Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ranksng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ranksng 36109
Description: The rank of a singleton. Closed form of ranksn 9885. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
ranksng (𝐴𝑉 → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))

Proof of Theorem ranksng
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4640 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
21fveq2d 6905 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (rank‘{𝑥}) = (rank‘{𝐴}))
3 fveq2 6901 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝐴))
4 suceq 6446 . . . 4 ((rank‘𝑥) = (rank‘𝐴) → suc (rank‘𝑥) = suc (rank‘𝐴))
53, 4syl 17 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → suc (rank‘𝑥) = suc (rank‘𝐴))
62, 5eqeq12d 2749 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((rank‘{𝑥}) = suc (rank‘𝑥) ↔ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)))
7 vex 3481 . . 3 𝑥 ∈ V
87ranksn 9885 . 2 (rank‘{𝑥}) = suc (rank‘𝑥)
96, 8vtoclg 3553 1 (𝐴𝑉 → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1535  wcel 2104  {csn 4630  suc csuc 6382  cfv 6558  rankcrnk 9794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-reg 9623  ax-inf2 9672
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7428  df-om 7881  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-r1 9795  df-rank 9796
This theorem is referenced by:  hfsn  36121
  Copyright terms: Public domain W3C validator