Theorem ranksuc 9856

Description: The rank of a successor. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ranksuc	⊢ (rank‘suc 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem ranksuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 6367	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2	1	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (rank‘suc 𝐴) = (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
3		rankr1b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		snex 5430	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
5	3, 4	rankun 9847	. . 3 ⊢ (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴}))
6	3	ranksn 9845	. . . . 5 ⊢ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)
7	6	uneq2i 4159	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴})) = ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴))
8		sssucid 6441	. . . . 5 ⊢ (rank‘𝐴) ⊆ suc (rank‘𝐴)
9		ssequn1 4179	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝐴) ⊆ suc (rank‘𝐴) ↔ ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴)) = suc (rank‘𝐴))
10	8, 9	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴)) = suc (rank‘𝐴)
11	7, 10	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴})) = suc (rank‘𝐴)
12	5, 11	eqtri 2761	. 2 ⊢ (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = suc (rank‘𝐴)
13	2, 12	eqtri 2761	1 ⊢ (rank‘suc 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4627  suc csuc 6363  ‘cfv 6540  rankcrnk 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-reg 9583  ax-inf2 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-r1 9755  df-rank 9756

This theorem is referenced by: (None)