MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ranksnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ranksnb 9858
Description: The rank of a singleton. Theorem 15.17(v) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ranksnb (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜{𝐴}) = suc (rankβ€˜π΄))

Proof of Theorem ranksnb
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6902 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 β†’ (rankβ€˜π‘¦) = (rankβ€˜π΄))
21eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯))
32ralsng 4682 . . . 4 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯))
43rabbidv 3438 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} = {π‘₯ ∈ On ∣ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯})
54inteqd 4958 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯})
6 snwf 9840 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ {𝐴} ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
7 rankval3b 9857 . . 3 ({𝐴} ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜{𝐴}) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
86, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜{𝐴}) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
9 rankon 9826 . . 3 (rankβ€˜π΄) ∈ On
10 onsucmin 7830 . . 3 ((rankβ€˜π΄) ∈ On β†’ suc (rankβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯})
119, 10mp1i 13 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ suc (rankβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯})
125, 8, 113eqtr4d 2778 1 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜{𝐴}) = suc (rankβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430  {csn 4632  βˆͺ cuni 4912  βˆ© cint 4953   β€œ cima 5685  Oncon0 6374  suc csuc 6376  β€˜cfv 6553  π‘…1cr1 9793  rankcrnk 9794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-r1 9795  df-rank 9796
This theorem is referenced by:  rankprb  9882  ranksn  9885  rankcf  10808  rankaltopb  35608
  Copyright terms: Public domain W3C validator