Theorem ranksuc 9837

Description: The rank of a successor. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ranksuc	⊢ (rank‘suc 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem ranksuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 6367	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2	1	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (rank‘suc 𝐴) = (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
3		rankr1b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		snex 5411	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
5	3, 4	rankun 9828	. . 3 ⊢ (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴}))
6	3	ranksn 9826	. . . . 5 ⊢ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)
7	6	uneq2i 4127	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴})) = ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴))
8		sssucid 6444	. . . . 5 ⊢ (rank‘𝐴) ⊆ suc (rank‘𝐴)
9		ssequn1 4147	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝐴) ⊆ suc (rank‘𝐴) ↔ ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴)) = suc (rank‘𝐴))
10	8, 9	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴)) = suc (rank‘𝐴)
11	7, 10	eqtri 2792	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴})) = suc (rank‘𝐴)
12	5, 11	eqtri 2792	. 2 ⊢ (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = suc (rank‘𝐴)
13	2, 12	eqtri 2792	1 ⊢ (rank‘suc 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  {csn 4594  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  rankcrnk 9735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-r1 9736  df-rank 9737

This theorem is referenced by: (None)