Theorem ranksng 36557

Description: The rank of a singleton. Closed form of ranksn 9825. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ranksng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))

Proof of Theorem ranksng

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4604	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rank‘{𝑥}) = (rank‘{𝐴}))
3		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝐴))
4		suceq 6430	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝑥) = (rank‘𝐴) → suc (rank‘𝑥) = suc (rank‘𝐴))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → suc (rank‘𝑥) = suc (rank‘𝐴))
6	2, 5	eqeq12d 2785	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rank‘{𝑥}) = suc (rank‘𝑥) ↔ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)))
7		vex 3467	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	ranksn 9825	. 2 ⊢ (rank‘{𝑥}) = suc (rank‘𝑥)
9	6, 8	vtoclg 3531	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  rankcrnk 9734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9553  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-r1 9735  df-rank 9736

This theorem is referenced by:  hfsn  36569