Theorem ranksng 36517

Description: The rank of a singleton. Closed form of ranksn 9812. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ranksng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))

Proof of Theorem ranksng

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4592	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rank‘{𝑥}) = (rank‘{𝐴}))
3		fveq2 6867	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝐴))
4		suceq 6414	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝑥) = (rank‘𝐴) → suc (rank‘𝑥) = suc (rank‘𝐴))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → suc (rank‘𝑥) = suc (rank‘𝐴))
6	2, 5	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rank‘{𝑥}) = suc (rank‘𝑥) ↔ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)))
7		vex 3458	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	ranksn 9812	. 2 ⊢ (rank‘{𝑥}) = suc (rank‘𝑥)
9	6, 8	vtoclg 3522	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {csn 4582  suc csuc 6348  ‘cfv 6521  rankcrnk 9721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-reg 9540  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-r1 9722  df-rank 9723

This theorem is referenced by:  hfsn  36529