MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ranksnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ranksnb 9818
Description: The rank of a singleton. Theorem 15.17(v) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ranksnb (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜{𝐴}) = suc (rankβ€˜π΄))

Proof of Theorem ranksnb
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 β†’ (rankβ€˜π‘¦) = (rankβ€˜π΄))
21eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯))
32ralsng 4676 . . . 4 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯))
43rabbidv 3440 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} = {π‘₯ ∈ On ∣ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯})
54inteqd 4954 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯})
6 snwf 9800 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ {𝐴} ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
7 rankval3b 9817 . . 3 ({𝐴} ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜{𝐴}) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
86, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜{𝐴}) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
9 rankon 9786 . . 3 (rankβ€˜π΄) ∈ On
10 onsucmin 7805 . . 3 ((rankβ€˜π΄) ∈ On β†’ suc (rankβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯})
119, 10mp1i 13 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ suc (rankβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ (rankβ€˜π΄) ∈ π‘₯})
125, 8, 113eqtr4d 2782 1 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜{𝐴}) = suc (rankβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949   β€œ cima 5678  Oncon0 6361  suc csuc 6363  β€˜cfv 6540  π‘…1cr1 9753  rankcrnk 9754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-r1 9755  df-rank 9756
This theorem is referenced by:  rankprb  9842  ranksn  9845  rankcf  10768  rankaltopb  34939
  Copyright terms: Public domain W3C validator