Theorem rediv23d 42939

Description: A "commutative"/associative law for division. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rediv23d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rediv23d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rediv23d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
rediv23d.z	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rediv23d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem rediv23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rediv23d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		rediv23d.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3	1, 2	sn-rereccld 42933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
5		rediv23d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11171	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		rediv23d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11171	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	4, 6, 8	mulassd 11166	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐶) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
10	5, 1, 2	redivrec2d 42938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) = ((1 /ℝ 𝐶) · 𝐴))
11	10	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) · 𝐵) = (((1 /ℝ 𝐶) · 𝐴) · 𝐵))
12	5, 7	remulcld 11173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
13	12, 1, 2	redivrec2d 42938	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((1 /ℝ 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
14	9, 11, 13	3eqtr4rd 2786	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   /_ℝ crediv 42918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-2 12242  df-3 12243  df-resub 42844  df-rediv 42919

This theorem is referenced by: (None)