Theorem redivrec2d 43604

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivrec2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivrec2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivrec2d.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem redivrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivrec2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivrec2d.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3	1, 2	rerecidd 43601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) = 1)
4	3	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
5	1	recnd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2	sn-rereccld 43599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
8		redivrec2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	5, 7, 9	mulassd 11335	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)))
11		remullid 43578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
12	8, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
13	4, 10, 12	3eqtr3d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
14	6, 8	remulcld 11342	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ∈ ℝ)
15	8, 14, 1, 2	redivmuld 43589	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ↔ (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴))
16	13, 15	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208   /_ℝ crediv 43584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-2 12408  df-3 12409  df-resub 43510  df-rediv 43585

This theorem is used by:  rediv23d  43605