Theorem redivrec2d 43081

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivrec2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivrec2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivrec2d.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem redivrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivrec2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivrec2d.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3	1, 2	rerecidd 43078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) = 1)
4	3	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
5	1	recnd 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2	sn-rereccld 43076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
8		redivrec2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	5, 7, 9	mulassd 11220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)))
11		remullid 43055	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
12	8, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
13	4, 10, 12	3eqtr3d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
14	6, 8	remulcld 11227	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ∈ ℝ)
15	8, 14, 1, 2	redivmuld 43066	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ↔ (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴))
16	13, 15	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   /_ℝ crediv 43061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-2 12294  df-3 12295  df-resub 42987  df-rediv 43062

This theorem is referenced by:  rediv23d  43082