Theorem redivrec2d 42903

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivrec2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivrec2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivrec2d.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem redivrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivrec2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivrec2d.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3	1, 2	rerecidd 42900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) = 1)
4	3	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
5	1	recnd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2	sn-rereccld 42898	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
8		redivrec2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	5, 7, 9	mulassd 11157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)))
11		remullid 42877	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
12	8, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
13	4, 10, 12	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
14	6, 8	remulcld 11164	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ∈ ℝ)
15	8, 14, 1, 2	redivmuld 42888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ↔ (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴))
16	13, 15	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032   /_ℝ crediv 42883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-2 12233  df-3 12234  df-resub 42809  df-rediv 42884

This theorem is referenced by:  rediv23d  42904