Theorem rediv23d 43344

Description: A "commutative"/associative law for division. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rediv23d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rediv23d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rediv23d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
rediv23d.z	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
rediv23d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem rediv23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rediv23d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		rediv23d.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3	1, 2	sn-rereccld 43338	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
5		rediv23d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11265	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		rediv23d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11265	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	4, 6, 8	mulassd 11260	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 /ℝ 𝐶) · 𝐴) · 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
10	5, 1, 2	redivrec2d 43343	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) = ((1 /ℝ 𝐶) · 𝐴))
11	10	oveq1d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) · 𝐵) = (((1 /ℝ 𝐶) · 𝐴) · 𝐵))
12	5, 7	remulcld 11267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
13	12, 1, 2	redivrec2d 43343	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((1 /ℝ 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
14	9, 11, 13	3eqtr4rd 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133   /_ℝ crediv 43323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-2 12331  df-3 12332  df-resub 43249  df-rediv 43324

This theorem is used by: (None)