Theorem ranksn 9317

Description: The rank of a singleton. Theorem 15.17(v) of [Monk1] p. 112. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ranksn.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ranksn	⊢ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem ranksn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9276	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2852	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		ranksnb 9290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410  {csn 4523  ∪ cuni 4799   “ cima 5528  Oncon0 6170  suc csuc 6172  ‘cfv 6336  𝑅₁cr1 9225  rankcrnk 9226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-reg 9090  ax-inf2 9138

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-om 7581  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-r1 9227  df-rank 9228

This theorem is referenced by:  ranksuc  9328  ranksng  34019