Theorem redivrec2d 43022

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivrec2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivrec2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivrec2d.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem redivrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivrec2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		redivrec2d.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3	1, 2	rerecidd 43019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) = 1)
4	3	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
5	1	recnd 11205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	1, 2	sn-rereccld 43017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
8		redivrec2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	5, 7, 9	mulassd 11200	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (1 /ℝ 𝐵)) · 𝐴) = (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)))
11		remullid 42996	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
12	8, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
13	4, 10, 12	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴)
14	6, 8	remulcld 11207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ∈ ℝ)
15	8, 14, 1, 2	redivmuld 43007	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴) ↔ (𝐵 · ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴)) = 𝐴))
16	13, 15	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐵) = ((1 /ℝ 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7390  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   /_ℝ crediv 43002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-ltxr 11216  df-2 12275  df-3 12276  df-resub 42928  df-rediv 43003

This theorem is referenced by:  rediv23d  43023