Theorem ranksn 9711

Description: The rank of a singleton. Theorem 15.17(v) of [Monk1] p. 112. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ranksn.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ranksn	⊢ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem ranksn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9670	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2836	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		ranksnb 9684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  {csn 4573  ∪ cuni 4852   “ cima 5623  Oncon0 6302  suc csuc 6304  ‘cfv 6479  𝑅₁cr1 9619  rankcrnk 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-reg 9449  ax-inf2 9498

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-r1 9621  df-rank 9622

This theorem is referenced by:  ranksuc  9722  ranksng  34565