Theorem rediv23d 43705

Description: A "commutative"/associative law for division. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rediv23d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rediv23d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rediv23d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
rediv23d.z	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rediv23d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem rediv23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rediv23d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		rediv23d.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3	1, 2	sn-rereccld 43699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
5		rediv23d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11364	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		rediv23d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11364	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	4, 6, 8	mulassd 11359	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐶) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
10	5, 1, 2	redivrec2d 43704	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) = ((1 /ℝ 𝐶) · 𝐴))
11	10	oveq1d 7458	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) · 𝐵) = (((1 /ℝ 𝐶) · 𝐴) · 𝐵))
12	5, 7	remulcld 11366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
13	12, 1, 2	redivrec2d 43704	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((1 /ℝ 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
14	9, 11, 13	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232   /_ℝ crediv 43684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-2 12432  df-3 12433  df-resub 43610  df-rediv 43685

This theorem is used by: (None)