omhf 35783	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
23	21, 22	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
24	4, 23	setinds2 9755	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
25	24	3expib 1140	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
26	25	com12 33	. 2 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
27	26	ssrdv 3914	1 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑅1 “ ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866  Tr wtr 5211   “ cima 5653  ωcom 7877  Fincfn 8976  𝑅₁cr1 9769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9589  ax-inf2 9645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-en 8977  df-dom 8978  df-fin 8980  df-r1 9771  df-rank 9772  df-hf 9908

This theorem is used by:  r1omhfb  35790