Theorem ranksuc 9824

Description: The rank of a successor. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ranksuc	⊢ (rank‘suc 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Proof of Theorem ranksuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 6353	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2	1	fveq2i 6871	. 2 ⊢ (rank‘suc 𝐴) = (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
3		rankr1b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
5	3, 4	rankun 9815	. . 3 ⊢ (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴}))
6	3	ranksn 9813	. . . . 5 ⊢ (rank‘{𝐴}) = suc (rank‘𝐴)
7	6	uneq2i 4119	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴})) = ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴))
8		sssucid 6429	. . . . 5 ⊢ (rank‘𝐴) ⊆ suc (rank‘𝐴)
9		ssequn1 4139	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝐴) ⊆ suc (rank‘𝐴) ↔ ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴)) = suc (rank‘𝐴))
10	8, 9	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ suc (rank‘𝐴)) = suc (rank‘𝐴)
11	7, 10	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∪ (rank‘{𝐴})) = suc (rank‘𝐴)
12	5, 11	eqtri 2786	. 2 ⊢ (rank‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = suc (rank‘𝐴)
13	2, 12	eqtri 2786	1 ⊢ (rank‘suc 𝐴) = suc (rank‘𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4583  suc csuc 6349  ‘cfv 6522  rankcrnk 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-reg 9541  ax-inf2 9597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-r1 9723  df-rank 9724

This theorem is referenced by: (None)