Theorem redivrec2d 43254

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivrec2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivrec2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivrec2d.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem redivrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivrec2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivrec2d.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3	1, 2	rerecidd 43251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) = 1)
4	3	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
5	1	recnd 11255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2	sn-rereccld 43249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
8		redivrec2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	5, 7, 9	mulassd 11250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)))
11		remullid 43228	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
12	8, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
13	4, 10, 12	3eqtr3d 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
14	6, 8	remulcld 11257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ∈ ℝ)
15	8, 14, 1, 2	redivmuld 43239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ↔ (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴))
16	13, 15	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123   /_ℝ crediv 43234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-2 12321  df-3 12322  df-resub 43160  df-rediv 43235

This theorem is used by:  rediv23d  43255