MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ranksn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ranksn 9869
Description: The rank of a singleton. Theorem 15.17(v) of [Monk1] p. 112. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ranksn.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ranksn (rankβ€˜{𝐴}) = suc (rankβ€˜π΄)

Proof of Theorem ranksn
StepHypRef Expression
1 ranksn.1 . . 3 𝐴 ∈ V
2 unir1 9828 . . 3 βˆͺ (𝑅1 β€œ On) = V
31, 2eleqtrri 2827 . 2 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)
4 ranksnb 9842 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜{𝐴}) = suc (rankβ€˜π΄))
53, 4ax-mp 5 1 (rankβ€˜{𝐴}) = suc (rankβ€˜π΄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   β€œ cima 5675  Oncon0 6363  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  π‘…1cr1 9777  rankcrnk 9778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-reg 9607  ax-inf2 9656
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-r1 9779  df-rank 9780
This theorem is referenced by:  ranksuc  9880  ranksng  35699
  Copyright terms: Public domain W3C validator