Theorem ranksuc 9761

Description: The rank of a successor. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ranksuc	⊢ (rank‘suc 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem ranksuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 6313	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2	1	fveq2i 6825	. 2 ⊢ (rank‘suc 𝐴) = (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
3		rankr1b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		snex 5375	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
5	3, 4	rankun 9752	. . 3 ⊢ (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴}))
6	3	ranksn 9750	. . . . 5 ⊢ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)
7	6	uneq2i 4116	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴})) = ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴))
8		sssucid 6389	. . . . 5 ⊢ (rank‘𝐴) ⊆ suc (rank‘𝐴)
9		ssequn1 4137	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝐴) ⊆ suc (rank‘𝐴) ↔ ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴)) = suc (rank‘𝐴))
10	8, 9	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴)) = suc (rank‘𝐴)
11	7, 10	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴})) = suc (rank‘𝐴)
12	5, 11	eqtri 2752	. 2 ⊢ (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = suc (rank‘𝐴)
13	2, 12	eqtri 2752	1 ⊢ (rank‘suc 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4577  suc csuc 6309  ‘cfv 6482  rankcrnk 9659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-reg 9484  ax-inf2 9537

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-r1 9660  df-rank 9661

This theorem is referenced by: (None)